Monopolizando al monopolo

[Entro]

Señores y señoras... con todos nosotros... las ecuaciones de Maxwell en el vacío:

$\nabla \vec{E}=0$
$\nabla \vec{B}=0$
$\nabla \times \vec{E}=-\partial_t \vec{B}$
$\nabla \times \vec{B}=\partial_t \vec{E}$

Ecuaciones que como es bien sabido son invariantes relativistas, se quedan tan panchas al aplicarles una transformación de Lorentz.

Pero, pero, pero... en este caso... Si cambiamos $(\vec{E},\vec{B})$ por $(\vec{B},-\vec{E})$, las cosas quedan exactamente igual.... Y a esta transformación se la conoce como Dualidad Electromagnética.

Seamos mayores, vamos a poner simbolos con índices que pa eso somos mu listos:

Ahora a las componentes del campo eléctrico $\vec{E}=(E^1,E^2,E^3)$ las escribimos como $E^i$ con i=1,2,3. Pero no vamos a parar ahí... ahora cogemos y redefinimos el bicho ese como:

$F^{0 i}=-F^{i 0}=-E^i$

Y para no ser menos, hacemos algo parecido con el campo magnético: $F^{ij}=-\epsilon_{ijk}B^k$ empleando el simbolo antisimétrico.

Si juntamos todo eso tenemos el tensor de Maxwell: $F_{\mu\nu}$ (hay que llevar un poco de cuidadin con el tema de indices arriba o indices abajo pero no vamos a entrar en esas sutilidades ahora).

El primer par de las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir entonces como:

$\partial_\nu F^{\mu\nu}=0$

El segundo par se convierte en:

$\partial_\nu ^{*}F^{\mu\nu}=0$ donde $^{*}F^{\mu\nu}=\frac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\lambda\rho}F_{\lambda\rho}$

Las transformaciones de dualidad son en este caso: $F^{\mu\nu}\mapsto \phantom{a}^{*}F^{\mu\nu}$ y $^{*}F^{\mu\nu}\mapsto -F^{\mu\nu}$. Que en realidad es hacer dos veces la operación *. Donde **=-1.

¿Qué pasa en presencia de fuentes?

Pues evidentemente la dualidad no se preserva porque tenemos cargas eléctricas pero no cargas magnéticas o monopolos.

¿Qué pasa si asumimos la existencia de monopolos?

Pues que la cosa cambia: Definimos la cuadri-densidad de corriente eléctrica $j^\mu=(\rho_e,j^i)$ y la magnética $k^\mu=(\rho_m, k^i)$.

Así nos quedan las ecuaciones:

$\partial_\nu F^{\mu\nu}=j^\mu$
$\partial_\nu ^{*}F^{\mu\nu}=k^\mu$

Y la dualidad implica: $j^\mu \mapsto k^\mu$ y $k^\mu \mapsto -j^\mu$.


¿Y todo esto que interés tiene?

Ninguno, pero a que mola... mola que las ecuaciones sean tan chulis que puedas cambiar letras y se queden igual, las dualidades que se dice (un tipo de ellas).

Pero, supongamos que tenemos un monopolo putual en el origen de un espacio euclideo tridimensional y que el campo mágnético que genera es (nos lo compiamos del caso eléctrico y listo)

$\vec{B}=\frac{g}{4\pi r^2}\vec{u}$

g es la carga magnética.

Podemos calcular g usando el teoremazo de Gauss: $g=\int_R \vec{B}\cdot d\vec{S}$ donde R es una región gaussiana que encierra la carga g.

Pero ahora... ¿\vec{B}=\nabla \times \vec{A}? ¿hay un potencial vector para esto?

En coordenadas esféricas mejor (tenemos un monopolo puntual en el origen del espacio euclideo que genera un campo con simetría esférica, ¿qué mejor?)

Definimos por tanto: $A_+=\frac{g}{4\pi r}\frac{1-cos\theta}{sin\theta}\vec{e}_\phi$

Si calculamos el rotacional de eso (en esfericas) obtenemos el campo B. Cojonudo, pero un pelín metirijilla... Para el eje Z en negativo ($\theta = \pi$) hay una singularidad cojonunda...

La otra opción:

$A_-=-\frac{g}{4\pi r}\frac{1+cos\theta}{sin\theta}\vec{e}_\phi$

en este caso... la historia se jode en el Z positivo (theta =0).

Y lo mejor de todo... esto no es un problema de elección de coordenadas o la forma del potencial ni nada por el estilo, esta singularidad es intrínseca... Y se conoce como la cuerda de Dirac (en este caso el eje Z positivo o negativo según con que A nos quedemos)



Que haya una singularidad de este tipo hace las cosas interesantes, aquí entran en juego sutiles conceptos topológicos pero...

Si queremos resolver la ecuación de Schrödinger para una partícula cargada (electrica) q de masa m en el campo magnético de un monopolo:

$-\frac{\hbar^2}{2m}(\nabla + ie\vec{A})^2\psi=i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}$

$e=q/\hbar$

Como sabemos esta ecuación presenta una invariancia “gauge”, el potencial está indeterminado en el gradiente de una función escalar y la función de onda en una fase dada por esa función (multiplicada por e).

Para que las cosas funcionen bien, y las funciones de ondas sean univaluadas, para una elección particular del potencial vector de un monopolo magnético (como los anteriores), hemos de asegurar que se cumple una condición: La fase de la función de onda $e^{-ie\chi}$ ha de satisfacer:


$e^{-ie\chi}=e^{-ieg\frac{\phi}{2\pi}}$

Lo que nos lleva a...... $eg=2\pi n$ Es decir, el producto de la carga magnética por la eléctrica ha de ser un multiplo entero de 2\pi. Y esta es una condición de cuantización para la carga eléctrica (siempre que exista la carga magnética g)

$e=\frac{2\pi}{g}n$

Pero claro... los monopolos no se han detectado... Y además aquí se han metido a mano esos bichos.

Aquí llega el amigo ‘t Hooft y el amigo Polyakov... y descubren que en un modelo (en principio para la interacción electrodébil) de Georgi y Glashow, hay una configuración del campo de dicho modelo que se comporta como un monopolo magnético y que además no tienen singularidades asociadas... Pero para entender estos monopolos habría que hablar de solitones o instantones... y para eso habrá que esperar.

[Salgo]

-
-

Gracias. Está mucho más comprensible que otros artículos que he visto.