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Tras la puerta de Tannhäuser

¿Por qué colapsa la función de onda tras una medición?

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Inspirado en una pregunta realizada en el foro, en un hilo titulado La observación, he decidido aprovechar y ampliar mi respuesta para repasar un poco con vosotros los postulados de la mecánica cuántica. Empezaré con una introducción a nivel divulgativo, para luego meterme un poco en la matemática para los ya iniciados.

En cuántica, el proceso de medición provoca que el estado del sistema cambie (lo que se ha dado a llamar "colapso de la función de onda"). Eso es así para todas las mediciones, independientemente de cual sea la naturaleza del aparato utilizado para medir.

¿Por qué ocurre? Bueno, podemos intentar entenderlo de la siguiente forma. Sabemos que en cuántica las mediciones no son deterministas, sino probabilisticas. Es decir, cuando hacemos una observación, el valor que nos va a salir no está fijado, sino que hay diversas posibilidades. Cada una de estas posibilidades tiene asociada una probabilidad (hay resultados más probables que otros, etc).

Una vez realizada la medición, ya sabemos el valor que nos ha tocado. Ahora, si decidimos repetir la medición inmediatamente (sin que nada haya podido interferir para cambiar el estado del sistema), lo que no tendría lógica es obtener un resultado diferente. Es decir, en la segunda medida, las probabilidades han cambiado: la probabilidad de obtener el valor que ha salido la primera vez es ahora el 100%, y el resto de valores tienen una probabilidad del 0%.

Ahora bien, si las probabilidades han cambiado, significa que el estado del sistema ha cambiado. Es decir, la medición ha afectado al sistema. Lo ha afectado de tal forma que repetir la medición dará el mismo resultado siempre (siempre que entre las dos mediciones no haya algún efecto externo, claro).
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El famoso experimento de la doble rendija de Young funciona así. Si enviamos un fotón (o un electrón, o cualquier otra partícula) a las dos rendijas, el estado de la partícula enviada es tal que la probabilidad de que pase por cada una de ellas es el 50%. Resulta que el resultado es un patrón de interferencia sobre la pantalla, como vemos en la figura

Ahora bien, si añadimos detectores al lado de cada rendija, de forma que podemos medir para saber por cuál ha pasado la partícula, la cosa cambia. Al hacer la medición, entonces el estado de la partícula ya no es el mismo. Ahora, debido a lo que hemos dicho antes, el nuevo estado será tal que la probabilidad de que la partícula haya pasado por esa rendija es el 100%. El resultado es como si la otra rendija no existiera, en vez de un patrón de interferencias, encontramos que las partículas se amontonan en la dirección de la rendija.

¿Cómo se traduce todo esto matemáticamente? Resulta que los estados del sistema son vectores (elementos de un espacio de Hilbert), normalmente escritos en notación de kets, \left|\psi\right>. Los observables son operadores, \hat O, que actúan sobre los vectores del espacio. Claro, el resultado de aplicar un operador sobre un estado es otro estado (otro vector del mismo espacio),
\hat O \left|\psi\right> = \left| \phi \right> \ .
Cada operador tiene una serie de estados favoritos, que reciben el nombre de estados propios. Cuando un operador actúa sobre un estado propio, el resultado es proporcional al mismo estado. La constante de proporcionalidad se llama valor propio. En general, cada operador tiene varios vectores propios, por lo que lo normal es numerarlos. Por lo tanto,
\hat O \left| n \right> = o_n \left| n \right> \ , donde a_n es un número. Una propiedad interesante de los estados propios de todo operador es que se pueden usar como base del espacio vectorial de estados. Es decir, cualquier estado se puede escribir como una combinación lineal,
\left| \psi \right> = \sum_{n} a_n \left| n \right> \ .

La mecánica cuántica dice que al medir el observable \hat O, el resultado sólo puede ser uno de los valores propios. Además, la probabilidad de que el resultado de la medición sea un valor propio en concreto, por ejemplo o_n, está relacionada con el coeficiente que el vector propio asociado a ese valor tiene en la expansión (1). Es decir,
P_\psi (o_n) = |a_n|^2 \ .
Ojo, esta fórmula sólo es válida si el estado está normalizado, es decir, si \sum\limits_n |a_n|^2 = 1.

Una consecuencia de esto es que si \left| \psi \right> es igual a un estado propio del operador en cuestión, \left| \psi \right> = \left| n \right>, entonces el resultado de la medición siempre será o_n, ya que es el único estado que aparece en la descomposición.

Precisamente, esa es la condición que habíamos puesto antes para una segunda medición: que el resultado sea el mismo obtenido con anterioridad con una probabilidad del 100%.

En conclusión, si sobre un estado cualquiera, \left| \psi \right>, realizamos la medición del observable \hat O, los resultados posibles son los diferentes valores propios o_n de dicho operador. Cada valor propio tendrá una probabilidad igual al cuadrado (del módulo) del coeficiente que aparece en la descomposición del estado inicial. Después de la medición, el estado del sistema cambia; el nuevo estado será el vector propio asociado, \left| n \right>.

Para terminar, un ejemplo. Imaginemos un operador que tiene tres estados propios, cuyos valores propios asociados son 7, 3 y 2. Es decir,
 
\begin{aligned} 
\hat O \left| 1 \right> & = 7 \hat O \left 1 \right> \ , \\ 
\hat O \left| 2 \...
Supongamos ahora que nuestro estado inicial es
 
\left| \psi \right> = \sqrt{\frac 23} \left| 1 \right> + \frac1{\sqrt 3} \left| 3 \right> \ .
La probabilidad de que el resultado de la medición sea 7 (es decir, el primer valor propio) es 2/3, es decir, el 66.6%. Fijaos que el estado número dos no aparece en la descomposición, así que la probabilidad de que el resultado sea su valor propio asociado (que es 3) es 0%; resulta que este valor no es posible. Finalmente, la probabilidad de que el resultado de la medición sea 2 es del 33.3% (un tercio).

Supongamos que el resultado de la medición es 7. A partir de este momento, el estado del sistema cambia, ahora es
\left| \psi \right>_\text{despu\'es} = \left| 1 \right>\ .
De esta forma, cualquier medición subsiguiente siempre dará 7 de nuevo. Tal y como habíamos pedido.

Foto | Enciclopedia Britanica, Mpfiz (Wikipedia)

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Actualizado 27/07/2012 a las 01:23:48 por pod

Categorías
Física , Física

Comentarios

  1. Avatar de Saplaya
    Bueno, pues cortito y clarito, más no se puede pedir. A mi me ayuda bastante tu articulo ya que, aunque los conceptos ya los conocía, me permite de un vistazo refrescarlos. También me aclara esto de los kets, que siempre acaba liándome. Gracias Pod.


    Actualizado 09/11/2009 a las 14:37:58 por Saplaya (Eliminar pregunta)
  2. Avatar de Stormkalt
    Muy buen artículo. Nunca dejan de sorprender estos conceptos.
  3. Avatar de arbolis87
    Hay algo que no entiendo bien.
    ¿Por qué ocurre? Bueno, podemos intentar entenderlo de la siguiente forma. Sabemos que en cuántica las mediciones no son deterministas, sino probabilisticas. Es decir, cuando hacemos una observación, el valor que nos va a salir no está fijado, sino que hay diversas posibilidades. Cada una de estas posibilidades tiene asociada una probabilidad (hay resultados más probables que otros, etc). Una vez realizada la medición, ya sabemos el valor que nos ha tocado. Ahora, si decidimos repetir la medición inmediatamente (sin que nada haya podido interferir para cambiar el estado del sistema), lo que no tendría lógica es obtener un resultado diferente. Es decir, en la segunda medida, las probabilidades han cambiado: la probabilidad de obtener el valor que ha salido la primera vez es ahora el 100%, y el resto de valores tienen una probabilidad del 0%.
    Puse en "bold" a lo que no me queda claro. Si aceptamos de antemano que en cuántica las mediciones no son deterministas, entonces ¿cómo podemos esperar a que una siguiente medición sea la misma que la primera? De lo que entiendo, es que es lógico suponer que es posible obtener un resultado diferente, pues los resultados son probabilistas. Lo que entiendo es que la primera medición es probabilista y la segunda no lo es. Y que decis que eso es lógico. Sí es así, para mí no es realmente lógico... jaja. Bueno supongo que entenderé mejor todo eso el próximo año, cuando me tocará estudiar esta rama de la Física.
  4. Avatar de surrealfrog
    Una pregunta, estuve repasando sobre el paquete gaussiano, y resulta que al aplicar el operador momentum me sale un numero complejo multiplicado por la función de onda original, ¿Que quiere decir esto?
    Mi razonamiento es el siguiente: ese número complejo quiere decir que no se puede obtener un "valor" al realizar una medición de momentum sobre el paquete gaussiano, a pesar de que el hecho de que haya aparecido esa constante de proporcionalidad significaría que el paquete gaussiano es una autofunción del operador momentum y que sus autovalores son numeros complejos.
    O es simplemente que el operador p = h/i * d/dx no está bien definido para este caso?
    Actualizado 14/01/2013 a las 23:02:17 por surrealfrog
  5. Avatar de kikke2
    Buenas noches Pod, he leído muchos de tus aportes en el foro y concuerdo (aunque aparentemente algunos no) contigo en muchas cosas y me has hecho ver la FC bastante mejor de lo que pensaba.

    Entiendo toda la parte teórica (no matemática), el colapso de función de onda, nube de probabilidades, etc. Ahora tengo una pregunta y me gustaría que me ayudes.

    Teóricamente, al medir por las rendijas, se colapsa la función de onda de la partícula, se sabe que pasa por esa partícula y por ende no crea un patrón de interferencia... ahora pregunto, en la prácitca tambíen funciona así? Porque de todos los documentales y congresos del tema me pareciera que se refieren a lo más "esencial" de la física cuántica, tratando de traer al realismo lo cuántico.

    He visto la demostración del Profesor Anton Zeilinger de la doble rendija, y efectivamente muestra en la pantalla el patrón de interferencia, pero cuando dice que la medición cambia el sistema, no muestra el resultado en la pantalla (dos bandas paralelas). Por eso me surgió la duda.

    Espero que me puedas ayudar.

    Saludos

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