Regla de Derivación en Cadena y Derivadas Trigonométricas Inversas Básicas

[M_Odes]

[FONT=Lucida Sans Unicode]Sobre la Regla de Derivación en Cadena
Como se ha visto la definición de derivada viene dada en dos formas equivalentes $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x }$ o $\lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$
[/FONT] [FONT=Lucida Sans Unicode]sea una función $u=g(x)$[/FONT][FONT=Lucida Sans Unicode] y otra función $y=f(u)$, se desea obtener la variación que tiene la función $f(u(x))$ con respecto a la variable independiente x
sea $\Delta x= x-a$ el incremento respectivo en $g(x)$ (es decir u) será $\Delta u = g(x)-g(a)$, por otro lado, para un incremento $\Delta u = u-b$ se tiene el correspondiente incremento $\Delta f(u)=f(u)-f(b)$, como es de sospechar, $b=g(a)$ donde a es un número arbitrario del dominio de $g(x)$

la Derivada de $f(u(x))$ con respecto a x se computa calculado la fracción $\displaystyle{ \lim_{x \to 0}\frac{\Delta f(u(x))}{\Delta x} }$ que haciendo un pequeño truco [/FONT] [FONT=Lucida Sans Unicode]ad hoc , multiplicamos por la fracción $\frac{\Delta u}{\Delta u}$ (que equivale a multiplicar por 1) y reordenamos términos, teniendo pues que
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[FONT=Lucida Sans Unicode] $\displaystyle{ \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta f(u(x))}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta f(u(x))}{\Delta x} \frac{\Delta u}{\Delta u} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta f(u(x))}{\Delta u} \frac{\Delta u}{\Delta x} }$
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[FONT=Lucida Sans Unicode] Dado que se trata de un producto de límites, es posible separalo así
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[FONT=Lucida Sans Unicode] $\displaystyle{ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f(u(x))}{\Delta u} \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta u(x)}{\Delta x} }$
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aquí es claro que cuando $\Delta x \to 0 \Rightarrow \Delta u = g(x)-g(a) \to 0$ aplicando un cambio en el límite anterior:
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[FONT=Lucida Sans Unicode]$\displaystyle{ \left(\lim_{\Delta u \to 0} \frac{\Delta f(u(x))}{\Delta u} \right) \left( \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta g(x)}{\Delta x} \right) }=f'(g(x))\cdot g'(x)$
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[FONT=Lucida Sans Unicode]Con lo que se prueba la validez de la regla de derivación en cadena.

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[FONT=Lucida Sans Unicode] Derivadas de las funciones trignométricas inversas básicas
[/FONT] [FONT=Lucida Sans Unicode]Las demostraciones de estas derivadas se hace a través de un esquema bien definido, característica útil a la hora de tener que deducirlas si no se cuenta con buena memoria o con una tabla, pero como dijo Richard Feynman, mucho más importante que saber como probar un enunciado, es importante saber que exíste una prueba de que el mismo es cierto.(a propósito de las muchas maneras que hay para probar las identidades en matemáticas)

Preliminares[/FONT][FONT=Lucida Sans Unicode]
En post anteriores se han demostrados las derivadas trigonométricas básicas para el seno, coseno y tangente los cuales corresponden a
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[FONT=Lucida Sans Unicode] $\boxed {\left( \sin x\right)'=\cos x....(1)}$[/FONT]
[FONT=Lucida Sans Unicode] $\boxed {\left( \cos x\right)'=-\sin x....(2)}$[/FONT]
[FONT=Lucida Sans Unicode] $\boxed {\left( \tan x\right)'= {\left( \sec x \right)}^{2}....(3)}$[/FONT]

[FONT=Lucida Sans Unicode] cuya demostración puede ser consultada en los enlaces
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[FONT=Lucida Sans Unicode]Demostraciones Trigonométricas I
[/FONT] [FONT=Lucida Sans Unicode] Demostraciones Trigonométricas II
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Además de ello se usarán las identidades trigonométricas conocidas [/FONT] [FONT=Lucida Sans Unicode]
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[FONT=Lucida Sans Unicode] $\boxed{{\left( \sin x \right) }^{ 2} +{\left(\cos x \right) }^{2 } =1 ....(4)}$[/FONT]
[FONT=Lucida Sans Unicode] $\boxed{{\left( \sec x \right) }^{ 2} =1 +{\left( \tan x \right) }^{ 2}....(5)}$[/FONT]

[FONT=Lucida Sans Unicode]Convención: en el desarrollo de las funciones trignométricas inversas es común encontrar las definiciones siguientes $w=\sin x \Rightarrow {\sin}^{-1} w=x$ y $v=\cos t \Rightarrow {\cos}^{-1} t=x$, con sus respectivas restricciones en el dominio y rango (a saber, que $-1 \leqslant w,v \leqslant 1 ; \frac{-\pi }{ 2} \leqslant x\leqslant \frac{\pi }{ 2} ; 0 \leqslant t\leqslant \pi$) en lo personal considero que esta manera de reprensentar las funciones trigonométricas inversas puede inducir a confuncioes y errores algebraicos con los exponentes. por lo tanto la convención utilizada será
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[FONT=Lucida Sans Unicode] $\boxed{ w=\sin x \Rightarrow \arcsin w=x}$ y $\boxed{ v=\cos t \Rightarrow \arccos v=t}$[/FONT]
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[FONT=Lucida Sans Unicode] Derivada función seno inverso
Partiendo de la definción funcional del seno sea $w=\sin u$ de modo que $\arcsin w=u....(6)$
tomando derivada con respecto a u en (6), y tomando en cuenta que w es una función implicita de u por lo tanto, la regla de derivación en cadena aplica sobre ella
$\displaystyle{(\arcsin w)' w'=1 \Rightarrow (\arcsin w)'=\frac{1}{w'}}$
ahora, de (1) $w'=(\sin u)'=\cos u$, además de ello, a partir de (4), es sabido que $\cos u = \sqrt{1-{\sin}^{2} u}=\sqrt{1-{w}^{2}}$, luego

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[FONT=Lucida Sans Unicode] $\displaystyle{\boxed{ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} w } \arcsin w = \frac{1}{\sqrt{1-{w}^{2}}}....(7)}}$

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[FONT=Lucida Sans Unicode]Derivada función coseno inverso
el resultado se obtiene de manera totalmente análoga al caso anterior, [/FONT][FONT=Lucida Sans Unicode]sea $q=\cos p$ de modo que $\arccos q=p....(8)$
tomando derivada con respecto a p en (8), y tomando en cuenta que q es una función implicita de p por lo tanto, la regla de derivación en cadena aplica sobre ella
$\displaystyle{(\arccos q)' q'=1 \Rightarrow (\arccos q)'=\frac{1}{q'}}$
ahora, de (2) $q'=(\cos p)'=-\sin p$, además de ello, a partir de (4), es sabido que $\sin p = \sqrt{1-{\cos}^{2} p}=\sqrt{1-{q}^{2}}$, luego

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[FONT=Lucida Sans Unicode] $\displaystyle{\boxed{ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} q } \arccos q = -\frac{1}{\sqrt{1-{q}^{2}}}....(9)}}$[/FONT]

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[FONT=Lucida Sans Unicode]Derivada función tangente inverso
el resultado se obtiene de manera totalmente análoga a los casos anteriores tal como se mencionó más arriba, [/FONT][FONT=Lucida Sans Unicode]sea $g=\tan f$ de modo que $\arctan g=f....(10)$
tomando derivada con respecto a f en (10), y tomando en cuenta que g es una función implicita de f por lo tanto, la regla de derivación en cadena aplica sobre ella
$\displaystyle{(\arctan g)' g'=1 \Rightarrow (\arctan g)'=\frac{1}{g'}}$
ahora, de (3) $g'=(\tan f)'={\sec}^{2} f$, además de ello, a partir de (5), es sabido que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , luego[/FONT]

[FONT=Lucida Sans Unicode]$\displaystyle{\boxed{ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} g } \arctan g = \frac{1}{1+{g}^{2}}....(11)}}$[/FONT]

[FONT=Lucida Sans Unicode]Las ecuaciones (7) (9) y (11) corresponden a las primeras 3 derivadas básicas para las funciones trigonométricas inversas [/FONT]

[FONT=Lucida Sans Unicode] Con eso finaliza mi aporte de hoy al proyecto de derivadas del club de demostraciones.
Saludos![/FONT]

[Cris]

Buen aporte compañero, espero que sigamos ampliando este proyecto!

Un saludo