Introducción a cinemática II

[Ulises7]

Este artículo es una continuación de Introducción a cinemática I, a continuación hablaremos de:


Las componentes intrínsecas de la aceleración

Recordemos que: $\vec{a} = \dfrac{\dd \vec{v}}{\dd t}$

Pero como el vector velocidad también se puede escribir asi:

$\vec{v} = v\vec{u_t}$ Donde $\vec{u_t}$ es el vector unitario de la velocidad, tangente a la trayectoria.

Por tanto y recordando las propiedades de las derivadas:

$$\vec{a} = \dfrac{\dd \vec{v}}{\dd t} = \dfrac{\dd}{\dd t}v\vec{u_t} = \dfrac{\dd v}{\dd t}\vec{u_t} + v\dfrac{\dd \vec{u_t}}{\dd t}$$

Como vemos la aceleración tiene 2 componentes ( Fig. 1 ): $\boxed{\vec{a} = \vec{a_t} + \vec{a_n}}$

Fig.1

El primer término es la aceleración tangencial, indica el cambio del módulo de la velocidad.

$$\vec{a_t} = \dfrac{\dd v}{\dd t}\vec{u_t}$$

El segundo término es la aceleración normal, indica el cambio de dirección de la velocidad.

$$\vec{a_n} = v\dfrac{\dd \vec{u_t}}{\dd t}$$

También puede expresarse como:

$$\vec{a_n} = v\dfrac{\dd \vec{u_t}}{\dd t} = v\dfrac{\dd \vec{u_t}}{\dd s} \dfrac{\dd s}{\dd t} = v\dfrac{\dd \vec{u_t}}{\dd s} v = v^2 \dfrac{\dd \vec{u_t}}{\dd s}$$

Como bien sabemos:

$$\alpha = \dfrac{s}{R} \rightarrow \dd \alpha = \dfrac{<br /> \dd s}{R}$$

$$\dd s = \dd \alpha R$$

Como $\dd \alpha$ es muy pequeño podemos considerar $|\dd \vec{u_t}|\approx \dd s' = \vec{|u_t|}\ \dd \alpha = 1 \cdot \dd \alpha = \dd \alpha$

$\dfrac{|\dd \vec{u_t}|}{\dd s} = \dfrac{\dd \alpha}{\dd s}$

y $\dd s = \dd \alpha R \rightarrow 1 = \dfrac{\dd \alpha}{\dd s} R \rightarrow \dfrac{\dd \alpha}{\dd s} = \dfrac{1}{R}$

Por tanto el vector $\dfrac{\dd \vec{u_t}}{\dd t}$ tiene como módulo $\dfrac{1}{R}$ y su dirección es la del vector unitario $\vec{u_n}$ perpendicular a $\vec{u_t}$

$$\boxed{\boxed {\vec{a_n} = \dfrac{v^2}{R}\vec{u_n}}}$$

Donde R es el radio de curvatura de la trayectoria y coincide con el radio de la circunferencia tangente a la trayectoria en el punto considerado.

Entonces la aceleración de cualquier movimiento puede descomponerse en dos vectores ortogonales:

$$\vec{a} = \vec{a_t} + \vec{a_n} = \dfrac{\dd v}{\dd t}\vec{u_t} + \dfrac{v^2}{R}\vec{u_n}$$

Continuará...


Saludos


Ulises

[polonio]

me gustaria agregar, si se me permite, que la aceleracion centripeta o normal, no tiene por que salir de la definicin de aceleracion que plantea que esta es la que genera la variacion de la velociadad en funcion del tiempo. porque el cambio de posicion de la velocidad se debe a que la acelracion normal genera una variacion en la velocidad normal (que antes era cero) aumentandola,

¡Hala, que animalada! No existe velocidad normal: la velocidad siempre es tangencial al movimiento: la partícula se pueve en la dirección en que se mueve.

[ser humano]

hola, recien ahora veo esta respuesta por eso es que contesto ahora. Claramente en todo el foro vamos a encontrar todas animaladas, puesto que el ser humano es un animal .

Tal vez fue un error al expresarme. La velocidad resultante siempre es tangencial al movimiento. Ahora, hay que notar que la velocidad en un determinado tiempo es diferente al de un instante posterior. Esta variacion en la direccion es producto de que se compone la velocidad del instante anterior, con la velocidad que aumenta de cero a un determinado valor (diferente de cero) producido por la aceleracion que imprime la fuerza. Esta ultima velocidad (que junto a la velocidad que estaba en el instante anterior resulta en la velocidad con la direccion que observamos) esta en la misma direccion que la fuerza, pues la aceleracion que genera esta ultima es la que hace que en esa direccion la velocidad cambie de cero a otro valor. Esa es la velocidad normal, que al componerse con la original dan la velocidad tangencial que se percibe.

[Toxicity1985]

Hola! Estoy buscando información para una exposición que tengo que hacer en mi universidad sobre cinemática. Me tocó la parte de cinemática curvilinea aplicada a la ingenieria de alimentos (que es lo que yo estudio), pero no encuentro información. Si alguien me podría asesorar al respecto, estaria muy agradecido.