Bueno, hoy voy a hablaros un poquito del número , y voy a intentar explicar algunos de los fenómenos físicos donde éste aparece.

En primer lugar, ¿qué es el número ? Hay varias maneras de definirlo, todas equivalentes entre sí evidentemente. Si usamos el enfoque de Michael Spivak, podemos proceder de la siguiente manera:

Si , entonces definimos la siguiente función



y apartir de aquí, se define de tal forma que



que es una función importante que cumple las siguientes propiedades:
  1. ,
  2. .

Se define a continuación el número como



es decir, es el número que hace cierta las siguientes igualdades



Esta función es útil entre otras cosas para definir la exponenciación:

Si , entonces para cualquier ,



Alternativamente, podemos definir este número con la ayuda del concepto de límite:



Conocida es también la representación de este número como serie infinita



Una vez definido el número , debemos familiarizarnos con algunas de sus propiedades. Destaco:
  1. Es irracional.
  2. Es trascendente, es decir, no es raíz de ningún polinomio no nulo con coeficientes enteros (o racionales).

Ahora que hemos conocido un poco de qué va este número tan gracioso, estamos en condiciones de encontrárnoslo hasta en la sopa. Y así es efectivamente, en la Física.

Por ejemplo... una partícula que cae por su propio peso, y está sometida a una fuerza resistente proporcional a la velocidad; planteando la segunda Ley de Newton e integrando resulta que



pero vamos a imaginar ahora una región del espacio donde hay un campo magnético uniforme, y cogemos una espira rectangular cuyo plano sea perpendicular al campo, y la dejamos caer en una región donde no existe campo, de manera que al cabo de cierto tiempo se encuentra con la región donde existe el campo uniforme. ¿Cómo va a ser la velocidad de la espira en este caso?



Pero si es lo mismo que lo de antes, sólo tenemos que establecer la relación biunívoca , donde es la masa de la espira, su resistencia eléctrica, el módulo del campo magnético y la longitud del lado perpendicular a la caída. ¿Pero cómo van a ser tan similares en cuanto a comportamiento dos sistemas físicos tan distintos? Pues así es, y en ambos sistemas aparece nuestro amigo.

En la radiactividad también aparece el número . Si N es el número de núcleos radiactivos en cierto instante t, se cumple que



donde era el número de núcleos para , y es la constante de desintegración. Recordemos ahora las ecuaciones transitorias de un circuito descargándose:



e



Por tanto, si definimos en tiempo de vida media como , vemos que es el análogo a la constante de tiempo de un circuito .

Vaya. Vemos que un elemento desintegrándose y un circuito se parecen bastante en su comportamiento analítico. Y de nuevo nos guiña el ojo nuestro amigo cachondo, apareciendo una y otra vez ahí con dos pares de cojones narices.

Veamos ahora algunas apariciones tal vez menos conocidas.

¿Qué tal si os digo que gracias a la exponencial podemos calcular el factorial?



y se puede probar fácilmente con inducción matemática e integración por partes. Esta función es útil para extender con continuidad el factorial a todos los reales, excluídos los enteros negativos (la integral impropia diverge para estos casos). En efecto, la representación gráfica de esta función, dejando variar en los reales, es una cosa tal que así

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Bueno, espero que os haya gustado este contacto con el número .