Introducción a la relatividad especial X.

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Hola a todos!

¡Cuánto tiempo! Ya ni os acordaréis de lo último que vimos
En fin, os adelanto que con este artículo vamos a finalizar nuestro ''viaje introductorio'' a la relatividad especial. Fijaos, desde noviembre, si no recuerdo mal, llevamos con este tema, viendo los conceptos y haciéndolos fáciles de entender a todo el mundo. Eso es lo que he pretendido desde el principio, y espero haberlo conseguido. Bueno, después ya me despediré más, pero ahora, ¡manos a la obra!

Bien, recordad que lo último que vimos fue la expresión del momento lineal relativista y ya os dije que en este artículo llegaríamos a la famosísima ecuación de Einstein. Pues bien, teniendo en cuenta que $\vec F= \dst\frac{d\vec p_{relativista}}{dt}$ puede evaluarse el trabajo necesario para producir cierta variación de la energía cinética de un cuerpo.

Recordad que en mecánica clásica, el trabajo realizado por una fuerza (no equilibrada) que actúa sobre una partícula es igual a la variación de energía cinética. Ya sé que nunca, en cierto modo, he demostrado las expresiones matemáticamente, porque pretendía que los conceptos fueran accesibles a todo el mundo. Pero, en fin, ya que nos despedimos, por ahora, vamos a entretenernos un poquito con las matemáticas. Para ello, vamos a calcular el trabajo realizado por una fuerza entre dos puntos, A y B:

$W^F_{A,B}=\dst\int_A^B \vec F d\vec r= \dst\int_A^B \dst\frac{d\vec p}{dt} d\vec r=\dst\int_A^B \dst\frac{d(m\vec v)}{dt}d\vec r$


$\dst\int_A^B \dst\frac{d(m\vec v)}{dt}d\vec r= \int_A^B m\dst\frac{d\vec v}{dt}d\vec r= \int_A^B m \dst\frac{d\vec r}{dt}d\vec v= m \int_A^B \vec v d\vec v= m \big[\dst\frac{v^2}{2}\big]_A^B$


Por tanto, sustituyendo obtenemos que el trabajo realizado es igual a:

$m \big[\dst\frac{v^2}{2}\big]_A^B= \dst\frac{1}{2}m(v^2_B-v^2_A)=\dst\frac{1}{2}mv^2_B - \dst\frac{1}{2}v^2_A=\Delta E_c$

Esto es para la mecánica clásica, entonces, ¿qué ocurre para la mecánica relativista? Pues basicamente lo mismo, para calcular el trabajo igualaremos la fuerza a la variación temporal del momento lineal relativista y seguirmos un proceso parecido al anterior.

Si suponemos que la velocidad incial de una partícula determinada es cero con respecto a un sistema de referencia dado, puede demostrarse por tanto que la energía cinética de un cuerpo que se mueve con una velocidad relativa viene dada por la siguiente expresión:

$E_c= \gamma m_0c^2-m_0c^2$

Si os fijais, el primer factor depende de la velocidad del cuerpo, mientras que el segundo no presenta tal dependencia y es además constante. Este segunda factor es lo que se denomina energía en reposo de la partícula.

Ahora bien, ¿y esta expresión de dónde sale? Pues esta vez, para que no veais simples expresiones sin fundamento y las memoricéis, cosa que nunca se debe hacer en Física, pues no es como ''una receta'', vamos a ver de dónde viene, si bien el tratamiento matemático es algo complejo, pero bueno, no pasa nada, espero que paso a paso lo entendamos todos

En primer lugar recordemos la expresión del momento lineal relativista:

$\vec p_{relativista}=\gamma m_0\vec v= \dst\frac{m_0}{\dst\sqrt{1-\dst\frac{v^2}{c^2}}} v$

Siguiendo un proceso similar al anterior tendríamos que:

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Al final pongo $p_r$ como momento lineal relativista por comodidad

$\dst\int_{v=0}^v v dp_r= \int_0^v v d\left(\dst\frac{m_0}{\dst\sqrt{1-\dst\frac{v^2}{c^2}}} v\right)$

¡Vaya! Una integral un tanto rara, pero bueno, no hay nada que no tenga solución y alguna herramienta matemática que pueda facilitar llegar a ésta. En este caso, nos enfretamos a una integral que se resuelve por partes. Para aquellos que no se hayan iniciado al calcula integral, una integral por partes es del tipo:

$\dst\int udv=uv-\dst\int vdu$

En este caso, tenemos que:

$u=v$ por lo que $du=dv$ y por otro lado:

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(No confundáis la u y la v de la expresión general del método de integración por partes con la v de velocidad ) Aplicando esta expresión, obtenemos:

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Llegados a este punto, parece que no vamos a ningún sitio, pero, paciencia. Ahora, con el fin de resolver con más facilidad la integral, realicemos el siguiente cambio de variable: $\beta=\dst\frac{v}{c}$ Por tanto:

$v=\beta c \Rightarrow dv=cd\beta$

Si sustituimos en la expresión que habíamos obtenido antes:

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De la integral pueden salir los términos constantes, por lo que:

$\dst\frac{m_0 v^2}{\dst\sqrt{1-\dst\frac{v^2}{c^2}}} - \int_0^\beta \dst\frac{m_0\beta c}{\sqrt{1-\beta^2}} cd\beta= \dst\frac{m_0 v^2}{\dst\sqrt{1-\dst\frac{v^2}{c^2}}} - m_0c^2\int_0^\beta \dst\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}d\beta$

Bueno, algo es algo, ya la integral no parece tan compleja... es más, no es nada compleja!. Para resolverla, podemos volver a hacer un cambio de variable y resolverla tranquilamente . Si $\alpha=1-\beta^2\Rightarrow d\alpha =-2\beta d\beta \Rightarrow d\beta=\dst\frac{d\alpha}{-2\beta}$ Por tanto:

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De este modo, sustituyendode nuevo en la integral anterior llegamos a la siguiente expresión:

$\dst\frac{m_0 v^2}{\dst\sqrt{1-\dst\frac{v^2}{c^2}}} - m_0c^2\int_0^\beta \dst\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}d\beta= \dst\frac{m_0 v^2}{\dst\sqrt{1-\dst\frac{v^2}{c^2}}} + m_0c^2 \left[\sqrt{1-\beta^2}\right]_0^\beta$

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¡Ya estamos llegando al final! Sólo un poco más...

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Bueno, ¿y todo esto para qué lo queríamos? ¡A sí! para la energía cinética...

$E_c= \dst\frac{m_0v^2-m_0c^2\left(1-\dst\frac{v^2}{c^2}\right)}{\sqrt{1-\dst\frac{v^2}{c^2}}} - m_0c^2$

Esto ya esta casi listo!. Si operamos y ordenamos un poquito la expresión nos quedará:

$E_c= \dst\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\dst\frac{v^2}{c^2}}} - m_0c^2$

Si os fijáis, la expresión de la energía cinética consta de dos términos, que son los que hemos dicho antes, el primero que depende de la velocidad de la partícula y el segundo, que es constante. Y bueno, pues ya podemos expresarlo como habíamos hecho al principio:

$E_c= \gamma m_0c^2-m_0c^2$

Ahora, teniendo en cuenta que $\gamma m_0=m$, es decir, la masa relativista, podemos escribir la expresión de la siguiente forma:

$E_c=(m-m_0)c^2$

Puesto que esta energía cinética es en realidad una variación de energía (desde el estado de reposo relativo hasta una velocidad v) podemos extender el resultado anterior a culquier variación de energía y escribirlo así...

$\Delta E = \Delta mc^2$

¡Pero bueno! Si hemos llegado a la famosa ecuación., así como quien no quiere la cosa . ¡Qué cosas! Hemos llegado a la expresión que podríamos catalogar, sin exagerar, como la ecuación del siglo XX. Pero, ¿qué significa, a todo esto? Pues algo asombroso. Fijaos:

Esta expresión significa que cualquier variación de energía se traduce en una variación de masa, y viceversa, cualquier variación de masa supone la correspondiente variación de energía. O en otras palabras, que suenan más chocantes: masa y energía son dos manifestaciones de la misma cosa, es decir, la masa es una forma de energía.

Por útlimo, me gustaría añadir un hecho francamente curioso, que si bien es básico no debemos olvidar. Hemos llegado a una expresión para la energía cinética pero entonces, ¿qué fue de la utilísima ''fórmula'' $E_c=\dst\frac{1}{2}mv^2$?

Pues bien, la teoría de la relatividad debe dar lugar a la formulación clásica cuando la velocidad es pequeña, que es lo que se denomina principio de correlación. La expresión relavista de la energía cinética puede escribirse así:

$E_c = m_0 c^2(\gamma - 1)$

Expresando $\gamma$ como $\left( 1-\dst\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\dst\frac{1}{2}}$

Y aplicando el desarrollo binomial obtenemos:

$\left( 1-\dst\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\dst\frac{1}{2}}=1+\dst\frac{1}{2}\dst\frac{v^2}{c^2}+...$

Considerando que $v\ll c$ podemos despreciar los demás términos del desarrollo (por eso no lo escribo, bueno, y también por no alargarme ) por lo que:

$(\gamma - 1) = \dst\frac{1}{2}\dst\frac{v^2}{c^2}$

Y en consecuencia:

$E_c = m_0 c^2(\gamma - 1)=E_c = m_0 c^2(\gamma - 1)=\dst\frac{1}{2}m_0v^2$

En el caso de que la velocidad sea mucho menor que la de la luz. ¡Salvada la expresión!

Ay, la relatividad...no cabe ninguna duda que resulta apasionante por las asombrosas consecuencias que se derivan de ella. Se puede decir que es una de las teorías de la Física moderna, y clásica, más conocidas por todo el mundo. Pero también, si hay una teoría física que sea ampliamente desconocida en lo que respecta a sus contenidos esa es la relatividad! ¡Cuántos cineastas recurren a ella para sus peliculas de ciencia ficción!E incluso a la fórmula que hemos demostrado, llegando hasta el extremo de haberme encontrado en mi ciudad en una tienda de souvenir: $E= mc^2$ en una camiseta y debajo ''España=(mucho calor)^2. En fin, una verdadera revolución científica y cultural la de esta teoría.

Nada, ya es hora de despedirme. Pero bueno, ya se me irá ocurriendo algún tema del que tratar, a nivel introductorio y accesible a todos (sin tanta carga matemática como la de hoy, que la verdad cansa ponerlo en LaTex pero no me podréis negar que es bonita la demostración, eh? )

¡Hasta pronto!

[javirk]

Hola! Voy a empezar a leerme todos los artículos que has escrito, los he mirado un poco por encima y me han parecido bastante buenos, ya te expondré algunas dudas y eso. Pues lo dicho, lo primero felicitarte por todo lo que has escrito y lo segundo me gustaría preguntarte a qué curso vas, porque pone en tu perfil que vas a secundaria, pero yo voy a 4º de la ESO y no tengo ni mucho menos esos conocimientos en matemáticas (las integrales y eso), si no lo quieres escribir por aquí mándame un mensaje privado y ahí mismo te dejo mi dirección de msn (si es que tú tienes) para hablar y eso.

felicidades otra vez!

[Cat_in_a_box]

Muchas gracias de nuevo.
Te he escrito un privado bastante largo con algunas explicaciones y sugerencias, ya me contarás

[javier m]

juss, cuanto tiempo sin comentar por acá, el tiempo vuela

Tienes algunas erratas que ya había visto pero que no comenté porque parecían un poco evidentes, pero con fin de mejorar el articulo aquí van algunas que pude ver:

¡Ya estamos llegando al final! Sólo un poco más...

...[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

El -1 está por fuera de la raiz

Bueno, ¿y todo esto para qué lo queríamos? ¡A sí! para la energía cinética...
$E_c= \dst\frac{m_0v^2-m_0c^2\left(1-\dst\frac{v^2}{c^2}\right)}{\sqrt{1-\dst\frac{v^2}{c^2}}} - m_0c^2$

En el numerador es $m_0v^2+m_0c^2\left(1-\dst\frac{v^2}{c^2}\right)$

y por ultimo una sutileza que ni vale la pena cambiar

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

EL límite inferior de la segunda integral no es cero, es $\alpha=1-\beta=1-0=1$