Ver canal RSS

Geometría, álgebra y demás

  1. Nudos de luz

    por el 05/08/2016 a las 12:02:41 (Geometría, álgebra y demás)
    Hola a todos, vengo a hablaros de unas soluciones de las ecuaciones de Maxwell en el vacío muy chulas con forma de nudo. Son soluciones de campo nulo, es decir, soluciones en las que los campos eléctrico y magnético son ortogonales y cumplen \vec{E}^2 -\vec{B}^2=0 (uso unidades en las que c=1). La nulidad hace que la topología de nudo se preserve a lo largo del tiempo. Para encontrar estas soluciones usaremos un método denominado construcción de Bateman que explicaré a continuación. Partimos de las ecuaciones de Maxwell en el vacío:

    \vec{\nabla} \cdot \vec{E}=0

    \vec{\nabla} \cdot \vec{B}=0

    \vec{\nabla}\times\vec{E}=-\dst\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}

    \vec{\nabla}\times\vec{B}= \dst\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}
    ...

    Actualizado 05/08/2016 a las 12:06:53 por Weip

    Categorías
    Física , Matemáticas
  2. La media derivada y el problema de Abel

    por el 01/09/2015 a las 15:59:40 (Geometría, álgebra y demás)
    El 30 de septiembre de 1695 l'Hôpital le preguntó por carta a Leibniz cuánto vale la media derivada de x. A simple vista la pregunta es un sinsentido puesto que uno puede derivar una vez, dos veces, tres veces... pero no 0,5 veces. Aunque nuestra intuicion nos dice que es imposible, la verdad es que se puede hacer. Para ello veamos qué pasa al derivar repetidas veces la función f(x)=x^k:

    \dst\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}x^k=kx^{k-1}

    \dst\frac{\mathrm{d}^2} {\mathrm{d} x^2}x^k=k(k-1)x^{k-2}

    \dst\frac{\mathrm{d}^3} {\mathrm{d} x^3}x^k=k(k-1)(k-2)x^{k-3}

    ...

    Se puede demostrar que en general:

    \dst\frac{\mathrm{d}^n }{\mathrm{d} x^n}x^k=\dst\frac{k!}{(k-n)!}x^{k-n}
    ...

    Actualizado 01/09/2015 a las 22:51:37 por Weip

    Categorías
    Física , Matemáticas
  3. El espaciotiempo proyectivo de Minkowski

    por el 01/08/2015 a las 15:40:12 (Geometría, álgebra y demás)
    En anteriores artículos de blog escribí sobre geometría proyectiva pero no comenté nada acerca de su relación con la física. Ahora quiero exponerla en el ámbito de la relatividad especial. El objetivo presentar las definiciones básicas de la versión proyectiva del espaciotiempo de Minkowski y construir el cono de luz. Para ello partiré de los conceptos que ya presenté en "El mundo donde todas las rectas se cortan" así que hablaré de espacios proyectivos y de variedades lineales sin definirlos. Empecemos.

    Definición 1: Llamaremos espaciotiempo de Minkowski \mathcal{M} al par \left( \mathbb{R}^4, \left<, \right> \right) donde \mathbb{R}^4 lo consideramos como espacio vectorial y \left<, \right>: \mathbb{R}^4 \times \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R} ...

    Actualizado 03/08/2015 a las 13:43:44 por Weip

    Categorías
    Física , Matemáticas
  4. Animación de una onda con Mathematica

    por el 14/07/2015 a las 10:22:20 (Geometría, álgebra y demás)
    Hola a todos. Yo suelo usar el programa Mathematica para calcular integrales, determinantes muy grandes... Pero no solo sirve para hacer cálculos, también se pueden crear animaciones y simulaciones de fenómenos físicos entre otras cosas. Ya que tengo el programa desde hace bastante tiempo he decidido aprender un poco como funciona esta parte de Mathematica. En este blog quiero explicar paso a paso como animar una onda en una región determinada con Mathematica. De paso me servirá para acabar de sedimentar lo que he estado viendo estos días.

    Una onda obedece a la llamada ecuación de onda (valga la redundancia):

    \dst\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=v^2 \nabla ^2 u

    Supondré solo dos coordenadas espaciales ...

    Actualizado 01/08/2015 a las 16:25:23 por Weip

    Etiquetas: física, matemáticas
    Categorías
    Física , Matemáticas
    Miniaturas de adjuntos Imágenes adjuntas           
  5. El Principio de Dualidad

    por el 02/05/2015 a las 16:46:56 (Geometría, álgebra y demás)
    Hoy seguiré con el tema del anterior blog. En geometría proyectiva existe un poderoso principio que nos facilita la vida en ciertas ocasiones. Se conoce como el Principio de Dualidad. Tal como indica el nombre, se basa en establecer una relación entre un enunciado en un espacio proyectivo con otro enunciado del espacio proyectivo dual. La utilidad es la siguiente: si tenemos una afirmación en \mathbb{P}_n muy difícil de demostrar entonces podemos encontrar un enunciado equivalente en \mathbb{P}_n ^* que puede ser más fácil de demostrar.

    Ya están apareciendo algunas palabrejas así que empecemos con la definición básica.

    Definición: Sea \mathbb{P}_n un espacio proyectivo con espacio vectorial asociado E. Llamaremos espacio ...

    Actualizado 02/05/2015 a las 16:53:31 por Weip

    Etiquetas: geometría, matemáticas
    Categorías
    Matemáticas