Demostración de la derivada del producto

[QED]

Prodecemos a demostrar la derivada de un producto.

La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del segundo más el segundo factor por la derivada del primero. Es decir:

$$\displaystyle \boxed{\boxed{\text{Si}\; \; y=f(x)\cdot g(x) \Longrightarrow y'=f'(x)\cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)}}$$

Procedamos a demostrarlo:

En primer lugar, vamos a considerar que:

$$y=f(x)\cdot g(x) =(f\cdot g)(x)$$

Ahora copiaremos la definición de derivada, que dice así:

$$\displaystyle {\boxed{y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}}}$$

Si sustituímos nuestra función (2) en la definición de derivada, nos queda esto:

$$\displaystyle{y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{(f\cdot g)(x+\Delta x) - (f\cdot g)(x)}{\Delta x}}$$

Ahora vamos a volver a convertir la operación producto en el producto de las funciones por separado, es decir:

$$y=(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)$$

Por tanto:

$$\displaystyle{y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{f(x+\Delta x) \cdot g(x+\Delta x) - f(x)\cdot g(x)}{\Delta x}}$$

Ahora vamos a hacer una cosa curiosa. Vamos a sumar en el numerador:

$$f(x) \cdot g(x+\Delta x)$$

Pero para no alterar la expresión, vamos a sumarla a cada uno de los miembros:

$$\displaystyle{y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{f(x+\Delta x) \cdot g(x+\Delta x)+ f(x) \cdot g(x+\Delta x) - f(x)\cdot g(x) + f(x) \cdot g(x+\Delta x)}{\Delta x}}$$

Organizando:

$$\displaystyle{y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{[f(x+\Delta x) \cdot g(x+\Delta x) - f(x) \cdot g(x+\Delta x)] + [f(x) \cdot g(x+\Delta x) -f(x)\cdot g(x)]}{\Delta x}}$$

Sacando factor común:

$$\displaystyle{y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{g(x+\Delta x) \cdot [f(x+\Delta x )- f(x)] + f(x) [g(x+\Delta x) - g(x)]}{\Delta x}}$$

Reescribiendo:

$$\displaystyle{{y'= \lim_{\Delta x\to 0}\;\left( \left[{\frac{g(x+\Delta x) \cdot [f(x+\Delta x) - f(x)]}{\Delta x} }\right]+\left[{ \frac{ f(x) [g(x+\Delta x) - g(x)]}{\Delta x} }\right]}\right)}$$

Recordemos que el límite de una suma es la suma de los límites de los términos, por tanto:

$$\displaystyle{y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \left[{\frac{g(x+\Delta x) \cdot [f(x+\Delta x) - f(x)]}{\Delta x} }\right]+\lim_{\Delta x\to 0}\;\left[{ \frac{ f(x) [g(x+\Delta x) - g(x)]}{\Delta x} }\right]}$$

Recordemos también que el límite de un producto es igual al producto de los límites de los factores. Nos queda así:

$$\displaystyle y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; g(x+\Delta x) \cdot \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}+\lim_{\Delta x\to 0}\; f(x) \cdot \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{ g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x}$$

Ahora fíjense bien. Si en este trozo: ($\displaystyle y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; g(x+\Delta x)$ ) sustituyo el $\Delta x$ por , nos queda que:

$$\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\; g(x+\Delta x) = g(x)$$

Esto: ( $\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$ ) es la definición de derivada, es decir:

$$\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}=f'(x)$$

Esto: ( $\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\; f(x)$ ) se queda igual, ya que no hay ningún $\Delta x$ que sustituir.

$$\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\; f(x)=f(x)$$

Y esto: ( $\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{ g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x}$ ) es la definición de derivada salvo que con una $g$ en lugar de con $f$, siendo:

$$\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{ g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x}=g'(x)$$

Es decir:

$$\displaystyle y'=\underbrace {\lim_{\Delta x\to 0}\; g(x+\Delta x)}_{g(x)} \cdot \underbrace{\lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}}_{f'(x)}+ \underbrace{\lim_{\Delta x\to 0}\; f(x)}_{f(x)} \cdot \underbrace {\lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{ g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x}}_{g'(x)}$$

Queda demostrado que:

$$\displaystyle \boxed{\boxed{\text{Si}\; \; y=f(x)\cdot g(x) \Longrightarrow y'=f'(x)\cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)}}$$

Espero que les haya gustado y que se haya entendido.

¡Saludos!

Ángel

[GNzcuber]

Hola Ángel,

Me están gustando mucho tus artículos, son muy completos y me hacen recordar cosas que ya no uso, y eso no es bueno. Lo importante siempre es entender los conceptos y saber de dónde vienen las fórmulas para ser capaz uno mismo de desarrollarlas.

Por cierto, te corregiré un error:
- Lo que haces es sumar a cada término, los miembros son las fórmulas de una ecuación o inecuación. Pero igualmente, para que realmente no afecte al resultado, debes restar lo que sumas. Lo que sumas no es la expressión (7), sinó ésta dividida por incremento de equis, ya que se debería poner en denominador común. Por lo tanto:

$$\displaystyle{y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{f(x+\Delta x) \cdot g(x+\Delta x) - f(x)\cdot g(x) + f(x) \cdot g(x+\Delta x) - f(x) \cdot g(x+\Delta x)}{\Delta x}}$$

- En la ecuación (11) deberías cerrar todo el límite entre paréntesis, para indicar que es el mismo límite que se aplica .

¡Saludos!

[angel relativamente]

Hola GNzcuber. En primer lugar, muchas gracias por comentar y hacer que mejore mis artículos, me alegra saber que alguien los lee

Lo que haces es sumar a cada término, los miembros son las fórmulas de una ecuación o inecuación. Pero igualmente, para que realmente no afecte al resultado, debes restar lo que sumas. Lo que sumas no es la expressión (7), sinó ésta dividida por incremento de equis, ya que se debería poner en denominador común. Por lo tanto:

$$\displaystyle{y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{f(x+\Delta x) \cdot g(x+\Delta x) - f(x)\cdot g(x) + f(x) \cdot g(x+\Delta x) - f(x) \cdot g(x+\Delta x)}{\Delta x}}$$

Aquí hay dos cosas que no llego a entender.
Lo primero es, cuando dices que la ecuación ha de quedar así:

$$<br /> \displaystyle{y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{f(x+\Delta x) \cdot g(x+\Delta x) - f(x)\cdot g(x) + f(x) \cdot g(x+\Delta x) - f(x) \cdot g(x+\Delta x)}{\Delta x}}$$

¿No tendría que ser así?

$y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{f(x+\Delta x) \cdot g(x+\Delta x) - f(x)\cdot g(x+\Delta x) + f(x) \cdot g(x+\Delta x) - f(x) \cdot g(x+\Delta x)}{\Delta x}}$

(Siento ponerlo así de feo pero con \displaystyle me decía que era demasiado grande)
La diferencia está en que lo multiplicas por $g(x)$ cuando deberías de multiplicarlo por $g(x+\Delta x)$
Pero voy a suponer que ha sido un error de escritura, aunque quizá me equivoque.

Suponiendo que la ecuación que querías mostrar era esta última, ¿no es acaso igual que mi ecuación (9), donde pongo "organizando"?

- En la ecuación (11) deberías cerrar todo el límite entre paréntesis, para indicar que es el mismo límite que se aplica

Hecho, muchas gracias.

Ya me dirás.

Saludos!

[Alem]

Interesante tu foro, muy bueno estaba repasando algunas formulas, la observacion realizada en la ecuacion 7 y 8 es correcta, lo que haces es sumar 2 veces el valor de la ecuacion 7 lo q se debe hacer es sumar y restar al numerador el mismo valor
+f(x).g(x+dx) - f(x).g(x+dx) = 0 , de modo q al sumar 0 al numerador no varias la ecuacion, y al acomodarlo sale la ecuacion 9,
Saludos