Demostración del teorema de Noether

[QED]

Vamos a presentar una demostración del teorema Noether (se prouncia Nuuter más o menos).

El teromema de Noether nos proporciona el método para construrir corrientes conservadas. Estas corrientes derivan de los difeomorfismos en el espacio de fases de un sistema dinámico que dejan invariantes la Lagrangiana.

Para empezar definamos una familia uniparamétrica de simetrías:

Definición:

Una familia uniparamétrica de simetrías de un Lagrangiano, $L:TQ \rightarrow \mathbb{R}$ (TQ es el espacio (fibrado) tangente a la variedad de configuración), es una aplicación diferenciable:

$$F:\mathbb{R}\times\Gamma \rightarrow \Gamma$$

($(s,q)\mapsto q_s$ donde $q_0=q$ y $\Gamma=\{q:\mathbb{R}\rightarrow Q\}$ es un espacio de caminos en la variedad de configuración del sistema. Es decir, $q_s=q(s;t)$ es una función del parámetro s que parametrizará una determinada curva en $Q$.), de forma que existe una función $f(q,\dot{q})$ tal que:

$$\delta L=\frac{df}{dt}$$

para alguna $f:TQ\rightarrow \mathbb{R}$.

Expresado de otra forma, se ha de cumplir para todos los caminos $q_s$:

$$\frac{d}{ds}L(q_s(t),\dot{q}_s(t))|_{s=0}=\frac{d}{dt}f(q_s(t),\dot{q}_s(t))$$

Si la Lagrangiana queda invariante frente a la transformación tendremos $\delta L =0$.

Teorema de Noether:

Sea $F$ una familia uniparamétrica de simetrías del sistema lagrangiano dado por L. Entonces,

$$p^i\delta q_i-f$$

es una cantidad conservada. Su derivada temporal es nula para cualquier camino $q\in\Gamma$ compatible con las ecuaciones de Euler-Lagrange.

$$\frac{d}{dt}\left[\frac{\partial L}{\partial q^i} (q_s(t),\dot{q}_s(t))\frac{d}{ds}q_s^i(t)|_{s=0}-f(q(t),\dot{q}(t))\right]=0$$

Demostración:

$\frac{d}{dt}(p_i\delta q^i-f)=\dot{p}_i\delta q^i+p_i\delta \dot{q}^i-\frac{df}{dt}$
$=\frac{\partial L}{\partial q^i}\delta q^i+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i}-\delta L$
$=\delta L -\delta L=0$

QED

Lo interesante sería derivar este teorema con el formalismo de la mecánica simpléctica. Para ello habría que definir:

1.- Forma simpléctica.
2.- Producto interior entre formas.
3.- Demostrar el teorema de Darboux.


Demostraciones relacionadas:

1.- Conservación de la energía
2.- Conservación del momento lineal.
3.- Conservación del momento angular.

[aperea]

No habia visto este tipo de demostracion de Noether antes. Alguna pregunta (disculpa que sean tantas) ,

- hablas de un condicional si, para establecer que $\delta L=0$ es invariante bajo la transformación, pero no es un requisito de Noether que sea invariante?.

- La formula (3) se evalua a la izquierda en s=0, y a la dcha aparece s, es correcto?, y si es asi que significado tiene entonces evaluar en s=0?

- Por ultimo, para la simetria respecto al tiempo, cómo sería llegar a la conservación de la energía? y como se modifica esta formulación en el espacio tangente, cuando tienes simetrías discretas?

Gracias por la información, y por esta cuestion en el blog.

[Entro]

Lo que se dice es que si el Lagrangiano es invariante se tiene que cumplir que su variación sea nula. Justamente para que se cumpla Noether se tiene que dar este caso.

En la fórmula (3) el miembro de la izquierda se ha de evaluar en s=0, el de la derecha creo que no de todas formas en cuanto tenga un rato confirmaré esto.

La conservación de la energía a través del teorema Noether será puesta en una demostración aparte al igual que el tratamiento de las simetrías discretas que son un poco más moviditas.

Gracias por los comentarios.