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Obtención del valor del área de una superficie en , meidante un cambio de variable


Queremos conocer el área encerrada por la curva de la figura 1 (izquierda) representada en el sistema de referencia . Para ello haremos un cambio de variable de a




Fig. 1


con lo que la curva queda representada de acuerdo a la figura 1 (derecha). En general se cumple que .

En ocasiones será más sencillo realizar integraciones en el sistema de referencias que en el sistema de modo que de lo que se trata es de demostrar que el valor del area se puede obtener mediante la integración en de acuerdo a la siguiente igualdad


para ello bastará con demostrar que se cumple la siguiente equivalencia entre diferenciales para el cambio de variable realizado


siendo el Determinante Jacobiano


Demostraremos la anterior expresión mediante un procedimiento aproximado; para ello partimos de las funciones inversas del cambio de variable



consideramos en la superficie (figura 2) tal que sus lados y son lo necesariamente pequeños para poder aceptar que su transformación en proporciona, con suficiente aproximación, un paralelogramo de lados y .


Fig. 2


Los lados del paralelogramo forman triángulos rectángulos, siendo el valor de sus catetos el indicado en la figura 3


Fig. 3


Mediante geometría elemental se demuestra que el área del paralelogramo vale


si a la curva que forman los lados de la parte superior del paralelogramo la llamamos y a la de los lados inferiores , es decir


entonces el área será



La relación entre los vértices en y en , tal y como se puede observar en la figura 2, es




desarrollando en serie de Taylor las coordenadas , de cualquier punto y despreciando los términos de segundo orden y superiores, obtenemos las expresiones generales



aplicando (6) y (7) a (4)



aplicando (6) y (7) a (5)



de (8), (9), (10) y (11) obtenemos





Sustituyendo ahora (12), (13), (14) y (15) en el determinante (1)


en el límite tendremos


y finalmente igualando (2) y(16)



Subdemostraciones:

1- Demostración geométrica del valor del área [ecuación (1)]
2- Demostración vectorial del valor del área [ecuación (1)]
3- Obtención del desarrollo de Taylor para funciones de dos variables [ecuaciones (6) y (7)]
4- Demostración exacta de la relación entre los diferenciales de área [igualdad (17)]


Saludos


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