Nuestro amigo, el número e

[Metaleer]

Bueno, hoy voy a hablaros un poquito del número $e$, y voy a intentar explicar algunos de los fenómenos físicos donde éste aparece.

En primer lugar, ¿qué es el número $e$? Hay varias maneras de definirlo, todas equivalentes entre sí evidentemente. Si usamos el enfoque de Michael Spivak, podemos proceder de la siguiente manera:

Si $x > 0$, entonces definimos la siguiente función

$\displaystyle \log x = \int_1^x \frac{1}{t}dt,$

y apartir de aquí, se define $\log ^{-1}$ de tal forma que

$\log ^{-1} (x) = \exp(x),$

que es una función importante que cumple las siguientes propiedades:

1. $\exp ' (x) = \exp (x)$,
2. $\exp (x+y) = \exp (x) \cdot \exp (y)$.

Se define a continuación el número $e$ como

$\boxed{e = \exp(1),}$

es decir, es el número que hace cierta las siguientes igualdades

$\displaystyle 1 = \log e = \int_1^e \frac{1}{t}dt.$

Esta función es útil entre otras cosas para definir la exponenciación:

Si $a>0$, entonces para cualquier $x \in \mathbb{R}$,

$\displaystyle a^x = e^ {x \log a}.$

Alternativamente, podemos definir este número con la ayuda del concepto de límite:

$\displaystyle e = \lim_{n \rightarrow \infty} \left (1 + \frac{1}{n} \right )^n.$

Conocida es también la representación de este número como serie infinita

$\displaystyle e = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots .$

Una vez definido el número $e$, debemos familiarizarnos con algunas de sus propiedades. Destaco:

1. Es irracional.
2. Es trascendente, es decir, no es raíz de ningún polinomio no nulo con coeficientes enteros (o racionales).

Ahora que hemos conocido un poco de qué va este número tan gracioso, estamos en condiciones de encontrárnoslo hasta en la sopa. Y así es efectivamente, en la Física.

Por ejemplo... una partícula que cae por su propio peso, y está sometida a una fuerza resistente proporcional a la velocidad; planteando la segunda Ley de Newton e integrando resulta que

$\displaystyle v(t) = \frac{mg}{b} (1 - e^{-b t / m}),$

pero vamos a imaginar ahora una región del espacio donde hay un campo magnético $\mathbf{B}$ uniforme, y cogemos una espira rectangular cuyo plano sea perpendicular al campo, y la dejamos caer en una región donde no existe campo, de manera que al cabo de cierto tiempo se encuentra con la región donde existe el campo uniforme. ¿Cómo va a ser la velocidad de la espira en este caso?

$\displaystyle v(t) = \frac{mg R}{B^2 \ell^2} (1 - e^{-B^2 \ell^2 t / R m}).$

Pero si es lo mismo que lo de antes, sólo tenemos que establecer la relación biunívoca $\displaystyle b \leftrightarrow \frac{B^2 \ell ^2}{R}$, donde $m$ es la masa de la espira, $R$ su resistencia eléctrica, $B$ el módulo del campo magnético y $\ell$ la longitud del lado perpendicular a la caída. ¿Pero cómo van a ser tan similares en cuanto a comportamiento dos sistemas físicos tan distintos? Pues así es, y en ambos sistemas aparece nuestro amigo.

En la radiactividad también aparece el número $e$. Si N es el número de núcleos radiactivos en cierto instante t, se cumple que

$\displaystyle N(t) = N_0 e^{-\lambda t},$

donde $N_0$ era el número de núcleos para $t = 0$, y $\lambda$ es la constante de desintegración. Recordemos ahora las ecuaciones transitorias de un circuito $RC$ descargándose:

$\displaystyle Q(t) = Q_0 e^{-t/ \tau}$

e

$\displaystyle I(t) = - \frac{d Q}{dt} = \frac{Q_0}{\tau} e^{-t/ \tau}.$

Por tanto, si definimos en tiempo de vida media como $\displaystyle \tau = \frac{1}{\lambda}$, vemos que es el análogo a la constante de tiempo $\tau = RC$ de un circuito $RC$.

Vaya. Vemos que un elemento desintegrándose y un circuito $RC$ se parecen bastante en su comportamiento analítico. Y de nuevo nos guiña el ojo nuestro amigo cachondo, apareciendo una y otra vez ahí con dos pares de cojones narices.

Veamos ahora algunas apariciones tal vez menos conocidas.

¿Qué tal si os digo que gracias a la exponencial podemos calcular el factorial?

$\displaystyle n! = \int_0^{\infty} x^n e^{-x} dx,$

y se puede probar fácilmente con inducción matemática e integración por partes. Esta función es útil para extender con continuidad el factorial a todos los reales, excluídos los enteros negativos (la integral impropia diverge para estos casos). En efecto, la representación gráfica de esta función, dejando $n$ variar en los reales, es una cosa tal que así

Bueno, espero que os haya gustado este contacto con el número $e$.

[angel relativamente]

Hey, me ha gustado tu artículo, lástima que no pueda entender el apartado matemático aún. Siempre me he preguntado por el número e, que lo veía aparecer mucho y no le veía nada de excepcional xD
Le pregunté a mi profesor, y me dijo que aparecía en unas curvas llamadas catenarias:
http://es.wikipedia.org/wiki/Catenaria
que creo que usaba bastante Gaudí en sus obras de arte urbanas...

Saludos!

[Metaleer]

Hola, angel relativamente.

Gracias por leer el artículo y por dar tu opinión.

En efecto, las catenarias (cosenos hiperbólicos) son otro sitio donde aparecen las funciones exponenciales.

[arreldepi]

Muy interesante! Siempre me había preguntado por qué cuando se hacía el gráfico de $n!$ aparecía dicha imagen si "con calculadora" el factorial sólo puede definirse a los números naturales.