Hola amigos de la web de física, hoy vamos a demostrar la derivada de la función logarítmica. Para ello utilizaremos la definición de derivada, como sabemos:


La derivada del logaritmo dice:


Siendo una función. Para simplificar los cálculos, pondremos que , así no es necesario estar multiplicando por puesto que la derivada de la variable independiente x es 1: . Tenemos que:


Bien, comencemos. Si , sustituyendo en la definición de derivada nos queda:


Una de las propiedades de los logaritmos dice:

El logaritmo de un cociente es igual a el logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador. Matemáticamente:
Si aplicamos esta regla a la inversa en (3) :


Ahora, si hacemos que: ,sustituyéndolo en la ecuación (4) nos queda:


Si multiplicamos el denominador por no modificamos la expresión puesto que estamos multiplicando por 1:


Reescribiendo:


Una de las propiedades de los límites, las cuales podemos encontrar en este blog, dice que:

Aplicando eso en (7) :


Otra de las propiedades del logaritmo es la del cambio de base. Dice así:

El logaritmo en base a de un número se puede obtener a partir de logaritmos en otra base. Matemáticamente:
Si hacemos un cambio de base en (8) cambiando la base por , tenemos:


Otra de las propiedades de los logaritmos es la del logaritmo de una potencia:

El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base de la potencia. Matemáticamente:
Aplicando esa propiedad a la inversa en (9) :


Ahora, aplicaremos el límite de un cociente:


La expresión la podemos reescribir como: . Sustituimos en (11) :


Ahora, aplicamos la propiedad del límite del logaritmo:

Aplicamos esta propiedad en (12):


Con la definición del número tenemos:

¡Y eso es precisamente lo que tenemos en (13)!


Sutituyendo (14) en (13):


Y como , entonces queda demostrado que:


Que generalizando para el logaritmo de una función , con la regla de la cadena nos queda:


Nótese que en el caso de que nos pidan la derivada de , nos sale:


Espero haber sido claro y no haber cometido errores. Cualquier duda o sugerencia, no duden en comentar. ¡Saludos!