Conmutador

El conmutador es una operación bilineal definida como

$$[A,\ B] = A B - B A .$$

En la mecánica cuántica, representa la operación binaria con la que se dota al k-espacio vectorial de los operadores diferenciales sobre el cuerpo k, de una estructura de álgebra (k-álgebra).
Es de notar que este álgebra, además, constituye un álgebra de Lie ya que cumple la condición de antisimetría

$$[A,\ B] + [B,\ A] = 0 .$$

y satisface la identidad de Jacobi

$$\big[A,\ [B,\ C] \big] + \big[B,\ [C,\ A] \big] + \big[C,\ [A,\ B] \big] = 0 ,$$

con A,B,C elementos del k-álgebra.

Ejemplos de álgebras son, por ejemplo, el espacio vectorial $C^n$ respecto del producto vectorial usual (que además tiene estructura de Algebra de Lie, por cierto) y el espacio de matrices cuadradas de dimensión n con respecto al conmutador definido anteriormente.

Es posible interpretar matemáticamente el principio de incertidumbre de Heisemberg (ver Principio de Indeterminación )para operadores autoadjuntos (observables) con ayuda de los conmutadores.
En efecto puede demostrarse que dos observables son compatibles (es decir, pueden medirse simultaneamente sus autovalores) si y solo sí su conmutador es nulo.

En mecánica clásica, los conmutadores están en completa analogía con los llamados corchetes de Poisson (ver Corchetes de Poisson en Diccionario de Mecánica).