Area de la Elipse

[QED]

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(Subdemostración del 1er ítem de la de demostración de la 3ª Ley de Kepler (órbitas elípticas))

El área total de la elipse es igual a cuatro veces el área del primer cuadrante, es decir

$$A=4\int_0^ay\dd x$$

como la ecuación de la elipse es

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

$$y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}$$

luego el área será

$$A=4b\int_0^a \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\dd x$$

haciendo el cambio

$$u=\frac{x}{a}, \qquad \dd x=a\dd u$$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$$A=4b\int_0^1\sqrt{1-u^2}a\dd u=4ab \int_0^1 \sqrt{1-u^2}\dd u$$

la integral

$$I=\int \sqrt{1-u^2}\dd u$$

tiene como solución (ver Nota 1l)

$$I=\frac{1}{2}u \sqrt{1-u^2}+\frac{1}{2} \sin^{-1}u$$

aplicando (3) a (1)

$$A=4ab \left[\frac{1}{2}u \sqrt{1-u^2}+\frac{1}{2} \sin^{-1}u \right]_0^1=4ab \left[0-0+\frac{1}{2}\frac{\pi}{2}-0 \right]_0^1$$

$$\boxed{A=ab\pi}$$

Nota 1:

Consideramos la función $I$ de la ecuación (3)

$$I=\frac{1}{2}u \sqrt{1-u^2}+\frac{1}{2} \sin^{-1}u$$

y la derivamos respecto de $u$

$$\frac{\dd I}{\dd u}=\frac{\sqrt{1-u^2}}{2}+\frac{-2u^2}{4\sqrt{1-u^2}}+\frac{1}{2\sqrt{1-u^2}}$$

(para la derivada de $\sin^{-1}$ ver Nota 2)

$$\frac{\dd I}{\dd u}=\frac{1-u^2-u^2+1}{2\sqrt{1-u^2}}=\frac{2(1-u^2)}{2\sqrt{1-u^2}}=\sqrt{1-u^2}$$

con lo que

$$I=\int \sqrt{1-u^2}\dd u$$

que es la ecuación (2), lo cual demuestra la validez de la ecuación (3) como solución a la integral (2)


Nota 2:

Hacemos

$$u=\sin g , \qquad g=\sin^{-1}u$$

$$\frac{\dd u}{\dd g}=\cos g$$

$$\frac{\dd g}{\dd u}=\frac{1}{\cos g}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2g}}=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$$

como

$$\frac{\dd g}{\dd u}=\frac{\dd {(\sin^{-1}u)}}{\dd u} \Rightarrow \frac{\dd {(\sin^{-1}u)}}{\dd u}=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$$

La conclusion de esta demostracion esta implementada en las siguientes demostraciones:

- Tercera Ley de Kepler (órbitas elípticas)


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