• ¿Se puede viajar a la velocidad de la luz, o a una mayor?

    de
    pod
    Publicado en 06/06/2010 10:54:00
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    Se puede viajar a la velocidad de la luz si eres luz (u otra partícula sin masa), pero nunca se podrá viajar a una velocidad mayor. De hecho, un cuerpo con masa, ni siquiera podrá alcanzar dicha velocidad. Podrá acercarse tanto como quiera, pero no podrá alcanzarla.

    Como dijimos en la pregunta sobre la dependencia de la masa con la velocidad, la energía de una partícula debido a que existe, la energía en reposo, se puede escribir como E = m c^2. A esta energía se le debe sumar la energía debida al movimiento, la energía cinética. Así, pues, la energía total se puede escribir como

    E = m \gamma c^2 , \qquad \gamma = \frac1{\sqrt{ 1 - (v/c)^2 } } .

    Donde v es la velocidad del cuerpo y c, la de la luz. Cuando v se aproxima a c, \gamma crece indefinidamente. De hecho, para v \to c, tenemos una divergencia, \gamma = \infty. Por tanto, un cuerpo moviéndose a la velocidad de la luz, la energía seria infinita. Dado que es imposible transmitir energía estrictamente infinita a un cuerpo en un tiempo finito, nunca podremos llegar a la velocidad de la luz.

    Entonces, ¿cómo puede la luz viajar a la velocidad a la luz sin disponer de infinita energía? Porque la luz no tiene masa, m = 0. Como vemos en la ecuación (1), si hacemos ponemos la masa a cero, inmediatamente obtenemos energía nula,... a no ser que \gamma sea infinito, con lo cual tendríamos una indeterminación del tipo cero por infinito. Dicha indeterminación permite que la energía de una partícula sin masa no sea infinita pese a ir a la velocidad de la luz; y que no sea cero pese a no tener masa.

    En consecuencia, las partículas de masa nula (como las de luz) sólo pueden viajar a la velocidad de la luz. Si se movieran a otra velocidad, \gamma ya no sería infinito y la energía total sería cero: la partícula desaparecería.

    Pero para saber la energía de una partícula sin masa, es necesario romper la indeterminación de alguna forma. La hipótesis de Planck (1900), sin saberlo, hace precisamente esto: rompe la indeterminación afirmando que la energía de una partícula de luz (que llamamos fotón) depende de su frecuencia E = h\nu.

    Vamos a verlo de otra forma, para cuerpos con masa. El equivalente de la segunda ley de Newton, en una dimensión (si la fuerza es paralela a la velocidad) para la relatividad es

    F = \frac{\dd}{\dd t} (m \gamma v) .

    Para hacer la derivada, basta con usar la regla de la cadena

    F = m \frac{\dd\gamma}{\dd t} v + m \gamma a ,

    donde a es la aceleración. Podemos derivar el factor relativista utilizando su definición

    \begin{aligned} \frac{\dd\gamma}{\dd t} & = \frac{v}{c^2}\, a \Big( 1 - (v/c)^2 \Big)^{-3/2} \\ ...

    Utilizando todo esto, la fuerza se puede expresar (cuando es paralela a la velocidad) de la forma

    \begin{aligned} F & = m\gamma a \left( 1 + \frac{v^2}{c^2} \, \gamma^2 \right) \\ & = m \gamma ...

    Por lo tanto, vemos que incluso manteniendo la misma fuerza de forma indefinida, a medida que el cuerpo se mueve más deprisa, cada vez acelera de forma mucho más lenta. De hecho, cuando v se aproxima a la velocidad de la luz, la aceleración tiende a cero, es decir, por mucho que apliquemos una gran fuerza a un cuerpo cuya velocidad es cercana a la de la luz, no podremos prácticamente cambiar su velocidad.

    Hagamos los números. Supongamos una fuerza F constante (esto es una simplificación enorme; en realidad el tratamiento de las fuerzas es muy complicado en relatividad). Como a = \frac{\dd v}{\dd t}, tenemos la siguiente ecuación diferencial

    \begin{aligned} t & = \frac{m}{F} \int \!\! \dd v\ \Big( 1 - (v/c)^2 \Big)^{-3/2}\\ & = \frac m...

    Con lo cual, podemos obtener la velocidad en función del tiempo,

    v = \dfrac{c F t}{\sqrt{ c^2 m^2 + F^2 t^2} } .

    Es muy sencillo comprobar que esta velocidad siempre es menor a la de la luz. El límite cuando t\to\infty, es precisamente v\to c. Es decir, cualquier cuerpo, sometido a una fuerza constante (por grande que ésta sea), siempre tardará un tiempo infinito en alcanzar la velocidad de la luz. Como es físicamente imposible esperar tiempo infinito, es imposible que un cuerpo con masa alcance la velocidad de la luz; y mucho menos que la supere.
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    Comentarios 7 Comentarios
    1. Avatar de Stormkalt
      Stormkalt - 06/06/2010, 14:53:45
      Hola

      Los mesones son entidades cuánticas que poseen masa, sin embargo viajan a c. Son bosones formados por pares quark antiquark. ¿O viajan a velocidades muy cercanas a c?

      Un saludo.
    1. Avatar de Entro
      Entro - 06/06/2010, 16:51:45
      Los mesones no viajan a c... porque como tú dices es que los mesones tienen masa...
    1. Avatar de Joules
      Joules - 21/12/2011, 07:27:34
      bueno para no ir en contra de las leyes de la relatividad ....estos desde su origen deben viajar a c....
      y no ser acelerados......
      disculpen si me equivoco es mi opinion........
      psss este tema todavia es debate internacional
    1. Avatar de arivasm
      arivasm - 28/12/2011, 11:53:56
      Me gustaría saber por dónde van los tiros cuando pod afirma que "el tratamiento de las fuerzas es muy complicado en relatividad".

      Con respecto al comentario de Joules, sólo le diré que en la Física las opiniones valen de muy poco y que debería mostrar alguna evidencia de eso que afirma de que "los mesones desde su origen deben viajar a c" (y también por qué enseguida dejan de moverse con esa velocidad y pasan a tener una inferior), algo que jamás he oído. Por cierto que tampoco tiene mucho sentido: ¿por qué una combinación de dos quarks (los mesones lo son) debería hacerlo y una de tres (como el protón) no? Y ya puestos, ¿qué les hace diferentes?, por qué los electrones no, etc?

      Y eso de que es un tema de debate internacional... como no sea que él y yo somos de países distintos...
    1. Avatar de guibix
      guibix - 08/01/2012, 15:22:45
      Cita Escrito por arivasm Ver mensaje
      Me gustaría saber por dónde van los tiros cuando pod afirma que "el tratamiento de las fuerzas es muy complicado en relatividad".
      En la formulación para movimiento circular la ecuación es:

      \vec F=m\vec a_t\gamma^3+m\vec a_n \gamma

      Esto significa que la componente tangencial de cualquier aceleración se comporta de forma distinta a la componente normal. Una se relaciona con \gamma^3 y la otra por \gamma. Por esto se complica mucho si se aplican fuerzas no paraleras al movimiento.
    1. Avatar de Elkin
      Elkin - 08/01/2013, 20:11:47
      No se mencionó nada de los taquiones, alguna vez leí que aunque nunca se habían encontrado, la relatividad no entraría en contradicción si existiesen.
    1. Avatar de javirk
      javirk - 08/01/2013, 20:53:02
      Aunque sea de hace tiempo, he de decir que me ha encantado, llevaba tiempo buscando esta justificación y siempre me quedaba en el principio, pensando que eso era todo.