Introducción a la relatividad especial III.

[Cat_in_a_box]

De nuevo, ¡hola a todos!
Ayer, dejé algo bastante importante para concluir con los antecendentes de la Relatividad especial de Einstein, especialmente en lo que respecta a las transformaciones galileanas. Bueno, ayer lo dejamos en las transformaciones de la posición, y llegamos a la siguiente conclusión:
$\dst x'= x-vt$
$\dst y'= y$ Siempre que supongamos que t'=t
$\dst z' = z$

Esto nos indicaba que en la Física clásica, el tiempo, transcurre independientemente y por igual en todos los sistemas de referencia, es decir, es una realidad absoluta y universal. De igual modo vimos que la distancia entre dos puntos es invariable para cualquier sistema inercial.

Ahora bien, ¿es igual la velocidad de un objeto observado por dos sistemas de referencia inerciales, que se alejan uno con respecto al otro con una velocidad relativa constante? La respuesta es no. Todos sabemos que la velocidad de un cuerpo se define como la rapidez con que varía de posición, es decir:

$\dst \vec v= \frac {\Delta \vec r}{\Delta t}$

Sin embargo, la precisión en la información de un movimiento requiere que el análisis del mismo se efectúe en intervalos de un tiempo muy muy pequeños, infinitesimales. En consecuencia:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] que justamente es la derivada de la posición con respecto al tiempo. Por lo tanto la velocidad instantánea se obtiene derivando la posición con respecto al tiempo.

$\dst \vec v= \frac {d \vec r}{dt}= \frac {dx}{dt}\cdot \vec i + \frac {dy}{dt} \cdot \vec j + \frac {dz}{dt} \cdot \vec k$

Así pues, para obtener las transformaciones galileanas de la velocidad, ¿qué tendremos que hacer? Exacto, derivar las expresiones de las transformaciones de la posición con respecto al tiempo. Entonces:

$\dst \frac{dx'}{dt}=\frac {dx}{dt}-v$

$\dst \frac{dy'}{dt}=\frac{dy}{dt}$ (Recordemos que t=t')

$\dst \frac{dz'}{dt}=\frac{dz}{dt}$

Derivando, obtenemos las relaciones de las velocidades medidas por ambos sistemas de referencia:

$\dst v'_{x'}=v_x - v ; v'_{y'} = v_y ; v'_{z'}= v_z$

Siendo $\dst \vec v' (v'_{x'} , v'_{y'} , v'_{z'})$ la velocidad medida por el observador O' (el que está alejándose con respecto a O) mientras que $\dst \vec v (v_x , v_y , v_z)$ la velocidad medida por el observador O.

Por lo tanto, la velocidad es variable al pasar de un sistema de referencia a otro.

Ya que nos hemos planteado las preguntas de si la posición es la misma para un sistema de referencia que para otro, al igual que la velocidad, ya sólo nos falta una última cuestión más, ¿ambos sistemas de referencia miden la misma aceleración?

Pensemos lo siguiente; si no es la misma aceleración para los distintos sistemas, esto implica que las fuerzas que actúan sobre el objeto que observan dependen del sistema de referencia, por lo que no tendría un carácter universal, o en otras palabras, las leyes físicas no serían las mismas en todos los sistemas inerciales, cosa que Newton y Galileo no aceptaban. Por otro lado, si es la misma aceleración...¡hemos salvado el principio de universalidad!

Recordemos que la aceleración se define como la rapidez con la que cambia la velocidad y al igual que hicimos para obtener la expresión de la velocidad instantánea, debemos derivar la velocidad con respecto al tiempo, o lo que es lo mismo, derivar dos veces la posición con respecto al tiempo. O sea:

$\dst \vec a= \lim_{\Delta t\to 0} \frac {\Delta \vec v}{\Delta t}= \frac {d^2 \vec r}{dt^2}= \frac {d \vec v}{dt}= \frac {dv_x}{dt}\cdot \vec i + \frac {dv_y}{dt} \cdot \vec j + \frac {dv_z}{dt} \cdot \vec k$

Por lo tanto, si derivamos las expresiones de las transformaciones de la velocidad en función del tiempo, obtenemos:

$a'_{x'} = a_x ; a'_{y'} = a_y ; a'_{z'} =a_z \Rightarrow \vec {a'}= \vec a$

Observamos que la aceleración para ambos sistemas de referencia es exáctamente la misma. De este modo, podemos enunciar lo que viene a conocerse como el enuncia del principio de relatividad galileano, que dice que todas las leyes físicas de la naturaleza son las mismas para observadores que se encuentran en sistemas de referencia inerciales. Esta formulación dio lugar a una premisa un tanto desconcertante, que afirma que no se puede conocer si un sistema de referencia se encuentra en reposo absoluto, o si en realidad se está moviendo uniformemente.

Una vez que hemos llegado aquí, os propongo un ejercicio sencillito para observar toda esta teoría que hemos explicado anteriormente. Así, podremos ver mucho mejor a qué se refieren tantas premisas y afirmaciones.

Supongamos, entonces, que la posición de una partícula cualquiera según un sistema de referencia O viene dada por la siguiente expresión: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Sin embargo, para otro observador O', la posición de esta partícula viene dada por la expresión: $\vec r'= (6t^2+5t)\vec i - t^4 \vec j - 7 \vec k m$. Se nos plantea: ¿cuál es la velocidad relativa entre ambos sistemas? ¿Se cumplen las leyes físicas por igual en ambos sistemas? Demuéstralo.

Podemos despejar la velocidad relativa entre ambos sistemas de la expresión:

$\dst \frac {dr'}{dt}=\frac{dr}{dt} - v \Rightarrow v= \frac {dr}{dt}-\frac {dr'}{dt}$ Por lo tanto;

$\dst \vec v= \frac {d[6t^2-2t)\vec i - t^4\vec j + 5\vec k]}{dt} - \frac {d[(6t^2+5t)\vec i - t^4 \vec j -7\vec k]}{dt}= -7 \vec i ms^{-1}$ es la velocidad relativa del sistema. Ahora bien, ¿cómo podemos demostrar que se cumplen las leyes físicas por igual en ambos sistemas?
Podemos calcular cuál es la aceleración para ambos sistemas, y si esta es igual, en virtud del principio de universalidad, las leyes físicas se cumplirán en ambos sistemas, ya que las fuerzas que actúan sobre la partícula son independientes al sistema de referencia. Así pues, podemos derivar dos veces las expresiones de la posición con respecto al tiempo y observar si la aceleración es igual.

$\dst \vec a= \frac {d^2[6t^2-2t)\vec i - t^4\vec j + 5\vec k]}{dt^2} = 12 \vec i - 12 t^2 \vec j ms^ {-2}$

$\dst \vec a'= \frac {d^2[(6t^2+5t)\vec i - t^4 \vec j -7\vec k]}{dt^2}= 12 \vec i - 12 t^2 \vec j ms^{-2}$

Observamos que $\dst \vec a' = \vec a$ es decir, la aceleración es invariable para ambos sistemas de referencia inerciales, por lo que se cumplen las leyes físicas. Por ejemplo, si suponemos que esa aceleración es la de caída libre ambos sistemas medirían la misma, con independencia de su movimiento relativo. En otras palabras, ambos observadores harían referencia a la misma fuerza para explicar dicha aceleración.

Bueno, creo que por hoy, ya es suficiente revisad los cálculos,a ver si me he equivocado al derivar o al ponerlo en LaTex. Como adelanto, pronto explicaremos cómo este tipo de relatividad se tambalea cuando queremos explicar la luz y cómo realizaron Michelson y Morley uno de los experimentos más trascendentales de la Física moderna, a pesar de obtener resultados negativos...

Hasta pronto!

[Cat_in_a_box]

No encuentro dónde puse lo de dx'/dt=dx/dt - x, si te refieres al ejercicio, despejé la velocidad relativa de la expresión de la transformación galileana de la velocidad, que viene de derivar la expresión de la transformación de la posición, que es x'=x-vt, y derivando obtienes que; $\dst \frac {dx'}{dt}=\frac {dx}{dt} - v$. Muchas gracias

[javier m]

mira donde está :
$\dst \vec v= \frac {d \vec r}{dt}= \frac {dx}{dt}\cdot \vec i + \frac {dy}{dt} \cdot \vec j + \frac {dz}{dt} \cdot \vec k$

un poco mas abajo.

estan buenos los blogs, hasta que parte piensas dejarlos?

[Cat_in_a_box]

Es verdad, ya lo he visto muchas gracias hehe.
Pues la verdad es que se me rompió el ordenador y he estado bastante líado por lo que no he podido publicar otro artículo, pero pronto lo haré. En el próximo hablaré,como ya dije, del problema de aplicar la relatividad galileana a la luz. Luego me imagino que trataré algo del experimento de Michelson y Morley y posteriormente de las proposiciones de Lorentz y Fitzgerald para empezar ya con los postulados de Einstein y meternos en sus consecuencias (dilatación del tiempo, contracción de la longitud y paradoja de los gemelos) Seguramente también haga una introducción a la dinámica relativista a la masa y energía relativistas. No sé muy bien si hacer un artícula sobre transformaciones de Lorentz ya que para llegar a ellas, es bastante complejo, pero probablemente simplemente las indique y las compare con las de Galileo. Eso es lo que tengo en mente. Saludos!