Derivadas Funciones Trigonométricas III

[Cris]

[FONT=Book Antiqua]Hola![/FONT]

[FONT=Book Antiqua]En esta ocasión, para finalizar el proyecto de demostraciones de las derivadas trigonométricas básicas, haremos las derivadas de las funciones SECANTE y COSECANTE. Es bueno recordar que hemos iniciado con los blogs:[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Derivadas de funciones trigonométricas I[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Derivadas de funciones trigonométricas II[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]donde se han demostrado las derivadas de las funciones SENO-COSENO y TANGENTE-COTANGENTE respectivamente. [/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Dicho esto, tomemos la función SECANTE y hagamos su derivada, planteándonos el concepto de [/FONT][FONT=Book Antiqua]límite para dicha función:[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$f'(\sec{x})=\lim_{h \to 0}\dst \frac{\sec(x+h)-\sec{x}}{h}$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Lo que equivale a,[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$\displaystyle{f'(\sec x)=\lim_{h \to 0}\dst \frac{\frac{1}{\dst \cos (x+h)}-\frac{1}{\dst \cos x}}{h}}$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Desarrollando el ángulo doble (como se explica en los blogs anteriores)[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$\displaystyle{f'(\sec x)=\lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{\dst \cos x \cos h-\sin x \sin h}-\dst \frac{1}{\cos x}}{h}}$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Haciendo la sustracción de las fracciones [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [/FONT]

[FONT=Book Antiqua][Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Hagamos factor común ($\displaystyle \cos x$)[/FONT]

[FONT=Book Antiqua][Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Separando en dos fracciones:[/FONT]

[FONT=Book Antiqua][Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Sabemos que $\displaystyle \frac{a/b}{c/d } =\frac{a\cdot d}{c\cdot b}$, entonces[/FONT]

[FONT=Book Antiqua][Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Habiendo simplificado, reescribimos,[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$\dst f'(\sec x)=\lim_{h \to 0}\left( \frac{1}{\cos x\cos h-\sin x\sin h}\frac{1-\cos h}{h}+\frac{\sin h}{h}\cdot \frac{\sin x}{\cos x } \cdot \frac{1}{\cos x\cos h-\sin x\sin h} \right)$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Aplicando propiedades de los límites,[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$\dst f'(\sec x)=\overbrace{\lim_{h \to 0}\frac{1}{\cos x\cos h-\sin x\sin h}}^{\dst \frac{1}{\cos x} }\cdot \overbrace{\lim_{h \to 0}\frac{1-\cos h}{h}}^0\ldots$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua][Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Nos queda,[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$\dst f'(\sec x)=\overbrace{\frac{1}{\cos x} \cdot 0}^0+1\cdot \tan x\cdot\frac{1}{\cos x}$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$\boxed{\dst f'(\sec x)=\tan x\sec x}$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Ahora derivemos la función COSECANTE, tomemos el concepto de [/FONT][FONT=Book Antiqua]límite (Si!!! otra vez...)para dicha función:[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$f'(\csc{x})=\lim_{h \to 0}\dst \frac{\csc(x+h)-\csc{x}}{h}$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Equivalente a,[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$\displaystyle{f'(\csc x)=\lim_{h \to 0}\dst \frac{\frac{1}{\dst \sin (x+h)}-\frac{1}{\dst \sin x}}{h}}$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Expandiendo el ángulo doble,[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$\displaystyle{f'(\csc x)=\lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{\dst \sin x \cos h+\sin h \cos x}-\dst \frac{1}{\sin x}}{h}}$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Encontremos la resta de [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [/FONT]

[FONT=Book Antiqua][Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Saquemos factor común ($\displaystyle \sin x$)[/FONT]

[FONT=Book Antiqua][Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Separando las fracciones:[/FONT]

[FONT=Book Antiqua][Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Reorganicemos y simplifiquemos,[/FONT]

[FONT=Book Antiqua][Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Reescribimos,[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$\dst f'(\csc x)=\lim_{h \to 0}\left( \frac{1}{\sin x\cos h+\sin h\cos x}\frac{1-\cos h}{h}-\frac{\sin h}{h}\cdot \frac{\cos x}{\sin x }\cdot \frac{1}{\sin x\cos h+\sin h\cos x} \right)$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Aplicando propiedades de los límites,[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$\dst f'(\csc x)=\overbrace{\lim_{h \to 0}\frac{1}{\sin x\cos h+\sin h\cos x}}^{\dst \frac{1}{\sin x} }\cdot \overbrace{\lim_{h \to 0}\frac{1-\cos h}{h}}^0\ldots$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua][Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Nos queda,[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$\dst f'(\csc x)=\overbrace{\frac{1}{\sin x} \cdot 0}^0-1\cdot \cot x\cdot\frac{1}{\sin x}$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$\boxed{\dst f'(\csc x)=-\cot x\csc x}$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Si se leyeron el blog anterior, entonces sabran que aun no terminamos...Ahora demostraremos estas derivadas utilizando la regla de la derivada de un cociente,demostrada en este blog[/FONT][FONT=Book Antiqua]. De donde[/FONT][FONT=Book Antiqua]:[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$\displaystyle \boxed{\boxed{\text{Si}\; y=\frac{f(x)}{g(x)} \Longrightarrow y'=\frac{f'(x)\cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x)}{[g(x)]^2}}}$$

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[FONT=Book Antiqua]Vamos en orden, primero la SECANTE:[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$f'(\sec x)=f'\left( \frac{1}{\cos x} \right) =\frac{\overbrace{0\cdot \cos x}^0-\left( 1\cdot -\sin x \right) }{\cos^2 x}$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$\dst f'(\sec x)=\frac{\sin x}{\cos x }\cdot \frac{1}{\cos x }$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Igual a:[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$\boxed{f'(\sec x)=\dst \tan x \sec x}$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Ahora hagamos la Cosecante:[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$\dst f'(\csc x)=f' \left( \frac{1}{ \sin x} \right) =\frac{\overbrace{0\cdot \sin x}^0-1\cdot \cos x}{\sin^2 x}$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Simplifiquemos,[/FONT]

$$\dst f'(\csc x)=-\frac{\cos x}{\sin^2 x }$$

$$\dst f'(\csc x)=-\frac{\cos x}{\sin x }\cdot \frac{1}{\sin x }$$

$$\boxed{\dst f'(\csc x)=-\cot x \csc x}$$

[FONT=Book Antiqua]EN GENERAL:[/FONT]

$$\dst \boxed{\boxed{f'(\sec u)=u'\tan u \sec u}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\boxed{\boxed{f'(\csc u)=-u' \cot u\csc u}}$$

[FONT=Book Antiqua]$\dst {\mathbr{L.Q.Q.D.}}$[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Es más común que se utilicen estas fórmulas para determinar las derivadas, que aplicar el concepto de límite, pues con dichas fórmulas se llega al mismo resultado de manera sencilla y rápida, pero me ha parecido interesante plantear de donde se obtienen.[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Espero les halla gustado.[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Saludos[/FONT]