Prodecemos a demostrar la derivada de un producto.

La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del segundo más el segundo factor por la derivada del primero. Es decir:


Procedamos a demostrarlo:

En primer lugar, vamos a considerar que:


Ahora copiaremos la definición de derivada, que dice así:


Si sustituímos nuestra función (2) en la definición de derivada, nos queda esto:


Ahora vamos a volver a convertir la operación producto en el producto de las funciones por separado, es decir:


Por tanto:


Ahora vamos a hacer una cosa curiosa. Vamos a sumar en el numerador:


Pero para no alterar la expresión, vamos a sumarla a cada uno de los miembros:


Organizando:



Sacando factor común:


Reescribiendo:


Recordemos que el límite de una suma es la suma de los límites de los términos, por tanto:


Recordemos también que el límite de un producto es igual al producto de los límites de los factores. Nos queda así:




Ahora fíjense bien. Si en este trozo: ( ) sustituyo el por , nos queda que:




Esto: ( ) es la definición de derivada, es decir:




Esto: ( ) se queda igual, ya que no hay ningún que sustituir.




Y esto: ( ) es la definición de derivada salvo que con una en lugar de con , siendo:



Es decir:




Queda demostrado que:



Espero que les haya gustado y que se haya entendido.

¡Saludos!

Ángel