Blogs - Foro de Física http://forum.lawebdefisica.com/blog.php Foros de La web de Física, dedicados a la divulgación, ayuda, resolución de dudas, y discusión general sobre física (y ciencia en general) es Thu, 09 Sep 2010 08:33:42 GMT vBulletin 1440 http://forum.lawebdefisica.com/images/misc/rss.jpg Blogs - Foro de Física http://forum.lawebdefisica.com/blog.php Principio de no correspondencia Teoría - Realidad http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=343 Tue, 31 Aug 2010 12:34:27 GMT AVISO: Estimados señores de "la web de Física": Pese al título que lleva este texto, éste poco o nada tiene que ver con la Ciencia: se trata de un pequeño razonamiento social (y ya me parece mucho llamarlo así) que tengo en mente; una nimiedad que se me ha ocurrido. Paso, pues, a exponerlo.

El Principio de no correspondencia Teoría - Realidad (también conocido como Principio del no cumplimiento de la práctica respecto de la teoría) se fundamenta en una serie de experiencias de las que se concluye lo siguiente:

Sea una hipótesis cualquiera se verifica que, al ser aplicada a casos concretos, ésta no se cumple.
Sé que suena muy atrevido e impulsivo decir ésto, y más si lo dice un chaval de 18 años. Sin embargo, no insto a que me creáis o me apoyéis: sólo expongo mi opinión de una forma concisa. Todos tenemos criterio: elijan si confiar en el mío o no.

El abanico que este principio abarca es muy amplio. Paso, a continuación, a exponer casos concretos:

Política

Teoría:

Obviando los pasos previos a la estructuración de una civilización que desemboca en el actual sistema político español, la teoria dice lo siguiente: el ser humano vive en sociedad y, como tal, necesita una organización. El pueblo, en su afán por llevar a cabo dicha estructuración, decide que debe haber un consejo de sabios cuyos ideales encajen con prácticamente toda (ya que absolutamente toda es imposible) la ideología del pueblo: los llamados políticos. Este grupo de ciudadanos, en principio de igual clase y condición que la mayoría de la población, se agrupan en distintos partidos con el fin de acotar distintos sectores ideológicos; con discrepancias pero, al fin y al cabo, con un objetivo común: buscar el beneficio del pueblo.

Además, estos gobernantes deberían cumplir unos requisitos: ser altruistas, con el fin de ayudar a sus compatriotas; ser sabios, para encauzar las situaciones tanto buenas como malas por el camino adecuado; tener templanza, para no sucumbir a la presión...

En base a las distintas ideologías que imperan en una sociedad, se forman distintos partidos políticos. Éstos reflejan el pensamiento del pueblo en sus distintas manifestaciones: unos más progresistas, otros más conservadores... Insisto: se crean en base a la ideología del pueblo y todos tienen, como objetivo, el beneficio del mismo. Por ende, cuando un partido gobierne, los otros harán lo posible, en la oposición, por ayudar a encarrilar la sociedad del país, ya que ese es su objetivo primordial.

Realidad:

Actualmente, gran parte de los votantes no votan a un partido por su afinidad ideológica. Quizás en un origen lo hicieron, pero ahora es una cuestión de pertenecer a un grupo en el que sentirse abrazado y sin amenazas. Lo explicaré con un ejemplo: recuerdo que, hará un par de años (no sé cuántos exactamente), Jordi Évole, "el follonero", fue a dos mítines distintos: uno del PP y otro del PSOE. Al mitin del PP fue con un micrófono de la cadena de radio SER y al del PSOE con uno de la COPE. En ambos casos, la avalancha de hinchas políticos fue la misma: los seguidores, alterados, despotricaban contra él tachando a la cadena de radio de "mentirosa", y ese tipo de improperios. Insisto, en ambos casos. Se defendía a capa y espada con un odio irracional el partido al que uno estaba afiliado. Este fenómeno también se manifiesta cuando un partido yerra de forma exagerada: a pesar del evidente fallo, el votante fiel no se plantea por un momento si su partido es bueno o malo, no: sencillamente continúa votándole y mira hacia otro lado, como si aquello no fuera con él. Y si es posible le carga el muerto a otro, claro.

Por otra parte, el "consejo de sabios", muchas veces, acaba con bastantes ineptos. Los requisitos que deberían cumplir no corresponden con la práctica: el altruísmo se desvanece desembocando en corrupción, la sabiduría torna en ignorancia que concluye en errores garrafales, la templanza se vuelve discordia...

Aunque la discordia está más asociada a eso que decíamos en la teoría de los grupos ideológicos: cuando un partido está en la oposición, no vela por el beneficio del pueblo, no. Focaliza todo su esfuerzo en juzgar al partido gobernante, desprestigiarlo y perjudicarlo en la medida de lo posible. En el momento que un partido está en el "segundo puesto" no busca el beneficio del pueblo: busca el beneficio propio, ascender al poder.

Sigamos con otro ejemplo menos solemne:

Conducción:

Teoría:

Para regular la circulación de vehículos por las carreteras, tanto en la ciudad como en las afueras, se ve necesario elaborar una serie de normas. Éstas están pensadas a la perfección para permitir un tráfico fluído y evitar todo tipo de accidentes automovilísticos: posibilitan la convivencia entre automóviles y peatones.

Los ciudadanos, que no son idiotas, saben que estas normas hay que cumplirlas: si siguen con escrupulosa exactitud cada señal que en sus trayectos se encuentran, llegarán satisfactoriamente al destino que buscan y, además, evitarán tener cualquier tipo de dificultad en tanto accidentes. Por eso mismo, los estudiantes de autoescuela son entrenados rigurosamente para seguir a rajatabla toda indicación que aparezca: siguen a la perfección toda señal y toda norma de tráfico con el fin de poder conducir satisfactoriamente una vez logren aprobar el examen.

Realidad:

La gente hace lo que le da la gana. Las normas viales pasan a un segundo plano, sobrepasadas, cómo no, por el beneficio propio de cada conductor (que, generalmente, no suele coincidir). Ésto desemboca en colisiones, atropellos, atascos, bocinazos y un largo etcétera.

Evidentemente, los conductores noveles son pequeños ratones en este mundo de gatos: tienen que luchar por su supervivencia en la jungla de asfalto y olvidar todo lo aprendido en la academia del buen conductor. Porque, si conduces como hay que conducir teóricamente: serás pasto de los conductores más experimentados. De modo que comienzas a aprender a conducir una vez dejas de ir a la autoescuela.

Como ven, el principio se cumple en estos dos casos. Prueben a aplicarlo: se darán cuenta de que esto que expongo es más común de lo que parece, a pesar de lo fatalista que pueda sonar.

Quizás renueve este texto si se me ocurren más casos :P ]]> Arri http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=343 CRiSiS ? WHaT CRiSiS ?: El ITER. http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=342 Mon, 30 Aug 2010 16:44:21 GMT La CRiSiS del petróleo de 73 impulsó la búsqueda de nuevas formas de producir energía. Una de estas es la energía nuclear de fusión. Este tipo de... La CRiSiS del petróleo de 73 impulsó la búsqueda de nuevas formas de producir
energía. Una de estas es la energía nuclear de fusión.
Este tipo de reacciones nucleares producen energía formando núcleos atómicos
más pesados ( mayor número atómico, Z ) a partir de núcleos más ligeros
En la fisión nuclear se producen núcleos atómicos más ligeros
rompiendo núcleos atómicos más pesados.
Las estrellas, el Sol es un tipo de estrella, generam energía
usando distintas reacciones de fusión nuclear.

El proyecto ITER
- ITER es el acrónimo de Reactor Experimental Termonuclear de fusión Internacional -
es un programa que persigue la construcción de una instalación capaz de producir
energía por fusión nuclear mediante la colaboración de diversas naciones.

Para que os hagáis una idea de la cronología,
Reino Unido, Francia, la U.R.S.S. y los EE.UU. empezaron a hablar de cooperar
para desarrollar la tecnología capaz de emplear la energía nuclear de fusión
para fines pacíficos en la cumbre sobre energía de Ginebra
- noviembre de 1985 - y formaron el germen del proyecto.
Después se incorporaron la UE, Japón, China, Corea y la India.

Como ya sabéis, Vandellós ( España ) fue una de las ubicaciones candidatas en Europa
para el ITER,
pero, finalmente, la diferencia entre el esfuerzo español en investigación en fusión
y el francés hizo que, a finales de noviembre de 2003,
Cadarache - Francia - quedase como la ubicación de la Unión Europea
para el ITER, quedando la sede administrativa - donde trabajan unas 250 personas -
en Barcelona.

A finales de 2005, la sede de la UE gana a las candidatas presentadas por Japón y Canadá
y en octubre de 2007 se firma el acuerdo y se crea la organización ITER.

Los costes del proyecto se reparten de la forma siguiente :

UE -> 57 %
Resto de los paises - China, Corea del Sur, EE.UU, India, Japón y Rusia - -> 43 %

La idea era que en 2019 el ITER,
que como ya os he dicho, es una instalación experimental,
estuviese construido
y que durante este periodo puesto que hablamos de una reacción nuclear de fusión
a alta temperatura - deuterio + tritio -> helio + neutron -
se hayan impulsado
la investigación en ingeniería de materiales
- International Fusion Materials Irradiation Facility, -,
la experimentación y simulación relacionadas con plasma
- los reactivos y productos de la fusión estarán en forma de plasma -
y el diseño de DEMO - que sería un prototipo de la planta de producción de energía -

A día de hoy - 2010 - tras haberse iniciado la construcción del ITER en Cadarache
se considera que el coste del proyecto será de 15,000 millones de euros
a lo largo de 10 años
que viene a ser tres veces lo inicialmente presupuestado.
A aquellas 'vacas gordas' con las que soñó el faraón
las han seguido el Tito Paco 'el de las rebajas'
y a dónde antes íbamos con aquello de...' que no farte de ná '
hoy volvemos con el 'tijeretazo'.

Esta mañana he estado en Correos para recoger una carta certificada
El señor que me seguía en la cola estaba hablando
y cuando terminé, me dió por preguntarle.
Su hijo es físico y lleva unos años trabajando en el CERN
y por lo que me contó, en el CERN también hay recortes.
Todo esto a pesar de que lo último que leí sobre recortes en España
era que los capítulos de Física de Partículas no iban a sufrir recortes.

En resumen, el pastel a repartir no era tan grande como se pensaba
y se ha iniciado una carrera destinada a averiguar qué proyecto de investigación
es el más importante
- si se me permite la broma, cual va a salvar a la Humanidad de su destrucción -
en un planeta afectado por el calentamiento global
puesto que se estima que DEMO no empezaría a producir electricidad
por fusión nuclear hasta 2030 - más realista sería 2050 -

Quiero deciros que ITER no es el único proyecto de reactor de fusión experimental,
que hay otros, que se diferencian en las formas de confinar el plasma
y en el mecanismo para obtener la fusión.
Lo que suceda con el ITER en un futuro próximo, ya se verá.

Siento haber tardado en redactar el artículo,
espero que no haya quedado muy farragoso
y os doy las gracias - como siempre - por el tiempo que le habéis dedicado a su lectura.
Un saludo. ]]> aLFRe http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=342 Los dineros de Judas. http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=341 Mon, 23 Aug 2010 16:17:19 GMT Solían presentarse en la asignatura Lenguaje de la antigua Educación General Básica fragmentos seleccionados de obras clásicas de la literatura... Solían presentarse en la asignatura Lenguaje de la antigua Educación General Básica fragmentos seleccionados
de obras clásicas de la literatura española para que el estudiante armado con un diccionario de la lengua - o no -
les hiciese aquello del comentario de texto.
Unos años después en el B.U.P. tenías ocasión de leer la obra completa y ya se te pedía algo más elaborado
que un comentario. YA se pedía un 'trabajo'.
Por tanto, he de decir que de 'La vida de Lazarillo de Tormes, y de sus fortunas y sus adversidades'
tuve noticia siguiendo el camino antes descrito.

Las tres primeras ediciones de 'El Lazarillo' data del año 1554.
Poco después es prohibido y circula una versión reducida un Lazarillo 'castigado' de 1573
expurgado por López de Velasco a instancias de Felipe II.
En este 'castigado' no aparecen, por ejemplo, el 'tractado cuarto' y el 'quinto',
este último trata de 'cómo Lázaro se asentó con un buldero...
Y es cuanto quería decir de 'El Lazarillo'.

Un buldero podría ser un clérigo que iba pueblo por pueblo predicando las bulas de la Santa Cruzada
y, con este pretexto, recaudando dinero.
No era esta la única actividad rentable - 'línea de negocio' diríamos hoy en día - propiciada por las cruzadas.
El alto clero compraba supuestas reliquias procedentes de aquellas tierras
y relacionadas con los sucesos narrados en el Nuevo Testamento
que podían tener algún tipo de poder o que simplemente servían para atraer peregrinos.

Mateo viene a contarnos que Judas descubrió a Jesús a sus enemigos por 30 monedas de plata,
pero si hoy en día nos pusiésemos a contar el número de monedas de Judas conservadas como reliquias
en catedrales, iglesias y monasterios, el número de éstas superaría las 200.
Nos vendría bién un prodigio como este para superar la CRiSiS actual ¿ no os parece ?

No es el único aspecto divertido de todo el asunto.
Se conservan tanta madera procedente de la cruz de Cristo que se podría reconstruir la Armada Invencible
de Felipe II sin problema alguno.
Se conserva un pelo de la Virgen - ¿ alguien ha pensado en hacerle lo del ADN ? -.
y podemos decir de San Juan Bautista que tenía mucha mano... pues se conservan 60 dedos.
Siguiendo con la anatomía, también tenemos tres prepucios de Jesus,
las lentejas y un mendrugo que sobro de 'La Ultima Cena', así como el mantel
y raspas de los peces que Jesús multiplicó.
También se conserva una paja - o dos - del pesebre de Jesús
y del cordón umbilical de éste.

Existen plumas y huevos del Espíritu Santo son objeto también de veneración.
También la pluma del arcángel Gabriel y parte de la arcilla que Dios usó para modelar a Adán.
El número de reliquias de Cristo supera la cifra de 1 millón
y las católicas en general superan la de 5 millones.
Todo un negocio... por cierto ¿ alguien quiere un 'lignum crucis'? barato barato

Un saludo y gracias por leerme. ]]> aLFRe http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=341 En el jardín del Edén http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=340 Tue, 17 Aug 2010 00:56:26 GMT Bueno en este blog les traigo un pequeño cuentecito que escribí una de mis tantas noches de insomnio. No es precisamente nada del otro mundo, pero a... Bueno en este blog les traigo un pequeño cuentecito que escribí una de mis tantas noches de insomnio. No es precisamente nada del otro mundo, pero a mi me dio que pensar, espero que a ustedes tambien y, sobre todo, que les guste:


En el jardín del Edén

El sol se mostraba en su máximo explendor. La poca sombra que los edificios abatían sobre la plaza era enormemente demandada. Largas colas se perdían en el horizonte y desembocaban en algún establecimiento acondicionado. Un hombre mayor refrescaba su pálida tez en una fuente, en acto de desesperación y sofoco.

Intenté olvidarme de ese bochornoso calor y aceleré el ritmo para llegar antes a casa. El sudor goteaba alegremente, paseandose por mi cansada tez. Entro por la puerta, una bofetada de aire frío me golpea en la cara.

Hora de comer. Es curioso que el día que más te mereces un exquisito manjar es el día que te preparan tu plato más odiado. Tras ingerir aproximadamente un tercio de la totalidad del recipiente, perdí el apetito. Parece que el cubo de basura no tiene preferencias entre una comida u otra.

Me echo al sofá a ver las noticias.
-Devastador terremoto en Haití, niños huerfanos muriendo de hambre.
Apago el televisor y me pongo a leer. Pasan las horas rápido. He conseguido eliminar por un tiempo aquellas crueles imágenes.

Un pequeño alboroto me saca de mi apasionante novela. Me asomo a la ventana. Unos jovenes están peleando por cierto tema desconocido para el observador. Quizá una mujer, una estafa, o un simple desacuerdo de opiniones. Debe ser que en el colegio no les enseñaron a hablar para solucionar los problemas.

La Luna parece que empieza a asomarse y acompañándola, el sueño. Todavía no había cenado, pero ese dia estaba realmente cansado. Apagué el interruptor de la luz y, de pronto, me desperté. Todo lo que había pasado durante el día no había sido más que una horrible pesadilla.

No daba crédito a las imágenes que mis ojos me mostraban. Auténticas maravillas se alzaban ante mí, impasibles. Una impresionante galería de flora y fauna danzaba a mi alrededor. Sentí que una ligera brisa me traía el olor del placer, de la tranquilidad, acariciándome con cuidado. Un imponente manzano me miraba discretamente desde lo alto de una colina. No había prohibiciones. Todo aquello era mío, mi Edén. Todo aquello era mi realidad...


FIN ]]> angel relativamente http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=340 Derivadas Funciones Trigonométricas III http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=337 Sun, 08 Aug 2010 02:50:30 GMT Hola! En esta ocasión, para finalizar el proyecto de demostraciones de las derivadas trigonométricas básicas, haremos las derivadas de las... Hola!

En esta ocasión, para finalizar el proyecto de demostraciones de las derivadas trigonométricas básicas, haremos las derivadas de las funciones SECANTE y COSECANTE. Es bueno recordar que hemos iniciado con los blogs:

Derivadas de funciones trigonométricas I

Derivadas de funciones trigonométricas II

donde se han demostrado las derivadas de las funciones SENO-COSENO y TANGENTE-COTANGENTE respectivamente.

Dicho esto, tomemos la función SECANTE y hagamos su derivada, planteándonos el concepto de límite para dicha función:

f'(\sec{x})=\lim_{h \to 0}\dst \frac{\sec(x+h)-\sec{x}}{h}


Lo que equivale a,

\displaystyle{f'(\sec x)=\lim_{h \to 0}\dst \frac{\frac{1}{\dst \cos (x+h)}-\frac{1}{\dst \cos x}...


Desarrollando el ángulo doble (como se explica en los blogs anteriores)

\displaystyle{f'(\sec x)=\lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{\dst \cos x \cos h-\sin x \sin h}-\dst \fra...


Haciendo la sustracción de las fracciones \left(\dst \displaystyle{\frac{1}{\cos x \cos h-\sin x \sin h}-\frac{1}{\cos x } } \right)}

\displaystyle{f'(\sec x)=\lim_{h \to 0}\dst {\frac{\frac{\dst \cos x-\cos x\cos h+\sin x\sin h}{\...


Hagamos factor común (\displaystyle \cos x)

\displaystyle{f'(\sec x)=\lim_{h \to 0}\dst {\frac{\frac{\dst \cos x(1-\cos h)+\sin x\sin h}{\dst...


Separando en dos fracciones:

\displaystyle{f'(\sec x)=\lim_{h \to 0}\dst {\frac{\frac{\dst \cos x(1-\cos h)}{\dst \cos x\left(...


Sabemos que \displaystyle \frac{a/b}{c/d } =\frac{a\cdot d}{c\cdot b}, entonces

\displaystyle{f'(\sec x)=\lim_{h \to 0}\dst \left({\frac{\not \cos x (1-\cos h)}{h\cdot \not\cos ...


Habiendo simplificado, reescribimos,

\dst f'(\sec x)=\lim_{h \to 0}\left( \frac{1}{\cos x\cos h-\sin x\sin h}\frac{1-\cos h}{h}+\frac{...


Aplicando propiedades de los límites,

\dst f'(\sec x)=\overbrace{\lim_{h \to 0}\frac{1}{\cos x\cos h-\sin x\sin h}}^{\dst \frac{1}{\cos...

\dst \ldots +\overbrace{\lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h}}^1\cdot \tan x \cdot \overbrace{\lim_{h \t...

Nos queda,

\dst f'(\sec x)=\overbrace{\frac{1}{\cos x} \cdot 0}^0+1\cdot \tan x\cdot\frac{1}{\cos x}

\boxed{\dst f'(\sec x)=\tan x\sec x}

Ahora derivemos la función COSECANTE, tomemos el concepto de límite (Si!!! otra vez...)para dicha función:

f'(\csc{x})=\lim_{h \to 0}\dst \frac{\csc(x+h)-\csc{x}}{h}

Equivalente a,

\displaystyle{f'(\csc x)=\lim_{h \to 0}\dst \frac{\frac{1}{\dst \sin (x+h)}-\frac{1}{\dst \sin x}...

Expandiendo el ángulo doble,

\displaystyle{f'(\csc x)=\lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{\dst \sin x \cos h+\sin h \cos x}-\dst \fra...

Encontremos la resta de \left(\dst \displaystyle{\frac{1}{\dst \sin x \cos h+\sin h \cos x}-\dst \frac{1}{\sin x}} \right)}

\displaystyle{f'(\csc x)=\lim_{h \to 0}\dst {\frac{\frac{\dst \sin x-\sin x\cos h-\sin h\cos x}{\...

Saquemos factor común (\displaystyle \sin x)

\displaystyle{f'(\csc x)=\lim_{h \to 0}\dst {\frac{\frac{\dst \sin x(1-\cos h)-\sin h\cos x}{\dst...

Separando las fracciones:

\displaystyle{f'(\csc x)=\lim_{h \to 0}\dst {\frac{\frac{\dst \sin x(1-\cos h)}{\dst \sin x\left(...

Reorganicemos y simplifiquemos,

\displaystyle{f'(\csc x)=\lim_{h \to 0}\dst \left({\frac{\not \sin x (1-\cos h)}{h\cdot \not\sin ...

Reescribimos,

\dst f'(\csc x)=\lim_{h \to 0}\left( \frac{1}{\sin x\cos h+\sin h\cos x}\frac{1-\cos h}{h}-\frac{...

Aplicando propiedades de los límites,

\dst f'(\csc x)=\overbrace{\lim_{h \to 0}\frac{1}{\sin x\cos h+\sin h\cos x}}^{\dst \frac{1}{\sin...
\dst \ldots -\overbrace{\lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h}}^1\cdot \cot x \cdot \overbrace{\lim_{h \t...

Nos queda,

\dst f'(\csc x)=\overbrace{\frac{1}{\sin x} \cdot 0}^0-1\cdot \cot x\cdot\frac{1}{\sin x}

\boxed{\dst f'(\csc x)=-\cot x\csc x}

Si se leyeron el blog anterior, entonces sabran que aun no terminamos...Ahora demostraremos estas derivadas utilizando la regla de la derivada de un cociente,demostrada en este blog. De donde:

\displaystyle \boxed{\boxed{\text{Si}\; y=\frac{f(x)}{g(x)} \Longrightarrow y'=\frac{f'(x)\cdot g...

Vamos en orden, primero la SECANTE:

f'(\sec x)=f'\left( \frac{1}{\cos x} \right) =\frac{\overbrace{0\cdot \cos x}^0-\left( 1\cdot -\s...

\dst f'(\sec x)=\frac{\sin x}{\cos x }\cdot \frac{1}{\cos x }

Igual a:

\boxed{f'(\sec x)=\dst \tan x \sec x}

Ahora hagamos la Cosecante:

\dst f'(\csc x)=f' \left( \frac{1}{ \sin x} \right) =\frac{\overbrace{0\cdot \sin x}^0-1\cdot \co...

Simplifiquemos,

\dst f'(\csc x)=-\frac{\cos x}{\sin^2 x }

\dst f'(\csc x)=-\frac{\cos x}{\sin x }\cdot \frac{1}{\sin x }

\boxed{\dst f'(\csc x)=-\cot x \csc x}

EN GENERAL:

\dst \boxed{\boxed{f'(\sec u)=u'\tan u \sec u}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\boxed{\boxed{f'(\csc u)...


\dst {\mathbr{L.Q.Q.D.}}


Es más común que se utilicen estas fórmulas para determinar las derivadas, que aplicar el concepto de límite, pues con dichas fórmulas se llega al mismo resultado de manera sencilla y rápida, pero me ha parecido interesante plantear de donde se obtienen.

Espero les halla gustado.

Saludos
]]> Cris http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=337 Problemas clásicos entorno a la radiación de una carga acelerada (II) http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=338 Wed, 04 Aug 2010 07:10:59 GMT *Significado físico de la radiación de una carga acelerada* La radiación de una carga acelerada se puede interpretar como asociada a un mecanismo... Significado físico de la radiación de una carga acelerada

La radiación de una carga acelerada se puede interpretar como asociada a un mecanismo de transferencia de información que ajusta el estado del campo propio de la carga con el estado cinemático de dicha carga. La radiación de una carga acelerada conlleva el reajuste de las líneas de campo propio en función del estado cinemático de la carga en un tiempo retardado; debido a que las alteraciones del campo en el vacío se propagan a la velocidad de la luz. La radiación está por tanto asociada a un proceso básicamente informativo. Esta relación informativa entre la carga y su campo se ve claramente en el límite de la velocidad de la luz: no podemos acelerar la carga por encima de la velocidad de la luz. Si esto fuese posible y el campo siguiese las leyes de Maxwell, entonces la carga y su campo evolucionarían de forma independiente. El teorema de Gauss podría violarse: el campo en la superficie de una esfera que englobase la carga móvil podría mantenerse sin cambios a pesar de que, un instante mas tarde, la carga ya estuviese fuera de dicha esfera; dado que las modificaciones del campo se propagarían a la velocidad de la luz. No parece probable que se puedan mantener las leyes de Maxwell y cargas aceleradas por encima de la velocidad de la luz; de hecho estas ecuaciones representan precisamente una relación causal entre el campo y sus fuentes. Podemos ver en la existencia del límite de la velocidad de la luz una señal de dependencia intrínseca entre el campo y sus fuentes.

Por tanto solamente existe radiación en la medida que suponga una transferencia de información entre la partícula y su campo. No parece correcto introducir una limitación física a la posibilidad de que un observador pueda acceder a la misma información que cualquier otro observador en un experimento determinado. Por tanto en el caso de una carga acelerada si hay un observador que no es capaz de detectar emisión de radiación, entonces ningún observador puede hacerlo. Esto no quiere decir que la información sobre el estado cinemático de la partícula se pierda; puede haber casos en que esta información sea conocida de antemano.

Veamos un ciclo físico completo de caída de una carga hasta que queda en reposo en el suelo y vuelve a caer:

1-Carga en caída libre. Para el observador inercial en caída libre se trata de una carga sin aceleración y por tanto no hay emisión de radiación. Por tanto el observador gravitatorio tampoco detecta radiación, ya que no puede conseguir mas información que el observador en caída libre. Esto puede explicarse también pensando que tanto la carga como su campo caen simultáneamente con la misma aceleración en el campo gravitatorio.

2-Impacto de la carga con el suelo. En el instante de choque podemos pensar que el campo propio de la carga sigue cayendo al no estar informado simultáneamente del estado dinámico de la carga. La radiación está asociada al transporte de información que intenta reconstruir el campo propio de acuerdo al estado de movimiento de la carga. La fuente de energía de la que se extrae la radiación es la propia energía cinética de la carga.

3-La carga permanece en reposo para el observador gravitatorio. En este caso no podemos localizar una fuente que justifique la emisión de radiación y parece claro también que el campo de la carga es estacionario; por tanto no deberíamos esperar emisión de radiación. Sin embargo, siendo la caída libre el estado inercial en el que hay que dar menos explicaciones podemos preguntarnos como sabe el campo que su carga ya no está en caída libre. Esto induce a pensar en un mecanismo de comunicación que no suponga radiación. Una posibilidad es que la carga posea algún momento magnético intrínseco o inducido por impacto que genere un vector de Pointing ligado a la carga, tal como el caso de una carga moviéndose a velocidad constante en un sistema de coordenadas inercial. El vector de Pointing en este caso describe un flujo de energía alrededor de la carga que no escapa del campo propio de dicha carga. En soporte de esta idea se puede decir que son conocidos casos de magnetización por impacto, como el caso de un clavo golpeado por un martillo. También es probable que, al menos en parte, el magnetismo lunar proceda de impactos de meteoritos. El viento solar está formado por partículas cargadas a altas velocidades que, al no tener la luna una atmósfera, impactan directamente en su superficie. Según nuestro argumento, esto podría ser una fuente del magnetismo lunar.

4-La carga vuelve a caer desde su estado de reposo. Permítanme un pequeño rodeo antes de abordar este punto....

El lector interesado puede seguir el tema, ente otros, en el libro "Espacio,tiempo,materia y vacío" en la revista e-ingenieria de la Universidad Mayor de Chile.

Gracias por vuestra Atención. ]]> niestsnie http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=338 Demostración de la derivada de una función exponencial http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=334 Tue, 03 Aug 2010 02:22:31 GMT Pues en este nuevo artículo me propongo demostrar las derivadas exponenciales. Sabemos que la derivada de una función exponencial es igual a dicha... Pues en este nuevo artículo me propongo demostrar las derivadas exponenciales. Sabemos que la derivada de una función exponencial es igual a dicha función por el logaritmo natural de de la base por la derivada del exponente de la función. Para el caso en el que el exponente sea x, como la derivada de x es 1, al multiplicarlo por este, el término no se altera, por tanto decimos que:

\boxed{\boxed{\text{Si}\; f(x)=a^x \Longrightarrow f'(x)=a^x \cdot \ln{a}}}

Procedamos a demostrar la siguiente afirmación:

Recordemos la definición de derivada :

\displaystyle \boxed{f'(x)= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}}

En primer lugar procedamos a sustituir \dst f(x)=a^x en la definición de derivada, por tanto:

\displaystyle f'(x)= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{a^{x+\Delta x} - a^{x}}{\Delta x}

Desarrollando:

\displaystyle f'(x)= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{a^{x}\cdot a^{\Delta x} - a^{x}}{\Delta x}

Sacando factor común ( a^x ) :

\displaystyle f'(x)= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{a^x\left({a^{\Delta x}-1} \right) }{\Delta x}

Bien, ahora vamos a suponer la siguiente igualdad:

a^{\Delta x}-1=t\; \Rightarrow \;a^{\Delta x}=t+1

Aplicaremos el logaritmo neperiano en ambos miembros de esta última expresión, por tanto:

\ln{a^{\Delta x}}=\ln{(t+1)}

Conociendo la propiedad de los logartimos que dice que:

El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.
Matemáticamente hablando lo podemos expresar como:

\dst \log_{a} x^n = n \cdot \log_{a} x
Por tanto, desarrollando la ecuación ( 7 )

\Delta x \cdot \ln{a}=\ln{(t+1)}

Despejamos \Delta x

\Delta x=\frac{\ln{(t+1)}}{\ln{a}}

Cuando \Delta x tiende a 0, t también tiende a 0.

\dst \Delta x\to 0\;\; \Longrightarrow \;\; t \to a^0 -1 = 0\;\; \Longrightarrow \;\; t\to 0

Si sustituimos ( 6 ) ( 10 ) y ( 11 ) en ( 5 ):

\dst f'(x)=a^x \cdot\lim_{t\to 0}\; \dst\frac{t}{\displaystyle\frac{\ln{(t+1)}}{\ln{a}}}

Simplificando:

\dst f'(x)=a^x \cdot\lim_{t\to 0}\; \dst\frac{\ln{a}}{\frac{1}{t} \cdot \ln{(t+1)}}= \dst a^x \cd...

Aplicando la propiedad de los logaritmos ( 8 ):

\dst f'(x) = a^x \cdot\ln{a} \cdot\lim_{t\to 0}\; \dst\frac{1}{ \ln{(t+1)^{1/t}}}

Utilizando las propiedades de los límites:

\dst f'(x) = a^x \cdot\ln{a} \cdot \dst\frac{1}{\dst \ln{\lim_{t\to 0}\;(t+1)^{1/t}}}

ATENCIÓN: Recordemos que "e" se puede definir como:

\dst e=\lim_{n\to \infty}\; \left( {1+\frac{1}{n}} \right)^n

O bien, mediante esta otra expresión:

\dst e=\lim_{n\to 0} \; \left({1+n} \right)^{1/n}

Si se fijan, en ( 15 ) tenemos una expresión igual que ( 17 )

\dst f'(x) = a^x \cdot\ln{a} \cdot \dst\frac{1}{\dst \ln \underbrace{{\lim_{t\to 0}\;(t+1)^{1/t}...

Por tanto:

\dst f'(x) = a^x \cdot\ln{a} \cdot\frac{1}{1}= a^x \cdot\ln{a}

Por tanto, queda demostrado que:

\boxed{\boxed{\text{Si}\; f(x)=a^x \Longrightarrow f'(x)=a^x \cdot \ln{a}}}

Ah, se me olvidaba. Hay un caso particular, el el cual la base es el número e. En este caso se aplicaría la misma fórmula [f'(x)=a^x \cdot \ln{a}}}] , pero como el logartimo neperiano de e es 1, quedaría:

f'(x)=e^x \cdot \ln{e}}}= e^x \cdot 1 = e^x

Por tanto al derivar e^x obtenemos la misma expresión.

Espero que lo hayan entendido ;)

Saludos ]]> QED http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=334 Demostración de la derivada de una constante y de la variable independiente x http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=333 Sun, 01 Aug 2010 23:30:14 GMT Saludos de nuevo Usuarios de la Web. En este artículo vamos a demostrar la demostración de la derivada de una constante. Sabemos que la derivada... Saludos de nuevo Usuarios de la Web. En este artículo vamos a demostrar la demostración de la derivada de una constante.

Sabemos que la derivada de una constante es 0. Es decir:

\displaystyle \boxed{\boxed{\text{Si}\; f(x)=K \Longrightarrow f'(x)=0\;\;\;\;\; K\in \mathbb{R}}}

Procedamos a demostrarlo:

En esta demostración usaremos la definición de derivada, la cual sabemos:

\displaystyle \boxed{f'(x)= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}}

Sustituyamos \dst f(x)=K en la definición de derivada, tenemos que:

El primer término [ f(x+\Delta x) ] es igual a K, ya que, al ser una constante, en cualquier punto del eje X su imagen siempre va a valer lo mismo.

El segundo término [ f(x) ] , evidentemente, también vale K. Por tanto:

\displaystyle f'(x)= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{\overbrace{f(x+\Delta x)}^{K} - \overbrace{f(x)...

Es decir:


\displaystyle f'(x)= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{K-K}{\Delta x}= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{0}...

Queda demostrado entonces que:

\displaystyle \boxed{\boxed{\text{Si}\; f(x)=K \Longrightarrow f'(x)=0\;\;\;\;\; K\in \mathbb{R}}}

Esta era bastante sencillita ;)

Procedamos a demostrar la derivada de X. Sabemos que la derivada de x es 1. Matemáticamente hablando:

\displaystyle \boxed{\boxed{\text{Si}\; f(x)=x \Longrightarrow f'(x)=1}}

En principio podría tomarse como la derivada de una potencia, ya que:

f(x)=x=x^1

Aplicando la derivada de una potencia :

f'(x)=1\cdot x^0 = 1 \cdot 1 =1

Pero vamos a demostrarlo por medio del límite. Demuestro la derivada de este caso en concreto de una potencial debido a que es muy frecuente su uso y jamás se emplea la fórmula de la potencia de forma directa (Y también porque si no el artículo me quedaba muy corto).


El resultado de f(x) coincide con lo que hay dentro del paréntesis. Por lo tanto, podemos decir que:

f(x+\Delta x)=x+\Delta x

Sustituiremos \dst f(x)=x en ( 2 ), es decir, en la definición de derivada. Por tanto:

\displaystyle f'(x)= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{x+\Delta x - x}{\Delta x}= \lim_{\Delta x\to 0}...

Queda demostrado así que:

\displaystyle \boxed{\boxed{\text{Si}\; f(x)=x \Longrightarrow f'(x)=1}}

Estas son dos demostraciones poco complejas, pero nunca vienen mal.

Saludos, espero que se haya entendido ;) ]]> QED http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=333 Investigación y becas. http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=332 Tue, 27 Jul 2010 16:04:42 GMT Se decía al principio de la legislatura que una de las razones para crear el Ministerio de Ciencia e Innovación (http://www.micinn.es) era impulsar... Se decía al principio de la legislatura que una de las razones para crear el
Ministerio de Ciencia e Innovación era impulsar las políticas de I+D+I
en España, reducir la burocracia, etc., etc.

No tardó mucho el ministerio en demostrar su ineptitud en la homologación de los títulos de los titulados - o no - extranjeros
y su incapacidad para responder a las numerosas dudas
que había sobra la forma en que nuestras universidades se habrían de adaptar al E.E.E.S.
- Espacio Europeo de Educación Superior -, léase Plan Bolonia
- ese Plan que no existe -
Finalmente lo relacionado con las universidades se envió al Ministerio de Educación
pero la mejora ni está, ni se le espera.

En una carta dirigida al director de El País y publicada en dicha sección el pasado lunes 26 de julio de 2o1o
bajo el título "Investigación y Becas" se viene a describir la ejecutoria de un ministerio
en relación a la convocatoria de becas-contrato FPU ( de Formación del Profesorado Universitario )
convocatoria publicada en el BOE de 17 de noviembre de 2009
y cerrada el 6 de diciembre.
La carta se puede leer
en este enlace
y demuestra que hay una realidad, la del que solicita una ayuda pública o recurre a un servicio público
y lo que allí se encuentra y la propaganda del gobierno.
Nada que ver.

Antes de Bolonia, las FPU eran unas becas que se concedían a estudiantes por su trayectoria académica
demostrable, no son como las FPI - "becas para tós hasta pal má tontito" -.
La denuncia demuestra el cuento que es la búsqueda de la excelencia
y la doctrina "del que pague el que más repita" y "tendremos más becas para los que se las merezcan".
Un puro cuento con el que se busca tapar el agujero negro
- se come "tó lo que le pongan delante" -
que son las universidades públicas españolas.

Un saludo, espero que todo esto se arregle y gracias por leerme. ]]> aLFRe http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=332 Derivadas Funciones Trigonométricas II http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=331 Sat, 24 Jul 2010 03:13:53 GMT Hola! Pues acá nos encontramos nueva vez para continuar con las demostraciones de las derivadas de funciones trigonométricas, las cuales ya... Hola!

Pues acá nos encontramos nueva vez para continuar con las demostraciones de las derivadas de funciones trigonométricas, las cuales ya habiamos iniciado en este blog , con las derivadas del SENO y del COSENO.


En esta ocasión trabajaremos con las derivadas de las funciones TANGENTE y COTANGENTE.

Primero recordemos algunas indentidades trigonométricas:

a) \displaystyle \tan{x}=\frac{\sin{x}}{ \cos{x}}

b) \displaystyle \cot{x}=\frac{\cos{x}}{ \sin{x}}

c) \dst{\sec x=\frac{1}{\cos{x} }}

d) \dst{\csc x=\frac{1}{ \sin{x}}}

e) \dst{\sin^2{x}+\cos^2{x}=1}

f) \dst{\tan^2{x}+1=\sec^2 x}

g) \dst{1+\cot^2{x}=\csc^2 x}


h) \dst{\tan(a+b)=\frac{\tan{a}+\tan{b}}{1-\tan{a} \cdot\tan{b}}}


i) \dst{\cot(a+b)=\frac{1-\tan{a} \cdot\tan {b}}{\tan{a}+\tan{b}}}
Visto esto, empezaremos demostrando las derivada de la TANGENTE:

Comencemos planteándonos la definición de límite para esta función:

f'(\tan{x})=\lim_{h \to 0}\frac{\tan(x+h)-\tan{x}}{ h}



Desarrollamos la Tangente del ángulo doble (inciso h)

\displaystyle f'(\tan{x})=\lim_{h \to 0}\frac{\dst{\frac{\tan{x}+\tan{h}}{1-\tan{x} \cdot\tan{h}}...



Separemos en dos fracciones el término \left(\displaystyle \frac{\tan{x}+\tan{h}}{1-\tan{x} \cdot\tan{h}}\right)


\displaystyle f'(\tan{x})=\lim_{h \to 0}\frac{\frac{\tan{x}}{1-\tan{x} \cdot\tan{h}}+\frac{\tan{h...



Tomando factor común \displaystyle \left(-\tan x\right)


\displaystyle f'(\tan{x})=\lim_{h \to 0}\frac{-\tan x\left(-\frac{1}{1-\tan{x} \cdot\tan{h}}+1\ri...


Adicionemos las fracciones \left(-\frac{1}{1-\tan{x} \cdot\tan{h}}+1\right)

Se convierte en:

\displaystyle f'(\tan{x})=\lim_{h \to 0}\frac{-\tan x\left(\frac{-\tan x\cdot \tan h}{1-\tan{x} \...



Sabiendo que \displaystyle\frac{\displaystyle a / b}{\displaystyle c / d}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}


\displaystyle f'(\tan{x})=\lim_{h \to 0}\left(-\tan x\left(\frac{-\tan x\cdot \tan h}{h(1-\tan{x}...



Reescribamos esto para manipularlo mejor:

f'(\tan x)=\lim_{x \to 0}\left(\tan^2 x\frac{\sin h}{h}\cdot\frac{1}{\cos h}\cdot\frac{1}{1-\tan ...


Aplicando las propiedades de los límites:

\displaystyle f'(\tan x)=\tan^2 x\cdot\overbrace{\lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h}}^1\cdot\overbrace...
\displaystyle\ldots\overbrace{\lim_{x \to 0}\frac{\sin h}{h}}^1\cdot\overbrace{\lim_{x \to 0}\fra...

Esto se reduce a:

f'(\tan x)=\tan^2 x\cdot (1)\cdot (1)\cdot(1)+(1)\cdot(1)\cdot (1)

f'(\tan x)=\tan^2 x+1

Sustituyendo la indetidad del inciso f):

\boxed{f'(\tan x)=\sec^2 x}


Prosigamos con la demostración de la derivada de la COTANGENTE:

La definición de límite para esta función es:

f'(\cot x )=\lim_{h \to 0}\frac{\cot(x+h)-\cot{x}}{ h}



Desarrollamos la cotangente del ángulo doble (inciso i)

\displaystyle f'(\cot x)=\lim_{h \to 0}\frac{\frac{1-\tan{x} \cdot\tan{h}}{\tan x+\tan{h}}-\cot {...



Hagamos dos fracciones del término \displaystyle\left( \frac{1-\tan{x} \cdot\tan{h}}{\tan x+\tan{h}}\right)

\displaystyle f'(\cot{x})=\lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{\tan{x} +\tan{h}}-\frac{\tan x\cdot \tan{h...


Reordenando:

\displaystyle f'(\cot x )=\lim_{h \to 0}\frac{\left(\frac{1}{\tan x +\tan h}-\cot x \right)-\frac...


Sumando las fracciones \left(\frac{1}{\tan{x} +\tan{h}}-\cot{x}\right)

Nos queda:

\displaystyle f'(\cot x )=\lim_{h \to 0}\frac{-\frac{\cot x \cdot \tan x}{\tan x +\tan h}-\frac{\...


Acomodamos:

\displaystyle f'(\cot x )=\lim_{h \to 0}\left(-\frac{\cot x \cdot \tan x}{h(\tan x +\tan h)}-\fra...


Reescribamos :

\displaystyle f'(\cot x )=\lim_{h \to 0}\left(-\cot x\frac{\sin h}{h}\frac{1}{\cos h}\frac{1}{\ta...

Propiedades de los límites:

\displaystyle f'(\cot x)=-\cot x\cdot\overbrace{\lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h}}^1\cdot\overbrace{...
\displaystyle\ldots\tan x \cdot\overbrace{\lim_{x \to 0}\frac{\sin h}{h}}^1\cdot\overbrace{\lim_{...


Nos queda:

f'(\cot x)=-\cot x\cdot(1)\cdot (1)\cdot \frac{1}{\tan x}-\tan x \cdot(1)\cdot (1)\cdot \frac{1}{...

f'(\cot x)=-\cot^2 x-1

f'(\cot x)=-\left(\cot^2 x+1\right)



Sustituyendo la indetidad del inciso g):

\boxed{f'(\cot x)=-\csc^2 x}

Esperen!! aun no terminamos...Podemos demostrar estas derivadas de manera mas sencilla :D. Para ello utilizaremos la regla de la derivada de un cociente, la cual está demostrada en este blog. Del cual tomaremos prestado esto:


\displaystyle \boxed{\boxed{\text{Si}\; y=\frac{f(x)}{g(x)} \Longrightarrow y'=\frac{f'(x)\cdot g...

Comencemos con la Tangente:

f'(\tan x)=f'\left(\frac{\sin x}{\cos x }\right)=\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\cdot-\sin x }{\co...

Operacionando:

f'(\tan x)=\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{ \cos^2 x}

Retomando la indentidad del inciso e) y c)

f'(\tan x)=\frac {1}{ \cos^2 x}

\boxed{f'(\tan x)=\sec^2 x}}

Ahora tomemos la Cotangente:

f'(\cot x)=f'\left(\frac{\cos x}{\sin x }\right)=\frac{-\sin x \cdot \sin x-\cos x\cdot \cos x }{...

Simplifiquemos,

f'(\cot x)=\frac{-\sin ^2 x-\cos ^2 x}{ \sin ^2 x}

Por conveniencia:

f'(\cot x)=\frac{-\left( \sin ^2 x+\cos ^2 x\right)}{ \sin ^2 x}


f'(\cot x)=-\frac {1}{ \sin^2 x}


\boxed{f'(\cot x)=-\csc^2 x}}

EN GENERAL:

\boxed{\boxed{f'(\tan u)=u'\sec^2 u}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\boxed{\boxed{f'(\cot u)=-u' \csc^2...


\dst {\mathbr{L.Q.Q.D.}}


Y así nos damos cuenta que hay varios caminos para llegar a un mismo destino, algunos complejos pero elegantes y otras simplones pero ágiles.

Espero os halla gustado.

Saludos
]]> Cris http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=331 Demostración de la derivada del cociente http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=329 Sat, 17 Jul 2010 19:02:37 GMT Procedamos a demostrar la derivada de un cociente. Dice así: La *derivada del cociente* de dos funciones es igual a la derivada del numerador... Procedamos a demostrar la derivada de un cociente. Dice así:

La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador. Es decir:


\displaystyle \boxed{\boxed{\text{Si}\; y=\frac{f(x)}{g(x)} \Longrightarrow y'=\frac{f'(x)\cdot ...

Primero lo demostraremos empleando la derivada de una potencia y la derivada de un producto :

Recordemos:

Derivada de una potencia

\text{Si}\; y=[f(x)]^n \Longrightarrow y'=n\cdot [f(x)]^{n-1} \cdot f'(x)

Derivada de un producto

\text{Si}\; y=f(x) \cdot g(x) \Longrightarrow y'=f'(x)\cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)
Comenzemos con la demostración de la derivada del cociente por este método:

\displaystyle y=\frac{f(x)}{g(x)}=f(x)\cdot \frac{1}{g(x)}=f(x)\cdot [g(x)]^{-1}

Aplicamos la fórmula de la derivada del producto:

y'=f'(x)\cdot [g(x)]^{-1} + f(x)\cdot \left({[g(x)]^{-1}}\right)'

Aplicamos la fórmula de la derivada de una potencia:

\displaystyle y'=f'(x)\cdot [g(x)]^{-1} + f(x)\cdot [-g(x)]^{-2}\cdot g'(x)

Operamos:

\displaystyle y'=\frac{f'(x)}{g(x)} - \frac{f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}

Restamos las fracciones:


\displaystyle y'=\frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}


Por este método queda demostrada la ecuación ( 1 ). Vamos por el segundo método, un tanto más formal. Para este utilizaremos el concepto de límite, cuyos teoremas principales podemos encontrarlos en este blog , y la definición de derivada.

Recordemos que podemos definir a la derivada de la siguiente manera:

\displaystyle \boxed{y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}}

Procedamos a demostrar la fórmula de la derivada del cociente mediante la definición de derivada. Al cociente de funciones lo escribiremos como la función cociente:

\displaystyle y=\frac{f(x)}{g(x)}=\left({\frac{f}{g}}\right)(x)


Si sustituimos esta función en la definición de derivada, nos queda:


\displaystyle y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \displaystyle \frac{\displaystyle \left({\frac{f}{g}}\...

Ahora volvemos a descomponer nuestra función cociente en el cociente de funciones, de tal modo que:


\displaystyle y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{\displaystyle \frac{f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)...

Simplificamos:

\displaystyle y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \displaystyle \frac{f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)\cdot...

Ahora, al término \displaystyle f(x+\Delta x) vamos a restarle f(x) . El problema es que al hacer esto modificaríamos la expresión, por tanto también vamos a sumárselo:


\displaystyle y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \displaystyle \frac{f(x+\Delta x)-f(x)+f(x)}{g(x+\De...


Ahora separaré los términos convenientemente, sin modificar la expresión:


\displaystyle y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \displaystyle \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{g(x+\Delta ...


Opero convenientemente:


\displaystyle y'= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{\displaystyle \left[{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\De...


Ahora restamos las fracciones:


\displaystyle y'=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\displaystyle \left[{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\D...


Sacamos factor común al f(x) :


\displaystyle y'=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\displaystyle \left[{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\D...


Ahora vamos a multiplicar a la segunda fracción por (-1) . Para no alterar la expresión, multiplicaremos numerador y denominador:


\displaystyle y'= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{\displaystyle \left[{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}...


Reescribiendo:


\displaystyle y'= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{\displaystyle \left[{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)...


Ahora vuelvo a separar los términos convenientemente, sin modificar la expresión, de modo:


\displaystyle y'= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{\displaystyle \left[{\frac{f(x+\Delta x)-f(x...


Ahora, conociendo los teoremas fundamentales de los límites, desarrollaremos la expresión:

y'= \frac{\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}{\left[{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right]}...


Vamos a analizar detalladamente esta última expresión.

Sabemos que \displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}{\left[{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right]} es igual que la definición de derivada, por tanto:

\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}{\left[{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right]}=f'(x)


Si sustituimos \Delta x por 0 en la expresión: \displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}{g(x+\Delta x)} , obtenemos:

\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}{g(x+\Delta x)}=g(x)


Tambien sabemos que \displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}{\left[{\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right]} es igual que la definición de derivada, salvo que con una g en lugar de con una f , por tanto:

\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}{\left[{\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right]}=g'(x)


En la expresión \displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\;f(x)} , como no hay ningún \Delta x que sustituir, se queda:

\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\;f(x)=f(x)


Podemos decir lo mismo de \displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\;g(x)}

\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\;g(x)}=g(x)


Si sustituimos ( 21 ) , ( 22 ) , ( 23 ) , ( 24 ) y ( 25 ) en ( 20 ) , quedaría:


\displaystyle y'=\frac{f'(x)}{g(x)}- g'(x) \cdot \frac{f(x)}{g(x) \cdot g(x)}

Reescribiendo:

\displaystyle y'=\frac{f'(x)}{g(x)}- \frac{g'(x) \cdot f(x)}{[g(x)]^2}

Simplificando:

\displaystyle y'=\frac{f'(x)\cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x)}{[g(x)]^2}


Por tanto, ha quedado demostrado (por dos métodos) que:


\displaystyle \boxed{\boxed{\text{Si}\; y=\frac{f(x)}{g(x)} \Longrightarrow y'=\frac{f'(x)\cdot...


Espero que les haya gustado y se hayan divertido en mi demostración.

¡Saludos! ;) ]]> QED http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=329 Demostración de la derivada del producto http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=327 Fri, 16 Jul 2010 14:23:34 GMT Prodecemos a demostrar la derivada de un producto. La *derivada del producto* de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del... Prodecemos a demostrar la derivada de un producto.

La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del segundo más el segundo factor por la derivada del primero. Es decir:

\displaystyle \boxed{\boxed{\text{Si}\; \; y=f(x)\cdot g(x) \Longrightarrow y'=f'(x)\cdot g(x) + ...

Procedamos a demostrarlo:

En primer lugar, vamos a considerar que:

y=f(x)\cdot g(x) =(f\cdot g)(x)

Ahora copiaremos la definición de derivada, que dice así:

\displaystyle {\boxed{y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}}}

Si sustituímos nuestra función (2) en la definición de derivada, nos queda esto:

\displaystyle{y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{(f\cdot g)(x+\Delta x) - (f\cdot g)(x)}{\Delta x}}

Ahora vamos a volver a convertir la operación producto en el producto de las funciones por separado, es decir:

y=(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)

Por tanto:

\displaystyle{y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{f(x+\Delta x) \cdot g(x+\Delta x) - f(x)\cdot g...

Ahora vamos a hacer una cosa curiosa. Vamos a sumar en el numerador:

f(x) \cdot g(x+\Delta x)

Pero para no alterar la expresión, vamos a sumarla a cada uno de los miembros:

\displaystyle{y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{f(x+\Delta x) \cdot g(x+\Delta x)+ f(x) \cdot ...

Organizando:


\displaystyle{y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{[f(x+\Delta x) \cdot g(x+\Delta x) - f(x) \c...

Sacando factor común:

\displaystyle{y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{g(x+\Delta x) \cdot [f(x+\Delta x )- f(x)] + f...

Reescribiendo:

\displaystyle{{y'= \lim_{\Delta x\to 0}\;\left( \left[{\frac{g(x+\Delta x) \cdot [f(x+\Delta ...

Recordemos que el límite de una suma es la suma de los límites de los términos, por tanto:

\displaystyle{y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \left[{\frac{g(x+\Delta x) \cdot [f(x+\Delta x) - f...

Recordemos también que el límite de un producto es igual al producto de los límites de los factores. Nos queda así:


\displaystyle y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; g(x+\Delta x) \cdot \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{f(x+\D...


Ahora fíjense bien. Si en este trozo: ( \displaystyle y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; g(x+\Delta x) ) sustituyo el \Delta x por 0 , nos queda que:


\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\; g(x+\Delta x) = g(x)


Esto: ( \displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} ) es la definición de derivada, es decir:


\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}=f'(x)


Esto: ( \displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\; f(x) ) se queda igual, ya que no hay ningún \Delta x que sustituir.


\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\; f(x)=f(x)


Y esto: ( \displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{ g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x} ) es la definición de derivada salvo que con una g en lugar de con f, siendo:


\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{ g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x}=g'(x)

Es decir:


\displaystyle y'=\underbrace {\lim_{\Delta x\to 0}\; g(x+\Delta x)}_{g(x)} \cdot \underbrace{\l...


Queda demostrado que:


\displaystyle \boxed{\boxed{\text{Si}\; \; y=f(x)\cdot g(x) \Longrightarrow y'=f'(x)\cdot g(x) +...

Espero que les haya gustado y que se haya entendido.

¡Saludos!

Ángel ]]> QED http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=327 La lambada, el cacao maravillao y las bombas nucleares. http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=326 Thu, 15 Jul 2010 16:02:52 GMT Para los que empezáis ahora vuestros estudios de Física me gustaría contaros que hubo unos tiempos en los que una bibliografía de Física General ... Para los que empezáis ahora vuestros estudios de Física
me gustaría contaros que hubo unos tiempos en los que una bibliografía de Física General
- lo que se ve en primer curso de licenciatura - no incluía el texto de Tipler.
( hay una edición anterior a la familiar de "Fisica para la ciencia y la tecnología" )
y se recomendaban, entre otros, el Física de Marcelo Alonso y Edward J. Finn
- los dos primeros volúmenes de los tres de la edición anterior a la actual que son dos -,
los dos del "Física" de Solomon Garthenhaus de Editorial Interamericana,
los del Física de Eisberg, también dos,
y por último los tres del "Física general y experimental" de Jose Goldemberg y Juan Herkrath.

Recuerdo que en los textos de Goldemberg se analizan algunas cuestiones
a las que no se les mete mano en otros libros de Física
por lo cual son de lectura interesante.
Pero no es este el motivo de esta entrada en mi blog de lawebdefisica.

En un artículo que se publica en ABC el domingo 27 de junio de 2010 y que se puede
leer en este enlace,
me sorprendió leer el nombre de este físico al que recordaba como
coautor de esos libros de la bibliografía de Física General.
Goldemberg es uno de los científicos más reconocidos de Brasil,
es creador del programa basileño de etanol, de la ECO 92 y ganador del "Blue Planet Prize".

En el artículo se resume una entrevista concedida por Goldemberg a Época,
donde el físico manifiesta sus temores de que el gobierno de Brasil esté interasado
en el desarrollo de armas nucleares.
Ya sabéis... Eu quero...
Dada la situación política en la zona, esto supondría no sólo que Brasil se incorporase al club nuclear
sino una escalada en la zona.
Brasil dispone de dos plantas nucleares y posiblemente abra una tercera.

Un saludo y gracias a todos por leerme. ]]> aLFRe http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=326 Demostración de la derivada de la suma http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=324 Mon, 12 Jul 2010 11:54:42 GMT Hola. Vamos a proceder con la demostración de la derivada de la suma. Imagino que sabrán que la derivada de una suma es igual a la suma de las ... Hola. Vamos a proceder con la demostración de la derivada de la suma. Imagino que sabrán que la derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas de cada término.

\displaystyle\boxed{ \boxed{\text{Si} \; y=f(x)\pm g(x) \Longrightarrow{y'(x)=f'(x)\pm g'(x)}}}

A continuación escribiremos a la suma de las funciones como la función suma:

\displaystyle f(x)+g(x)=(f+g)(x)

Por tanto la función suma es:

\displaystyle y=(f+g)(x)

Ahora copiamos la fórmula de definición de derivada , que dice así:

\displaystyle {\boxed{y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}}}

Si sustituimos (3) en (4), nos queda:


\displaystyle {y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{(f+g)(x+\Delta x) - (f+g)(x)}{\Delta x}}

Ahora volveremos a convertir la función suma en la suma de las funciones por separado:

\displaystyle {y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{f(x+\Delta x) +g(x+\Delta x) - [f(x)+g(x)]}{\D...

Operando:

\displaystyle {y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{f(x+\Delta x) +g(x+\Delta x) - f(x)-g(x)}{\De...

Reagrupando:

\displaystyle {y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{[f(x+\Delta x) -f(x)]+[g(x+\Delta x) -g(x)]}...

Reescribiendo:


\displaystyle y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \left[{\frac{f(x+\Delta x) -f(x)}{\Delta x} +\frac...

Ahora vemo a aplicar una propiedad de los límites, que podemos ver en este blog . Dice que el límite de una suma es igual a la suma de los límites de cada término, es decir:

\displaystyle y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{f(x+\Delta x) -f(x)}{\Delta x} + \lim_{\Delta ...

Como podemos observar, en esta ecuación, la primera parte es igual que la definición de derivada, y la segunda también salvo que en vez de con f con g :

\displaystyle y'=\underbrace{ \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{f(x+\Delta x) -f(x)}{\Delta x}}_{...

\displaystyle y'=f'(x)+g'(x)

La demostración de la resta es igual salvo que cambiando algunos signos. Por tanto queda demostrado que:

\displaystyle\boxed{ \boxed{\text{Si} \; y=f(x)\pm g(x) \Longrightarrow{y'(x)=f'(x)\pm g'(x)}}}

Espero que se haya entendido bien y que lo hayan disfrutado :D ]]> QED http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=324 Mr. Rotacional and Mrs. Divergencia http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=323 Sun, 11 Jul 2010 15:36:46 GMT Bueno, quisiera contaros una pequeña historia de amor, del Rotacional y la Divergencia, y cómo, juntos, pueden ser la clave de todo. Vamos a empezar... Bueno, quisiera contaros una pequeña historia de amor, del Rotacional y la Divergencia, y cómo, juntos, pueden ser la clave de todo. Vamos a empezar con lo primero, las definiciones, y cuando tengamos una idea de qué son, vamos a ver para qué sirven.


Definimos la divergencia de un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas \mathbf{F} = (F_1, F_2, F_3) = F_1 \boldsymbol i + F_2 \boldsymbol j + F_3 \boldsymbol k como



\text{div}\,\mathbf{F} \equiv \frac{\partial F_1}{\partial x} +\frac{\partial F_2}{\partial y} +...



El rotacional del campo vectorial \mathbf{F} = (F_1, F_2, F_3) = F_1 \boldsymbol i + F_2 \boldsymbol j + F_3 \boldsymbol k de nuevo expresado en coordenadas cartesianas se define como



\text{rot}\,\mathbf{F} \equiv \left(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partia...



Existe otra manera, geométrica, de introducir los conceptos de rotacional y divergencia de un campo vectorial



\text{div}\,\mathbf{F} = \lim_{\mathcal{V} \rightarrow 0} \frac{1}{\mathcal{V}} \int\!\!\!\!\!\!\...



\text{rot}\,\mathbf{F} = \lim_{\mathcal{V} \rightarrow 0} \frac{1}{\mathcal{V}} \int\!\!\!\!\!\!\...



donde la integral de superficie cerrada se realiza cogiendo un volumen pequeño \mathcal{V} y donde \mathcal{S} es la frontera de esta región que contiene al punto donde nos interesa obtener el valor de la divergencia o del rotacional. Esta definición tiene la ventaja de que es independiente del tipo de sistema de coordenadas con el que se trabaja, sea cartesiano, cilíndrico, esférico, etc...



Abusando un poco de la notación, y apartir de la definición del operador nabla



\nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial...



podemos expresar la divergencia y el rotacional en función del operador nabla.



\text{div}\,\mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F}


\text{rot}\,\mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F}



Esta forma de expresar la divergencia y rotacional de un campo vectorial es un abuso de notación por dos motivos: en primer lugar, el producto entre el símbolo \partial / \partial i y una función lo debemos entender como aplicar el operador derivación parcial a esa función, y en segundo lugar, el producto escalar, forma bilineal simétrica definida positiva que es, implica que \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}. Es decir, dada un campo escalar f, se debe tener que (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})f = (\mathbf{b} \cdot \mathbf{a})f. Ahora bien, vamos a considerar el primer lugar (\nabla \cdot \mathbf{a})f:



(\nabla \cdot \mathbf{a})f = \left(\frac{\partial a_1}{\partial x} + \frac{\partial a_2}{\partial...



¿Qué pasaría con (\mathbf{a}\cdot \nabla )f? Veamos:



(\mathbf{a}\cdot \nabla)f = \left ( a_1 \frac{\partial}{\partial x} + a_2\frac{\partial}{\partial...



que desde luego no coincide con (\nabla \cdot \mathbf{a})f.



Originalmente, Josiah Willard Gibbs quiso introducir los símbolos \nabla \cdot y \nabla \times como entidades nuevas con propiedades nuevas y distintas a lo que normalmente se entiende como producto escalar y producto vectorial. No obstante, E.B Wilson y Oliver Heaviside fueron los responsables de propagar este abuso de notación sin aclarar que realmente no se trata de los productos escalar y vectorial usuales.



Una vez finalizada la introducción teórica de la divergencia y del rotacional, paso a presentar dónde se usan, y usaré como ejemplo el lugar más común donde aparecen: el estudio del Electromagnetismo. Las Ecuaciones de Maxwell describen el comportamiento de cualquier campo electromagnético estático (para situaciones dinámicas, es decir, cargas en movimiento, necesitamos además la ley de Lorentz), y vienen dadas por las siguientes cuatro ecuaciones vectoriales:



\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0},



\nabla \cdot \mathbf{B} = 0,



\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t},



\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\par...



Ahora bien, ¿cuál es la importancia de conocer la divergencia y el rotacional de un campo vectorial? ¿Por qué es tan conveniente esta formulación del electromagnetismo? La razón es doble:



1) Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz nos da la primera respuesta con dos teoremas. El primero de ellos dice que un campo vectorial se conoce de forma biunívoca dados su divergencia y su rotacional dentro de un dominio simplemente conexo y la componente normal a la frontera del dominio. El segundo teorema, que es el que realmente se conoce como el Teorema de Helmholtz, afirma que si conocemos para todos los puntos de un volumen finito V el rotacional \mathbf{a}(\mathbf{r}) y la divergencia b(\mathbf{r}) de un campo vectorial \mathbf{F} y éstos (la divergencia y el rotacional) tienden a 0 cuando r \rightarrow \infty, entonces el campo vectorial lo podemos escribir como la superposición de dos partes, una irrotacional (de rotacional nulo) y otra solenoidal (de divergencia nula):



\mathbf{F} = \mathbf{F}(\mathbf{r}) = - \nabla \Phi + \nabla \times \mathcal{D}



donde



\Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi}\iiint_V \frac{b(\mathbf{r'}) d \tau '}{|\mathbf{r} - \mathbf{r...



y



\mathcal{D}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi}\iiint_V \frac{\mathbf{a}(\mathbf{r'}) d \tau '}{|\mathb...



En estas expresiones, |\mathbf{r} - \mathbf{r}'| es la magnitud del vector de posición relativa.



Ya que el campo vectorial \mathbf{F} se puede calcular apartir de ellas, su divergencia y su rotacional se conocen como las ecuaciones fuente del campo \mathbf{F}.



De esta manera, de forma teórica, y dadas unas hipótesis, se puede llegar a conocer un campo vectorial conociendo su divergencia y su rotacional.



2) La divergencia y el rotacional de un campo vectorial también nos permiten conocer el comportamiento de un campo vectorial a ambos lados de la frontera de separación de dos medios con propiedades distintas.



La divergencia nos permite conocer cómo varía la componente normal a un lado y a otro de la frontera de separación de dos medios:



\mathbf{\hat{n}} \cdot (\mathbf{F}_2 - \mathbf{F}_1) = \lim_{h \rightarrow 0} (h\nabla \cdot \mat...



donde \mathbf{\hat{n}} es el vector unitario normal a la superficie de separación de los dos medios, que apunta del primer medio al segundo, \mathbf{F}_2 es el valor del campo vectorial en el segundo medio en el lado correspondiente de la frontera, y \mathbf{F}_1 es el valor del campo vectorial en el primer medio en el lado correspondiente de la frontera, y h es el espesor de la capa de transición.



De forma análoga, el rotacional permite caracterizar el cambio de las componentes tangenciales:



\mathbf{\hat{n}} \times (\mathbf{F}_2 - \mathbf{F}_1) = \lim_{h \rightarrow 0} (h\nabla \times \m...



donde se ha usado la misma nomenclatura que el caso anterior.



Por ejemplo, si la divergencia de un campo vectorial es siempre nula (un candidato evidentemente es la inducción magnética \mathbf{B}) se tiene que su componente normal permanece invariante cuando atraviesa la frontera de separación de dos medios.



Así, queda expuesta la importancia de estos dos operadores vectoriales, y cómo juntos, dan para mucho, como en cualquier relación seria. ;)
]]> Metaleer http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=323 Derivadas Funciones Trigonométricas I http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=322 Fri, 09 Jul 2010 21:27:11 GMT Hola! Tanto cálculo por acá, me ha traído un poco de nostalgia, así que me he motivado a desempolvar esos libros y apuntes con los que aprendí,... Hola!

Tanto cálculo por acá, me ha traído un poco de nostalgia, así que me he motivado a desempolvar esos libros y apuntes con los que aprendí, para realizar la demostración de las derivadas de funciones trigonométricas.

Tomaremos los Teoremas e Identidades Trigonométricas necesarias para realizar las demostraciones, sin entrar en muchos detalles para no desviarnos mucho del objetivo principal. Dejaremos pendientes para otra ocasión (o si alguien se anima antes) la demostraciones de dichos teoremas.


I-Teorema Principal sobre límites

Sean n un entero positivo, k una constante y f y g que tengan límites en c. Entonces:

1-\displaystyle \lim_{x \to c}k=k

2-\displaystyle \lim_{x \to c}x=c

3-\displaystyle \lim_{x \to c}k\cdot f(x)= k \cdot \lim_{x \to c} f(x)

4-\displaystyle \lim_{x \to c}[f(x)+g(x)] =\lim_{x \to c} f(x) + \lim_{x \to c} g(x)

5-\displaystyle \lim_{x \to c}[f(x)-g(x)] =\lim_{x \to c} f(x) - \lim_{x \to c} g(x)

6-\displaystyle \lim_{x \to c}[f(x)\cdot g(x)] =\lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x)

7-\displaystyle \lim_{x \to c} \frac {f(x)}{g(x)} =\frac {\displaystyle\lim_{x \to c} f(x)}{\displa... Con tal que \displaystyle \lim_{x \to c} g(x) \neq 0

8-\displaystyle\lim_{x \to c} \displaystyle \sqrt[n] {f(x)} =\displaystyle \sqrt[n] {\lim_{x \to c}... siempre que \displaystyle \lim_{x \to c} f(x) > 0
II-Teorema de Sustitución

Si f es una función polinomial o una función racional, entonces


\displaystyle\lim_{x \to c} f(x)= f (c)

Con tal que f (c) esté definida. En el caso de una función racional, esto significa que el valor del denominar en c no sea cero.
III-Límites Trigonométricos especiales

1- \displaystyle\lim_{t \to 0} \frac{\sin t} {t}= 1

2-\displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{1-\cos t} {t}= 0
Luego de este breve repaso sobre límites procederemos a enunciar el concepto de derivada que ya ha sido demostrado en este blog.

IV La derivada de una funcion f es otra función f ' (léase "f prima") cuyo valor en cualquier número c es:

f '(c) = \lim_{h \to 0 }{\frac{f(c+h)-f(c)}{h}}


Siempre que este límite exista y no sea \infty o -\infty
Las fórnulas trigonométricas para la suma de ángulos, tambien nos serán útiles,


V Fórmulas suma de ángulos

\sin (x+h)=\sin x \cdot \cos h+\sin h\cdot \cos x


\cos (x+h)=\cos x \cdot \cos h-\sin x\cdot \sin h
Luego de este necesario preámbulo, empezemos con la demostración de la derivada de la función trigonométrica SENO:

Retomando los incisos IV y II llegamos a:

f '(\sin x) = \lim_{h \to 0 }{\frac{\sin (x+h)-\sin (x)}{h}}


Utilizando el apartado V sustituimos la fórmulas suma de ángulos

f '(\sin x) = \lim_{h \to 0 }{\frac{\sin x\cdot \cos h+\cos x \cdot \sin h -\sin x}{h}}


Sacando Factor común \sin x

f '(\sin x) = \lim_{h \to 0 }{\frac{-\sin x(1-\cos h)+\cos x \cdot \sin h}{h}}


Reescribiendo,

f '(\sin x) = \lim_{h \to 0 }\left({-\sin x \cdot \frac{1-\cos h}{h}+\cos x \cdot \frac{ \sin h}{...


Ahora aplicando el teorema I-3

f '(\sin x) = \left(-\sin x \cdot \lim_{h \to 0 }{\frac{1-\cos h}{h}\right)+\left(\cos x \cdot \l...



Revisando III sobre los límites trigonométricos especiales

f '(\sin x) =\overbrace{(-\sin x) \cdot 0}^0+(\cos x)\cdot 1


\boxed{f '(\sin x) =\cos x}


Seguimos con la demostración de la derivada de la función trigonométrica COSENO:

Volviendo a los incisos IV y II tenemos:

f '(\cos x) = \lim_{h \to 0 }{\frac{\cos (x+h)-\cos (x)}{h}}


Utilizando el apartado V sustituimos la fórmulas suma de ángulos

f '(\cos x) = \lim_{h \to 0 }{\frac{\cos x\cdot \cos h-\sin x \cdot \sin h -\cos x}{h}}


Factor común \cos x

f '(\cos x) = \lim_{h \to 0 }{\frac{-\cos x(1-\cos h)-\sin x \cdot \sin h}{h}}


Reescribiendo,

f '(\cos x) = \lim_{h \to 0 }\left({-\cos x \cdot \frac{1-\cos h}{h}-\sin x \cdot \frac{ \sin h}{...


Nueva vez, aplicando el teorema I-3

f '(\cos x) = \left(-\cos x \cdot\lim_{h \to 0 }{ \frac{1-\cos h}{h}\right)-\left(\sin x \cdot \l...



Revisando III,

f '(\cos x) =\overbrace{(-\cos x) \cdot 0}^0-(\sin x)\cdot 1


\boxed{f '(\cos x) =-\sin x}


Y asi llegamos a la conclusión general de que

\boxed{\boxed{f '(\sin u) =u'\cos u}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\boxed{\boxed{f '(\cos u) =-u'\sin u}}



\displaystyle \mathbr{L.Q.Q.D.}


Hablando en términos mundanos, tenemos una función que se transforma en otra y esa otra en el negativo de la primera.Ya en otra ocasión veremos las derivadas de las demás funciones trigonométricas.

Gracias por leerme. ]]> Cris http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=322 Cena con velitas para dos. http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=321 Thu, 08 Jul 2010 16:36:48 GMT Tras pedirselo en múltiples ocasiones, una amiga mía se decidió a visitarme hace unos años. Tras llevarla a visitar la Giralda, la Catedral y el... Tras pedirselo en múltiples ocasiones, una amiga mía
se decidió a visitarme hace unos años.
Tras llevarla a visitar la Giralda, la Catedral y el Alcazar y a almorzar,
la acompañé esa tarde a visitar las zonas con interés,
monumentos y barrios pintorescos de mi ciudad
quizás por esas malas prisas con las cuales uno intenta enseñar todo a los visitantes.

Me había aprendido de memoría seis o siete folios de letra apretada
con sucesos históricos y divertidas anécdotas
- la mayoría leidas en los libros de don José María de Mena,
a quien puedes recurrir si eres sevillano y quieres impresionar con lo que sabes de tu ciudad a una guiri -
Como la cosa fue bién, pensé que podría rematar la jornada
invitándola a cenar y que conociese la gastronomía de nuestra ciudad,
donde cada plato tiene raiz bien en la tradición musulmana
bien en la judeo-cristiana.

Debía de haberlo planeado mejor y haber hecho una reserva en un restaurante para otro día,
porque nos pilló a las diez de la noche en una zona en la cual
los únicos establecimientos donde cenar eran un chino
o un local donde servían platos combinados.

Los platos combinados fue algo que se puso de moda a finales de los setenta
y que venía a ser una forma de almorzar rápida y barata.
Creo que este local se montó pensando en que aquello iba a funcionar
y fue de traspaso en traspaso.
La verdad es que creo que las hamburguesas funcionaron mejor.
En la cristalera del local había una montón de fotos de los platos
amarillentas ya y de los cuales sólo se podían elegir tres o cuatro
según nos dijo el camarero que nos antendió.

Puesto que yo seguía con mi idea en la cabeza de que mi amiga probase
algo de nuestra cocina le seleccioné el plato que tenía
jamón serrano
- le expliqué lo que era el cochino serrano, con perdón, de pata negra, criado con bellota -
tomate, huevos fritos y un pimiento verde frito.
La verdad es que cuando el camarero trajo el plato de ella y el mio
no se parecía bastante al de la foto.

La loncha de jamón era una rodaja traslúcida de lo fina que era...
milagrosa puesto que, afirmo yo, hasta el ciego aquel
al que sirvió el Lazarillo podría ver la luz a través de ella.
El segundo huevo, prometido en la foto, se había perdido en su periplo de la cocina a la mesa
sin dejar razón de dónde encontrarlo.
Descubrí que el pimiento a mi amiga no le gustaba... así que el suyo me lo comí yo.
En resumen, creo que mi amiga no se llevó una buena idea de la cocina andaluza.

Y colorín, colorado, este cena se ha acabado. ]]> aLFRe http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=321 Justificación de la definición de derivada http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=320 Thu, 08 Jul 2010 02:15:38 GMT Bueno, en este artículo vamos a intentar explicar qué es eso de la derivada. Una derivada es la pendiente de la recta tangente a un punto de una... Bueno, en este artículo vamos a intentar explicar qué es eso de la derivada.

Una derivada es la pendiente de la recta tangente a un punto de una función. La recta tangente es aquella que corta a la función en un solo punto.




Para explicar la definición de derivada imaginemos el siguiente ejemplo.
Si consideramos en una función un intervalo [a,x] y sus respectivas imágenes, f(a) y f(x):





Al intervalo [a,x] vamos a representarlo por \Delta x y al intervalo [f(a),f(x)] lo representaremos con \Delta y .



Trigoometicamente hablando, definimos la tangente de un ángulo como la relación entre el cateto opuesto y el cateto contiguo de un triángulo rectángulo. En nuestro ejemplo, siendo \alpha el ángulo comprendido en el triángulo rectángulo que se muestra en la anterior figura, la tangente será.

\displaystyle\tan(\alpha)=\frac{cat.op}{cat.cont}=\frac{\Delta y}{\Delta x}

A esta última expresión la llamamos cociente incremental.

Ahora bien, ¿cómo podemos obtener estos "deltas"?

\Delta x es si al valor de "x" (6 en nuestra imagen) le restamos el valor de "a" (2 en nuestra imagen). Es decir:

\Delta x= x-a

Con \Delta y pasa lo mismo. Es si al valor de f(x) le restas el valor de f(a). Por tanto:

\Delta y= f(x)-f(a)

Reemplazando las ecuaciones (2) y (3) en (1), tenemos que:

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}

Pero dijimos que una derivada era la inclinación recta tangente a un punto de una función, y como vemos, la recta "azul celeste" de nuestra imagen, es decir, la hipotenusa de nuestro triángulo, no es tangente, porque no toca en un punto, sino secante, porque atraviesa a la función.

Si fuesemos acercando el punto x hacia el punto a, veríamos que poco a poco \Delta x tendería a 0. Igualmente, al acercar el punto x hacia a , sus imágenes se iran acercando, de manera que \Delta y tambien tenderá a 0. Cuando \Delta x tiende a 0, todo se acerca a un punto, que es el que nos da la recta tangente.



Como podemos observar en la imagen anterior, cuanto más vamos acercando el valor de x hacia a con más exactitud se va definiendo la pendiente (nuestra línea azul celeste).

De modo que si a y x se superponen, nos quedaría esto:



Por tanto, la definición de derivada es lo que habíamos dicho en la ecuación (4) salvo que \Delta x tiende a 0.

Por tanto, podemos definir una derivada como:

\displaystyle \boxed{\boxed{y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}}}

Espero que se entienda. Saludos! :)

Véase también:

Demostración de la derivada de una constante y de la variable independiente x

Demostración de la derivada de la suma

Demostración de la derivada del producto

Demostración de la derivada del cociente

Demostración de la derivada de la potencia

Demostración de la derivada exponencial

Demostración de las funciones trigonométricas I (seno y coseno)

Demostración de las funciones trigonométricas II (tangente y cotangente)

Demostración de las funciones trigonométricas III (secante y cosecante) ]]> QED http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=320 Demostración de la derivada de la potencia http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=319 Wed, 07 Jul 2010 21:42:40 GMT Como ya dijimos anteriormente, la definición de derivada... Como ya dijimos anteriormente, la definición de derivada es:

\displaystyle f'(x)= \lim_{\Delta x\to 0}\;\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

Vamos a calcular la derivada de la función: y(x)=x^n

Aplicando la definición anterior, tenemos que:

\displaystyle f'(x)=\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}\; \frac{(x+\Delta x)^n - x^n}{\Delta x}

El desarrollo de la serie (x+\Delta x)^n es similar al de (a+b)^n donde:

\displaystyle (a+b)^n=a^n + \frac{n}{1!}\cdot a^{n-1} \cdot b + \frac{n(n-1)}{2!} \cdot a^{n-2} ...

Por tanto:


\displaystyle (x+\Delta x)^n=x^n + \frac{n}{1!}\cdot x^{n-1} \cdot \Delta x + \frac{n(n-1)}{2!}...

Llevando esta expresión a la definición de derivada, obtenemos:


\displaystyle f'(x)= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{\left[{x^n + \frac{n}{1!}\cdot x^{n-1} \cdot \...

Ahora bien, cuando \Delta x es prácticamente cero, podemos considerar como nulos todos los términos (\Delta x)^2 , (\Delta x)^3 , etcétera, con lo que se obtiene:

\displaystyle f(x)= \lim_{\Delta x\to 0} \; \frac{n\cdot x^{x-1} \cdot \Delta x}{\Delta x}= n\cd...

Es decir:

\boxed{\boxed{\text{Si}\; f(x)=x^n\; , \; \text{entonces} \;\; \displaystyle f'(x)=n\cdot x^{n-1}}}

Espero no haber cometido errores, pronto habrán más demostraciones :)

Saludos, gracias por leerme. ]]> QED http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=319 ¡Puf! Déjalo... http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=318 Wed, 07 Jul 2010 16:51:31 GMT - (...)Claro; entonces, como la luz blanca es una composición de ondas de distinta frecuencia, al entrar ésta en el prisma se separa en distintas... - (...)Claro; entonces, como la luz blanca es una composición de ondas de distinta frecuencia, al entrar ésta en el prisma se separa en distintas componentes, porque el índice de refracción...

- ¡Puf! Déjalo...

Ésto es un ejemplo de lo que muchas veces nos ha podido pasar: Cuando sales de clase emocionado por la explicación de algún fenómeno natural, te diriges a comentárselo a alguien y... De repente... Esa frase lapidaria: "¡Puf! Déjalo..."

La Ciencia goza de cierto renombre en la sociedad desde un punto de vista más global: tecnología, avances científicos, premios nobel... Podríamos decir que tiene reconocimiento. Pero no olvidemos que la sociedad la forman todos los individuos que en ella viven. No es sólo lo que sale en los periódicos o lo que se dice por la tele, no. La sociedad son personas. Y el diálogo que explicaba en el encabezamiento me ha ocurrido varias veces. Con personas. Con la sociedad.

Desde este punto de vista más personal, la Ciencia tiene dos características: es difícil y aburrida. Cuando tratas de entablar conversación sobre un tema científico en alguien que no trata con ello día a día, las posibles justificaciones que recibes para finalizar la conversación son:

a) "Es muy difícil y no lo entiendo"
b) "Me aburro"

La primera afirmación me hace pensar en una frase de Richard Feynman que leí hace poco:

Las matemáticas son uno de los descubrimientos de la humanidad. Por lo tanto no pueden ser más complicadas de lo que los hombres son capaces de comprender.
La Ciencia es algo humano. Todas las explicaciones que estudiamos han sido desarrolladas por seres humanos, y humanos somos los que vivimos en sociedad. Por tanto, la Ciencia no puede ser pensada como algo imposible de comprender. Sin embargo, muchísima gente la concibe de esta manera: en cuanto tratas de explicar algo científico e introduces palabras como "ecuación", "teorema" o cualquier otro término científico, la mente del receptor sufre un bloqueo psicológico y auditivo que desemboca en un "¡Qué complicado!" ¡Y ya no hablemos de cuando intentamos explicarlo con fórmulas...!

Por algún motivo, la terminología científica y los números provocan pavor entre la gente no especializada. Es por eso que existe la divulgación: un método de extender la Ciencia sin meterse en el jardín de las ecuaciones para hacer accesible este conocimiento a cualquier persona. Pero, con todo, la Ciencia sigue suscitando pasividad e indiferencia.

Con respecto a la segunda afirmación, he de decir que a cada uno le interesa lo que le interesa. Para gustos los colores, claro. Sin embargo, el hecho de no interesarse por la Ciencia desemboca inevitablemente en la ignorancia. Sin ir más lejos, hace unos meses vi una película por televisión (cuyo título no recuerdo) en la que un muchacho estaba haciendo la tarea de Química y preguntaba algo así:

- ¿Cómo hallo la masa atómica del electrón?

La masa atómica del electrón. Hay que joderse. Yo no soy un lumbreras pero, que yo sepa, los electrones constituyen la nube electrónica de los átomos...Lo mismo hubiera sido decir: ¿Cómo hallo la masa corporal de un dedo?

La Ciencia puede parecer complicada y resultar aburrida, pero tenemos que conocerla tanto por la herencia cultural que supone como por el conocimiento que nos aporta. Recuerdo un fantástico artículo de pod en el que hacía una acertada metáfora con los científicos y el foso de los orangutanes del zoo. Sí, los científicos deben acercar la Ciencia a aquellos que no la trabajan. Pero ¿Cómo lo hacemos si no hay interés por ella? ]]> Arri http://forum.lawebdefisica.com/blog.php?b=318