Derivadas Funciones Trigonométricas I

[Cris]

[FONT=Book Antiqua]Hola![/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Tanto cálculo por acá, me ha traído un poco de nostalgia, así que me he motivado a desempolvar esos libros y apuntes con los que aprendí, para realizar la demostración de las derivadas de funciones trigonométricas.[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Tomaremos los Teoremas e Identidades Trigonométricas necesarias para realizar las demostraciones, sin entrar en muchos detalles para no desviarnos mucho del objetivo principal. Dejaremos pendientes para otra ocasión (o si alguien se anima antes) la demostraciones de dichos teoremas.[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]I-Teorema Principal sobre límites[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Sean n un entero positivo, k una constante y f y g que tengan límites en c. Entonces:[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]1-$\displaystyle \lim_{x \to c}k=k$[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]2-$\displaystyle \lim_{x \to c}x=c$[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]3-$\displaystyle \lim_{x \to c}k\cdot f(x)= k \cdot \lim_{x \to c} f(x)$[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]4-$\displaystyle \lim_{x \to c}[f(x)+g(x)] =\lim_{x \to c} f(x) + \lim_{x \to c} g(x)$[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]5-$\displaystyle \lim_{x \to c}[f(x)-g(x)] =\lim_{x \to c} f(x) - \lim_{x \to c} g(x)$[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]6-$\displaystyle \lim_{x \to c}[f(x)\cdot g(x)] =\lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x)$[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]7-$\displaystyle \lim_{x \to c} \frac {f(x)}{g(x)} =\frac {\displaystyle\lim_{x \to c} f(x)}{\displaystyle \lim_{x \to c} g(x) }$ Con tal que $\displaystyle \lim_{x \to c} g(x) \neq 0$[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]8-$\displaystyle\lim_{x \to c} \displaystyle \sqrt[n] {f(x)} =\displaystyle \sqrt[n] {\lim_{x \to c} f(x)}$ siempre que $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) > 0$[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]II-Teorema de Sustitución[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Si f es una función polinomial o una función racional, entonces[/FONT]


[FONT=Book Antiqua]$\displaystyle\lim_{x \to c} f(x)= f (c)$[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Con tal que f (c) esté definida. En el caso de una función racional, esto significa que el valor del denominar en c no sea cero.[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]III-Límites Trigonométricos especiales[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]1-$\displaystyle\lim_{t \to 0} \frac{\sin t} {t}= 1$[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]2-$\displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{1-\cos t} {t}= 0$[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Luego de este breve repaso sobre límites procederemos a enunciar el concepto de derivada que ya ha sido demostrado en [FONT=Book Antiqua]este blog.[/FONT][/FONT]

[FONT=Book Antiqua]IV La derivada de una funcion f es otra función f ' (léase "f prima") cuyo valor en cualquier número c es:[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$f '(c) = \lim_{h \to 0 }{\frac{f(c+h)-f(c)}{h}}$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Siempre que este límite exista y no sea $\infty$ o $-\infty$[/FONT]

[FONT=Book Antiqua][FONT=Book Antiqua]Las fórnulas trigonométricas para la suma de ángulos, tambien nos serán útiles,[/FONT][/FONT]

[FONT=Book Antiqua][FONT=Book Antiqua]V Fórmulas suma de ángulos[/FONT][/FONT]

[FONT=Book Antiqua][FONT=Book Antiqua][FONT=Book Antiqua][FONT=Book Antiqua]$\sin (x+h)=\sin x \cdot \cos h+\sin h\cdot \cos x$[/FONT][/FONT]


[FONT=Book Antiqua][FONT=Book Antiqua][FONT=Book Antiqua]$\cos (x+h)=\cos x \cdot \cos h-\sin x\cdot \sin h$[/FONT][/FONT][/FONT]
[/FONT][/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Luego de este necesario preámbulo, empezemos con la demostración de la derivada de la función trigonométrica SENO:[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Retomando los incisos IV y II llegamos a:[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$f '(\sin x) = \lim_{h \to 0 }{\frac{\sin (x+h)-\sin (x)}{h}}$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Utilizando el apartado V sustituimos la fórmulas suma de ángulos[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$f '(\sin x) = \lim_{h \to 0 }{\frac{\sin x\cdot \cos h+\cos x \cdot \sin h -\sin x}{h}}$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Sacando Factor común $\sin x$[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$f '(\sin x) = \lim_{h \to 0 }{\frac{-\sin x(1-\cos h)+\cos x \cdot \sin h}{h}}$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Reescribiendo,[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$f '(\sin x) = \lim_{h \to 0 }\left({-\sin x \cdot \frac{1-\cos h}{h}+\cos x \cdot \frac{ \sin h}{h}}\right)$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Ahora aplicando el teorema I-3[/FONT]

[FONT=Book Antiqua][Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [/FONT]


[FONT=Book Antiqua]Revisando III sobre los límites trigonométricos especiales[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$f '(\sin x) =\overbrace{(-\sin x) \cdot 0}^0+(\cos x)\cdot 1$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$\boxed{f '(\sin x) =\cos x}$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Seguimos con la demostración de la derivada de la función trigonométrica COSENO:[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Volviendo a los incisos IV y II tenemos:[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$f '(\cos x) = \lim_{h \to 0 }{\frac{\cos (x+h)-\cos (x)}{h}}$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Utilizando el apartado V sustituimos la fórmulas suma de ángulos[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$f '(\cos x) = \lim_{h \to 0 }{\frac{\cos x\cdot \cos h-\sin x \cdot \sin h -\cos x}{h}}$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Factor común $\cos x$[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$f '(\cos x) = \lim_{h \to 0 }{\frac{-\cos x(1-\cos h)-\sin x \cdot \sin h}{h}}$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Reescribiendo,[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$f '(\cos x) = \lim_{h \to 0 }\left({-\cos x \cdot \frac{1-\cos h}{h}-\sin x \cdot \frac{ \sin h}{h}}\right)$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Nueva vez, aplicando el teorema I-3[/FONT]

[FONT=Book Antiqua][Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [/FONT]


[FONT=Book Antiqua]Revisando III,[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$f '(\cos x) =\overbrace{(-\cos x) \cdot 0}^0-(\sin x)\cdot 1$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$\boxed{f '(\cos x) =-\sin x}$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Y asi llegamos a la conclusión general de que [/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$\boxed{\boxed{f '(\sin u) =u'\cos u}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\boxed{\boxed{f '(\cos u) =-u'\sin u}}$$

[/FONT]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[FONT=Book Antiqua]Hablando en términos mundanos, tenemos una función que se transforma en otra y esa otra en el negativo de la primera.Ya en otra ocasión veremos las derivadas de las demás funciones trigonométricas.[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Gracias por leerme.[/FONT]

[zuria pichardo]

gracias ha este articulo pude aprobar calculo1 en la uni thank you very much!