La historia de cómo se descubrió el principio de Arquímedes es muy famosa. Las dudas sobre la composición de una corona, y agua que chorreaba de una bañera demasiado llena. La conclusión es de sobra conocida

Escrito por Arquímedes
Cualquier cuerpo sumergido en un fluido sufre una fuerza ascensional (dirigida hacia arriba) en su centro de masas, igual al peso del fluido que desaloja.
Lo que no es tan conocido es el origen Físico de dicha fuerza. La forma más sencilla de justificar su existencia es a partir del principio de disminución de la energía potencial. Es decir, cualquier fuerza (conservativa) tiende a llevar el sistema al lugar donde la energía potencial es menor. Esto se desprende de la ecuación


Es decir, aparece una fuerza igual al gradiente del protencial, cambiado de signo. La interpretación geométrica es muy sencilla, el gradiente es un vector que apunta hacia la dirección donde la energía potencial crece de forma más rápida. Como estamos cambiando el signo, la fuerza se dirige en la dirección contraria, o sea, hacia donde el potencial decrece más rápido.

En el caso de la fuerza gravitatoria, si nos quedamos en una zona muy próxima a la superficie terrestre (tan próxima que podemos considerar que es una fuerza constante, el potencial es de sobra conocido,


Donde es la coordenada en el eje vertical. Para tener la igualdad tenemos que escoger el origen de coordenadas justo en el suelo. Aplicando la definición (1), tenemos


Es decir, aparece una fuerza hacia abajo con módulo mg. El peso, precisamente.

Pero esto sólo es así si la masa en cuestión está en el vacío. Si está en el si de un fluido, ya sea agua o el propio aire, hay que tener en cuenta lo que le pasa al fluido en cuestión. Cuando el cuerpo se desplaza, por ejemplo si está subiendo, una parte del fluido debe bajar para rellenar el hueco recién generado. Vamos el siguiente diagrama.



Supongamos que el cilindro de la imagen tiene una altura , y una masa m. El cilindro de fluido tiene exactamente las mismas dimensiones, y su masa será . Tomamos z = 0 en el punto más bajo del diagrama.

Recordemos que la energía potencial de cada bloque se obtiene a partir de la altura de su centro de masas. Si consideramos que todas las masas están distribuidas de forma uniforme, el centro de masas de cada bloque está situado justamente a media altura. Por lo tanto, la energía potencial en la configuración inicial (con la masa abajo del todo, y el fluido por encima) es


A continuación, elevamos la masa una distancia z. Parte del fluido se mueve para dejar sitio, y se sitúa por debajo. La fracción de masa que ha bajado es , y por supuesto su centro de masas está en . Por otra parte, el centro de masas del cilindro gris está a una altura .

Lo más difícil de calcular es el centro de masas de el bloque superior de fluido. Lo más fácil es buscar la altura de su borde superior e inferior, y buscar el punto medio. El borde superior está a una altura , mientras que el inferior está a . Por lo tanto, el centro de masas de dicho bloque estará en , y su masa será . Juntándolo todo, la energía potencial de esta configuración será


que simplificando queda


De nuevo, podemos aplicar la definición de la fuerza (1) para ver que obtenemos de todo esto,


El primer término en (2) es precisamente lo mismo que obteníamos antes: el peso correspondiente a la masa del bloque gris. Sin embargo, el segundo término es nuevo. Es una fuerza haca arriba, cuyo valor es igual al peso del mismo volumen de fluido. Es decir, justo lo que prometía Arqúimedes. Y, como diría él: ¡Eureka!

A partir de aquí, podemos hacer lo de siempre. Las masas del cuerpo y del fluido se pueden escribir en término de sus respectivas densidades, con lo que la ecuación (2) nos queda


Es decir, si el fluido es más denso que el cuerpo, la fuerza total irá hacia arriba. Es decir, la masa flotará. Esto hará que la energía potencial del cuerpo se incremente. Pero eso no es un problema, ya que la energía potencial del fluido que baja para ocupar su lugar se reduce en mayor cuantía. En resumen, la energía potencial total disminuye, que es lo que le gusta a la naturaleza.

Esto está muy bien. A partir de un principio fundamental, que la energía potencial disminuye, hemos podido encontrar la expresión justa para la fuerza de Arquímedes. Pero lo cierto es que aún no sabemos nada de su origen Físico. Tampoco sabemos quien la ejerce...

¿Y quién puede ser? Como no creemos en la acción a distancia, la única posibilidad es que sea el propio fluido. Y la única forma en que los fluidos pueden ejercer fuerzas es a través de la presión. Pero eso lo veremos en el próximo artículo.


Foto | dprieto, pod