Introducción a la relatividad especial VII.

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Hola a todos! Bueno en primer lugar, felices fiestas a todos. Espero que paséis unas buenas vacaciones y bueno, los tópicos que se suelen decir

En el anterior artículo estuvimos viendo una consecuencia de los postulados de Einstein,la dilatación del tiempo. Pues bien, un fenómeno estrechamente relacionado con ésta es la contracción de la longitud de un objeto. Esta resulta cuando dicha longitud se mide desde sistemas de referencia con respecto a los cuales el objeto se mueve.

Para hacernos una idea de este hecho, imaginemos una regla (sí,ya sé que es algo raro una regla por el espacio, pero así es la relatividad ) estacionaria con respecto al observador O, cuya longitud para él es $l=x_2 - x_1$ donde $x_1$ es el punto en el que se emitió el destello y $x_2$ el punto donde el destello vuelve reflejado al suelo, según el sistema de referencia de O. Por cierto, seguimos con nuestros amigos astronautas, O y O', del artículo anterior. Esta distancia, según O, es la misma que recorre la nave que se desplaza con una velocidad v, en el tiempo que tarda el destello en ir y volver, por lo que la longitud de la regla según O es:

$\dst l=x_2-x_1=v\Delta t$




Ahora bien, ¿será esta longitud igual para el observador O'? Pues como ocurre la mayoría de las veces en estos asuntos, claro que no. Bueno, recordar que O' está situado dentro de la nave, y para él, esa misma regla se desplaza a sus pies con una velocidad relativa de valor v, hacia atrás,lógicamente. Sin embargo, el tiempo transucrrido desde pque pasa un extremo bajo sus pies hasta que lo hace otro extremo es el mismo que el tiempo que él mide para el trayecto de ida y vuelta del destello. Toda esta parrafada para decir que la longitud que O' medirá será:




$\dst l' = v\Delta t'$ Pero, recordemos que el tiempo que miden no es el mismo, sino que el tiempo que mide O' es: $\Delta t' = \dst \frac{\Delta t}{\gamma}$ por aquello de la dilatación temporal

Por lo tanto,podemos comprobar que las medidas de la longitud de un mismo objeto NO COINCIDE (!!) en ambos sistemas de referencia:

$\dst l' = \dst\frac{v\Delta t}{\gamma}=\dst\frac{l}{\gamma}$

En otras palabras, la longitud de un objeto medida desde un sistema de referencia con respecto al cual se mueve resulta contraída en un facto $\dst\frac{1}{\gamma}$ en la dirección del movimiento con relación a su valor propio, recordemos también que $\gamma > 1$

La fórmula de la contracción de la longitud suele expresarse del siguiente modo:

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Si recordamos los primeros artículos (dónde quedaron!) esta conclusión invalidaría la que se deriva de la transformación galileana, según la cual la distancia entre dos puntos del espacio es la misma para todos los observadores inerciales. Por lo que, al igual que ocurría con el tiempo, el concepto de espacio también resulta ser diferente para dos observadores inerciales con movimiento relativo. También recordemos, hoy hay que recordar bastante, pero es que todo está interrelacionado, esta fórmula de la contracción de la longitud es la misma que habían deducido, de forma independiente Lorentz y Fitzgerald para tratar de ''hacer un arreglo'' a los resultados del experimento de Michelson y Morley.


Por último, para acabar con las consecuencias de los postulados de Einstein, veamos una paradoja, la de los gemelos, que no será la única paradoja. Pues bien, los dos fenómenos explicados, dan lugar a lo que popularmente es conocido con paradoja de los gemelos. Empecemos enunciando este conocido problema: Pensemos en dos hipotéticos gemelos e imaginemos que uno de ellos emprende un viaje interestelar a velocidades próximas a la de la luz. Como hemos visto, para él, que está dentro de la nave, el tiempo pasaría más lentamente, por lo que al regresar a la Tierra, vería a su gemelo mucho más envejecido que él.

Ya que conocemos las expresiones de la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud abordemos el problema dando datos. Supongamos que el gemelo, O, emprende un viaje desde la Tierra a un sistema planetario extrasolar situado a 20 años luz, pongamos, a una velocidad de 0.9c . Para simplificar un poco el problema, como hemos hecho otras veces, despreciemos el tiempo que tarda en acelerar y en frenar para dar la vuelta. Por lo tanto, la duración de iga y vuelta, medidas por el gemelo que está en la Tierra, o sea, O', será:

$\dst \Delta t= \dst\frac{2d}{v}=\dst\frac{2\cdot 20\cdot c}{0.9 \cdot c}= 44.44$años. Un viaje bastante largo

Por el contrario, el tiempo transcurrido para el gemelo que va abordo, O, será:

$\dst \Delta t'= \Delta t \cdot \sqrt{\dst 1 - \dst\frac{v^2}{c^2}} \approx 19.37$ años.

Es decir, a la vuelta, el gemelo viajero es aproximadamente 25 años más joven que su hermano!!!!

Parece mentira, pero este resultado es completamente congruente para el gemelo O, pues, según él, la distancia de la Tierra al sistema extrasolar sería (por la contracción de la longitud):

$\dst l' = l \dst\sqrt{\dst 1 -\dst\frac{v^2}{c^2}}=8.72$años luz.

Por lo que el tiempo total empleado sería:

$\dst \Delta t'= \dst \frac{2l'}{v}=\dst\frac{2\cdot 8.72 \cdot c}{0.9 \cdot c}= 19.37$ años.

Vemos que llegamos al mismo resultado. Bueno, creo que esto es todo por hoy. En el próximo artículo hablaremos de las transformaciones de Lorentz y cómo no se corresponden con las de Galileo. Que pasen una buena noche.

Saludos!!