Propiedades de los logaritmos

[QED]

En este artículo demostraremos las cinco propiedades generales de los logaritmos. Estas son el logaritmo de un producto, de un cociente, de una exponencial, de una raiz, y la propiedad del cambio de base (en este orden).

Antes de nada, recordar la definición de logaritmo. Decimos que:

$log_a(b)=x$.......entonces.......$a^x=b$

Para las demostraciones utilizaremos el logaritmo neperiano o logaritmo natural, y lo definimos como la función inversa de $e^x$:

$ln(e^x)=x$

Por tanto, podemos decir que $x=e^{ln(x)}$

Nota que se escoge el logaritmo neperiano por simplicidad, pero las propiedades se aplican a cualquier clase de logaritmo.


Así, con esta definición básica podemos demostrar dos proposiciones básicas:

$log_a(1)=0$......................$log_a(a)=1$

Sabido esto procedemos con las demostraciones.


$\underline{log_a(b\cdot c)=log_a(b)+log_a(c)}$

Decimos que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Así, decimos que:

$x\cdot y=e^{ln(x)}\cdot e^{ln(y)}=e^{ln(x)+ln(y)}$

$x\cdot y=e^{ln(x)+ln(y)}$

Ahora, utilizando la definición dada al comienzo del artículo decimos que $x\cdot y=e^{ln(x\cdot y)}$:

$e^{ln(x\cdot y)}=e^{ln(x)+ln(y)}$

$ln(x\cdot y)=ln(x)+ln(y)$

Y, por norma general:

$\boxed{log_a(b\cdot c)=log_a(b)+log_a(c)}$

$\underline{log_a(\frac{b}{c})=log_a(b)-log_a(c)}$

Decimos que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Así, decimos que:

$\displaystyle\frac x y=\displaystyle\frac{e^{ln(x)}}{e^{ln(y)}}=e^{ln(x)-ln(y)}$

$\displaystyle\frac x y=e^{ln(x)-ln(y)}$

Ahora, utilizando la definición dada al comienzo del artículo decimos que $\frac x y=e^{ln(\frac x y)}$:

$e^{ln(\frac x y)}=e^{ln(x)-ln(y)}$

$ln(\frac x y)=ln(x)-ln(y)$

Y, por norma general:

$\boxed{log_a\left(\frac b c\right)=log_a(b)-log_a(c)}$

$\underline{log_a(b^c)=c\cdot log_a(b)}$

Decimos que si:

$x=e^{ln(x)}$

Entonces:

$x^a=(e^{ln(x)})^a=e^{a\cdot ln(x)}$

Y, con la definición del principio podemos decir que:

$x^a=e^{ln(x^a)}$

Así que continuamos igualando $x^a$:

$e^{ln(x^a)}=e^{a\cdot ln(x)}$

$ln(x^a)=a\cdot ln(x)$

Y, por norma general

$\boxed{log_a(b^c)=c\cdot log_a(b)}$

$\underline{log_a(\sqrt[n]{b})=\frac 1 n \cdot log_a(b)}$

Esta demostración es sencilla si tomamos en cuenta la anterior, porque decimos que:

$log_a(\sqrt[n]{b})=log_a(b^{\frac 1 n})$

Y, utilizando la propiedad anterior:

$\boxed{log_a(\sqrt[n]{b})=\frac 1 n \cdot log_a(b)}$

$\underline{log_a(b)=\frac{log_c(b)}{log_c(a)}}$

Para la propiedad del cambio de base utilizamos:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Luego, igualando ambos términos:

$a^{log_a(b)}=c^{log_c(b)}$

Y, aplicando el $log_c$ en ambos términos:

$log_c(a^{log_a(b)})=log_c(c^{log_c(b)})$

Usando la propiedad demostrada del exponente:

$log_a(b)\cdot log_c(a)=log_c(b)\cdot log_c(c)$

Y de aquí tenemos que:

$\boxed{log_a(b)=\displaystyle\frac{log_c(b)}{log_c(a)}}$

Y así quedan todas las propiedades de los logaritmos demostradas.

[angel relativamente]

Fantástico artículo pepealej, como el resto :P

Yo conocía una demostración intuitiva (aunque informal) del logaritmo de una potencia a partir de la regla del logaritmo de un producto.

$$\dst \log_a(b^c)=c\cdot \log_a(b)$$

$$\dst \log_a(b^c)=\log_a(\underbrace{b\cdot b \cdot b \cdot b \cdot b \cdots}_{c} )=\underbrace{\log_a (b) + \log_a (b)+\log_a (b)+\log_a (b) + \cdots}_c =c\cdot \log_a(b)$$

Ahí queda el apunte

PD: Utiliza un poco más el comando \dst o \displaystyle. Así, cosas como: $e^{ln(\frac x y)}=e^{ln(x)-ln(y)}$ quedarían así: $e^{\dst \ln\left( \frac x y \right) }=e^{\dst ln(x)-ln(y)}$

Aunque a veces queda tan grande el exponente que no parece que lo sea jeje.

¡Un saludo!

[Pepealej]

Gracias Ángel Relativamente por el comentario.

También conocía esa demostración, y me parece igualmente buena Gracias por aportarla.

Acerca del comando \dst, no lo utilizo en esas ocasiones porque, como dijiste, no parece que sea un exponente Aunque cueste un poco leerlo si acercas la vista puedes distinguirlo.

Saludos!