Demostración de la derivada del cociente

[QED]

Procedamos a demostrar la derivada de un cociente. Dice así:

La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador. Es decir:

$$\displaystyle \boxed{\boxed{\text{Si}\; y=\frac{f(x)}{g(x)} \Longrightarrow y'=\frac{f'(x)\cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x)}{[g(x)]^2}}}$$

Primero lo demostraremos empleando la derivada de una potencia y la derivada de un producto :

Recordemos:

Derivada de una potencia

$\text{Si}\; y=[f(x)]^n \Longrightarrow y'=n\cdot [f(x)]^{n-1} \cdot f'(x)$

Derivada de un producto

$\text{Si}\; y=f(x) \cdot g(x) \Longrightarrow y'=f'(x)\cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$

Comenzemos con la demostración de la derivada del cociente por este método:

$$\displaystyle y=\frac{f(x)}{g(x)}=f(x)\cdot \frac{1}{g(x)}=f(x)\cdot [g(x)]^{-1}$$

Aplicamos la fórmula de la derivada del producto:

$$y'=f'(x)\cdot [g(x)]^{-1} + f(x)\cdot \left({[g(x)]^{-1}}\right)'$$

Aplicamos la fórmula de la derivada de una potencia:

$$\displaystyle y'=f'(x)\cdot [g(x)]^{-1} + f(x)\cdot [-g(x)]^{-2}\cdot g'(x)$$

Operamos:

$$\displaystyle y'=\frac{f'(x)}{g(x)} - \frac{f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$$

Restamos las fracciones:

$$\displaystyle y'=\frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$$

Por este método queda demostrada la ecuación ( 1 ). Vamos por el segundo método, un tanto más formal. Para este utilizaremos el concepto de límite, cuyos teoremas principales podemos encontrarlos en este blog , y la definición de derivada.

Recordemos que podemos definir a la derivada de la siguiente manera:

$$\displaystyle \boxed{y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}}$$

Procedamos a demostrar la fórmula de la derivada del cociente mediante la definición de derivada. Al cociente de funciones lo escribiremos como la función cociente:

$$\displaystyle y=\frac{f(x)}{g(x)}=\left({\frac{f}{g}}\right)(x)$$

Si sustituimos esta función en la definición de derivada, nos queda:

$$\displaystyle y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \displaystyle \frac{\displaystyle \left({\frac{f}{g}}\right)(x+\Delta x) - \left({\frac{f}{g}}\right)(x)}{\Delta x}$$

Ahora volvemos a descomponer nuestra función cociente en el cociente de funciones, de tal modo que:

$$\displaystyle y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{\displaystyle \frac{f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{\Delta x}$$

Simplificamos:

$$\displaystyle y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \displaystyle \left[ \frac{f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)\cdot \Delta x}-\frac{f(x)}{g(x)\cdot \Delta x} \right]$$

Ahora, al término $\displaystyle f(x+\Delta x)$ vamos a restarle $f(x)$ . El problema es que al hacer esto modificaríamos la expresión, por tanto también vamos a sumárselo:

$$\displaystyle y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \displaystyle \left[ \frac{f(x+\Delta x)-f(x)+f(x)}{g(x+\Delta x)\cdot \Delta x}-\frac{f(x)}{g(x)\cdot \Delta x} \right]$$

Ahora separaré los términos convenientemente, sin modificar la expresión:

$$\displaystyle y'= \lim_{\Delta x\to 0}\; \displaystyle \left[ \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{g(x+\Delta x)\cdot \Delta x}+\frac{f(x)}{g(x+\Delta x)\cdot \Delta x}-\frac{f(x)}{g(x)\cdot \Delta x} \right]$$

Opero convenientemente:

$$\displaystyle y'= \lim_{\Delta x\to 0}\left[ \frac{\displaystyle \left[{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right]}{g(x+\Delta x)} +\frac{f(x)}{g(x+\Delta x)\cdot \Delta x}-\frac{f(x)}{g(x)\cdot \Delta x} \right]$$

Ahora restamos las fracciones:

$$\displaystyle y'=\lim_{\Delta x\to 0} \left[ \frac{\displaystyle \left[{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right]}{g(x+\Delta x)}+\displaystyle \frac{f(x)\cdot g(x) - f(x) \cdot g(x+\Delta x)}{g(x)\cdot g(x+\Delta x) \cdot \Delta x} \right]$$

Sacamos factor común al $f(x)$ :

$$\displaystyle y'=\lim_{\Delta x\to 0} \left[ \frac{\displaystyle \left[{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right]}{g(x+\Delta x)}+\displaystyle \frac{f(x)\left[{ g(x) -g(x+\Delta x)}\right]}{g(x)\cdot g(x+\Delta x) \cdot \Delta x} \right]$$

Ahora vamos a multiplicar a la segunda fracción por $(-1)$ . Para no alterar la expresión, multiplicaremos numerador y denominador:

$$\displaystyle y'= \lim_{\Delta x\to 0} \left[ \frac{\displaystyle \left[{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right]}{g(x+\Delta x)}+\displaystyle \frac{-f(x)\left[{ g(x) -g(x+\Delta x)}\right]}{-g(x)\cdot g(x+\Delta x) \cdot \Delta x} \right]$$

Reescribiendo:

$$\displaystyle y'= \lim_{\Delta x\to 0} \left[ \frac{\displaystyle \left[{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right]}{g(x+\Delta x)}-\displaystyle \frac{f(x)\left[{g(x+\Delta x) - g(x) }\right]}{g(x)\cdot g(x+\Delta x) \cdot \Delta x} \right]$$

Ahora vuelvo a separar los términos convenientemente, sin modificar la expresión, de modo:

$$\displaystyle y'= \lim_{\Delta x\to 0} \left[ \frac{\displaystyle \left[{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right]}{g(x+\Delta x)}-\displaystyle \left[{\frac{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x}}\right] \cdot \frac{f(x)}{g(x+\Delta x) \cdot g(x)} \right]$$

Ahora, conociendo los teoremas fundamentales de los límites, desarrollaremos la expresión:

$$y'= \frac{\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}{\left[{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right]}}{\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}{g(x+\Delta x)}} - \displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}{\left[{\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right]}\cdot \frac{\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\;f(x)}{\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}{g(x+\Delta x)\cdot \displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}{g(x)}}}$$

Vamos a analizar detalladamente esta última expresión.

Sabemos que $\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}{\left[{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right]}$ es igual que la definición de derivada, por tanto:

$$\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}{\left[{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right]}=f'(x)$$

Si sustituimos $\Delta x$ por en la expresión: $\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}{g(x+\Delta x)}$ , obtenemos:

$$\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}{g(x+\Delta x)}=g(x)$$

Tambien sabemos que $\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}{\left[{\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right]}$ es igual que la definición de derivada, salvo que con una $g$ en lugar de con una $f$ , por tanto:

$$\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}{\left[{\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right]}=g'(x)$$

En la expresión $\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\;f(x)}$ , como no hay ningún $\Delta x$ que sustituir, se queda:

$$\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\;f(x)=f(x)$$

Podemos decir lo mismo de $\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\;g(x)}$

$$\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\;g(x)}=g(x)$$

Si sustituimos ( 21 ) , ( 22 ) , ( 23 ) , ( 24 ) y ( 25 ) en ( 20 ) , quedaría:

$$\displaystyle y'=\frac{f'(x)}{g(x)}- g'(x) \cdot \frac{f(x)}{g(x) \cdot g(x)}$$

Reescribiendo:

$$\displaystyle y'=\frac{f'(x)}{g(x)}- \frac{g'(x) \cdot f(x)}{[g(x)]^2}$$

Simplificando:

$$\displaystyle y'=\frac{f'(x)\cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x)}{[g(x)]^2}$$

Por tanto, ha quedado demostrado (por dos métodos) que:

$$\displaystyle \boxed{\boxed{\text{Si}\; y=\frac{f(x)}{g(x)} \Longrightarrow y'=\frac{f'(x)\cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x)}{[g(x)]^2}}}$$

Espero que les haya gustado y se hayan divertido en mi demostración.

¡Saludos!