Demostración de la pulsación, período y frecuencia del péndulo.

[QED]

A continuación demostraré la pulsación ( $\omega$ ), el período ( $T$ ) y la frecuencia ( $\nu$ ) del péndulo, para ello debemos saber que el movimiento del péndulo es un MAS ( movimiento armónico simple ), entonces sabemos que la aceleración ( $a$ ) en un MAS está dada por:

$$a = -\omega^2 x$$

Donde $\omega$ es la pulsación y $x$ la elongación. Está presente un signo menos para indicar que la aceleración posee en todo momento sentido opuesto a la elongación.

Vemos que la componente vertical del peso ( el vector $mg\cos \theta$ ) se anula con la tensión de la cuerda y que la responsable del movimiento del péndulo es la componente horizontal del peso ( $mg \sin \theta$ ), por tanto la aceleración del péndulo está dada por ( aplicamos la 2ª Ley de Newton ):

$$a = \dfrac{-mg \sin \theta }{m} = -g\sin \theta$$

El signo menos lo ponemos para indicar que la aceleración tiene sentido opuesto a la elongación.

Ahora realizamos la aproximación que para angulos pequeños el seno de un ángulo es aproximadamente la tangente del ángulo ( $\sin \theta \approx \tan \theta$ ) y la tangente en éste caso está dada por:

$$\tan \theta = \dfrac{x}{L}$$

Si sustituimos (3) en (2):

$$a = -g\dfrac{x}{L}$$

Y si ahora sustituimos (4) en (1):

$$-\omega^2 x = -g\dfrac{x}{L}$$

Es decir:

$$\boxed{\omega = \sqrt{\dfrac{g}{L}}}$$

Que es la pulsación del péndulo.

Ahora bien, sabemos que la pulsación en un MAS está dada por:

$$\omega = \dfrac{2\pi}{T}$$

Por tanto el período del péndulo será:

$$\boxed{T = 2\pi \sqrt{\dfrac{L}{g}}}$$

Y la frecuencia ( recordando que la frecuencia es la inversa del período: $\nu = \dfrac{1}{T}$ ):

$$\boxed{\nu = \dfrac{1}{2\pi} \sqrt{\dfrac{g}{L}}}$$

Llegando por fin a las expresiones buscadas, cabe recordar que éstas expresiones son válidas únicamente para ángulos pequeños.

Demostraciones posibles:

-Demostración de la aceleración en un MAS.





Saludos

Ulises

[KyAlOx]

Buen artículo, bien explicadas las cosas para seguir paso a paso. Hablando del período, me has inspirado para un artículo al respecto, sobre cómo añadir términos de correción al conocido $\dfrac{2\pi}{\omega}$...a ver si lo hago de verdad xD.

K.