Pues en este nuevo artículo me propongo demostrar las derivadas exponenciales. Sabemos que la derivada de una función exponencial es igual a dicha función por el logaritmo natural de de la base por la derivada del exponente de la función. Para el caso en el que el exponente sea x, como la derivada de x es 1, al multiplicarlo por este, el término no se altera, por tanto decimos que:


Procedamos a demostrar la siguiente afirmación:

Recordemos la definición de derivada :


En primer lugar procedamos a sustituir en la definición de derivada, por tanto:


Desarrollando:


Sacando factor común ( ) :


Bien, ahora vamos a suponer la siguiente igualdad:


Aplicaremos el logaritmo neperiano en ambos miembros de esta última expresión, por tanto:


Conociendo la propiedad de los logartimos que dice que:

El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.
Matemáticamente hablando lo podemos expresar como:

Por tanto, desarrollando la ecuación ( 7 )


Despejamos


Cuando tiende a 0, también tiende a 0.


Si sustituimos ( 6 ) ( 10 ) y ( 11 ) en ( 5 ):


Simplificando:


Aplicando la propiedad de los logaritmos ( 8 ):


Utilizando las propiedades de los límites:


ATENCIÓN: Recordemos que "e" se puede definir como:


O bien, mediante esta otra expresión:


Si se fijan, en ( 15 ) tenemos una expresión igual que ( 17 )


Por tanto:


Por tanto, queda demostrado que:


Ah, se me olvidaba. Hay un caso particular, el el cual la base es el número e. En este caso se aplicaría la misma fórmula [] , pero como el logartimo neperiano de e es 1, quedaría:


Por tanto al derivar obtenemos la misma expresión.

Espero que lo hayan entendido

Saludos