Demostración de la derivada de la suma

[QED]

Hola. Vamos a proceder con la demostración de la derivada de la suma. Imagino que sabrán que la derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas de cada término.

$$\displaystyle\boxed{ \boxed{\text{Si} \; y=f(x)\pm g(x) \Longrightarrow{y'(x)=f'(x)\pm g'(x)}}}$$

A continuación escribiremos a la suma de las funciones como la función suma:

$$\displaystyle f(x)+g(x)=(f+g)(x)$$

Por tanto la función suma es:

$$\displaystyle y=(f+g)(x)$$

Ahora copiamos la fórmula de definición de derivada , que dice así:

$$\displaystyle {\boxed{y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}}}$$

Si sustituimos (3) en (4), nos queda:

$$\displaystyle {y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{(f+g)(x+\Delta x) - (f+g)(x)}{\Delta x}}$$

Ahora volveremos a convertir la función suma en la suma de las funciones por separado:

$$\displaystyle {y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{f(x+\Delta x) +g(x+\Delta x) - [f(x)+g(x)]}{\Delta x}}$$

Operando:

$$\displaystyle {y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{f(x+\Delta x) +g(x+\Delta x) - f(x)-g(x)}{\Delta x}}$$

Reagrupando:

$$\displaystyle {y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{[f(x+\Delta x) -f(x)]+[g(x+\Delta x) -g(x)]}{\Delta x}}$$

Reescribiendo:

$$\displaystyle y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \left[{\frac{f(x+\Delta x) -f(x)}{\Delta x} +\frac{g(x+\Delta x) -g(x)}{\Delta x}\right]$$

Ahora vemo a aplicar una propiedad de los límites, que podemos ver en este blog . Dice que el límite de una suma es igual a la suma de los límites de cada término, es decir:

$$\displaystyle y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{f(x+\Delta x) -f(x)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{g(x+\Delta x) -g(x)}{\Delta x}$$

Como podemos observar, en esta ecuación, la primera parte es igual que la definición de derivada, y la segunda también salvo que en vez de con $f$ con $g$ :

$$\displaystyle y'=\underbrace{ \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{f(x+\Delta x) -f(x)}{\Delta x}}_{f'(x)} + \underbrace{\lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{g(x+\Delta x) -g(x)}{\Delta x}}_{g'(x)}$$

$$\displaystyle y'=f'(x)+g'(x)$$

La demostración de la resta es igual salvo que cambiando algunos signos. Por tanto queda demostrado que:

$$\displaystyle\boxed{ \boxed{\text{Si} \; y=f(x)\pm g(x) \Longrightarrow{y'(x)=f'(x)\pm g'(x)}}}$$

Quizá sea conveniente añadir en caso de tener más de dos sumandos:

$$\text{Si} y=f(x)\pm g(x) \pm h(x)\; \Longrightarrow y'=f'(x)+g'(x)+h'(x)$$

¿Por qué? Miren:

$$\dst y=f(x)\pm g(x) \pm h(x)=f(x)\pm \left[ g(x) \pm h(x) \right] \Rightarrow y'=f'(x) \pm \left[ g(x) \pm h(x) \right]'=$$

$$= f'(x)\pm g'(x)\pm h'(x)$$

Y esto se amplía a n sumandos

Espero que se haya entendido bien y que lo hayan disfrutado. Cualquier duda, ¡comenten!