Efecto Doppler relativista.

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¡Hola a todos!

Como veréis hace muchísimo que no escribo y que dejé aparcado este interesante tema. En mi último artículo, dónde quedó, llegamos a la famosa ecuación que relaciona la masa y la energía y que con ella di por cerrado el tema de la relatividad especial, al menos a nivel introductorio. Pero, pensándolo desde hace tiempo, creo que dejé algo en el aire que resulta francamente interesante. Me refiero al efecto Doppler para las ondas electromagnéticas o relativista. Mucho hay en el foro sobre el efecto Doppler clásico (con ésto me refiero al típico para ondas sonoras), de hecho creo recordar que hace poco el usuario Juankorku55 hizo un artículo sobre éste. No obstante, en este artículo también daré una explicación, al menos rápida y sencillita, para continuar más tarde con lo que nos concierne, seguir nuestro viaje en el mundo de la relatividad especial. Sin más demora, ¡manos a la obra!

Bueno, diría que todos, al menos alguna vez, hemos notado cómo cambia el sonido de una ambulancia que se acerca, pasa por nuestro lado y finalmente se aleja, ¿verdad? Pues bien, este fenómeno se halla relacionado con el denominado efecto Doppler, llamado así por su descubridor, un físico austríaco llamado Christian Doppler (luego hablaremos del señor Fizeau).

Por tanto, podemos definir el efecto Doppler, grosso modo, como el fenómeno debido al movimiento relativo de la fuente emisora de ondas (ahora estamos analizando las ondas sonoras) y el observador por el que cambia la frecuencia que se percibe del sonido, en este caso. Vamos a analizar pues los siguientes casos: fuente sonora en movimiento y observador en reposo, fuente sonora en reposo y observador en movimiento (vamos, al revés), y por último los dos en movimiento.
Imaginemos pues una fuente sonora, la denotamos como$F$, que se mueve hacia la derecha. Si ésta se mueve conuna velocidad $v_F$ y $v$ es la velocidad del sonido, la velocidad aparente de propagación de las ondas para un observador que se encuentre a la derecha, esto es, viendo acercarse a la fuente, será $v-v_F$ y por tanto, la longitud de onda que medirá será también menor (esto se traduce en un aumento de frecuencia...más agudo, para entendernos todos). Por tanto, en lugar de ser:

$$\lambda = vT,\quad T=\dst\frac{1}{\nu}$$

Tendremos que la nueva longitud de onda (menor, recordemos), será:

$$\lambda'=(v-v_F)T=\dst\frac{v-v_F}{\nu}$$

Por otro lado, entonces, la frecuencia que percibirá el observador (mayor, obviamente) hacia el que se acerca la fuente será:

$$\nu'=\dst\frac{v}{\lambda'}=\nu\left(\dst\frac{v}{v-v_F}\right),\quad \boxed{\nu'>\nu}$$

Pero, ¿y si el observador no se encontrara a la izquiera? Es decir, ¿y si se hallara en reposo y viendo cómo la fuente emisora de ondas se aleja? Pues, fácil, la longitud de onda sería mayor (sonido más grave), de modo que:

$$\lambda'= (v+v_F)T=\dst\frac{v+v_F}{\nu}\Rightarrow \nu'=\nu\left(\dst\frac{v}{v+v_F}\right),\quad \boxed{\nu'<\nu}$$

Ya hemos visto el primer caso, fuente sonora en movimiento y receptor parado. Pues vamos a dar la vuelta a la situación, pongamos a correr al observador y la fuente quieta. En este caso, como en el anterior, se produce un cambio en el ''tono'', pero éste no se debe a una modfificación de la longitud de onda, que siempre será la misma (la fuente está en reposo). Entonces, ¿a qué se debe? Pues a una distinta velocidad con la que le llegan al observador los frentes de ondas, ya se acerque o se aleja de la fuente.

Supongamos que se acerca con una velocidad $v_0$. Si se está acercando, pensemos, los frentes de onda le llegarán a una velocidad mayor (se ''choca'' antes con ellos) , de modo que $v'=v+v_0$. Por anto:

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En este caso, vemos que si el observador se acerca a la fuente en reposo, percibe un sonido más agudo, ya que la frecuencia con la que lo percibe es mayor que la frecuencia que emite la fuente. Es decir, paso lo mismo que si la fuente se acercara de él.

Sin embargo, si éste se aleja de la fuente, la velocidad con que le llegan los frentes de ondas será menor (''tarda'' más en llegarle un frente de onda) luego la frecuencia será menor ($v'=v-v_0$). Por tanto, percibiría un sonido más grave.Haciendo analogía del caso anterior:

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Ya nos queda poco para meternos de lleno con el efecto relativista, pero antes, ¿qué ocurriría si estuvieran tanto la fuente como el observador moviéndose?. Pues este caso es si cabe más sencillo que los anteriores, pues no es más que la combinación de ellos. Por tanto, si se acercan los dos a la vez:

$$\nu'=\nu\left(\dst\frac{v+v_0}{v-v_F}\right)$$

Y si se alejan a la vez:

$$\nu'=\nu\left(\dst\frac{v-v_0}{v+v_F}\right)$$

Pues ya está, hemos acabado con el efecto Doppler, pero, esperad, que aún quedan los aspectos más interesantes y algo llamado efecto Doppler cosmológico y el corriemiento al rojo y al azul (aquí tendremos cuidado, pues no se trata de un efecto Doppler propiamente dicho, pero tiempo al tiempo).

Partiendo de esta base, continuemos con lo que da nombre a este artículo: el efecto Doppler en ondas electromagnéticas.

En primer lugar, cabe decir que este fenómeno se trata de una de las muchas consecuencias, que ya hemos visto, de la cinemática relativista. Para empezar, vamos a suponer algo parecido a los casos anteriores. Imaginemos una fuente emisora de ondas luminosas que se mueve con una rapidez constante $v$ hacia un observador que se halla inmóvil en un marco inercial. Si se mide en su marco en reposo, la frecuencia de las ondas luminosas es $\nu_0$ y lógicamente un período igual a $T_0=\dst\frac{1}{\nu_0}$. Pero, ¿es la misma frecuencia la que recibe nuestro observador inmóvil? Pues, como ya intuís,no. Analicemos la situación:

En primer lugar, llamemos $T$ al intervalo de tiempo entre la emisión de crestas de onda sucesivas observado en el marco inercial del observador. Nos tenemos que dar cuenta que no se trata del intervalo entre la llegada de crestas de onda sucesivas al lugar en el que se encuentra el observador, simplemente porque las crestas no se emiten en el mismo punto del marco del observador. Me explico. Si una cresta se emite a cierta distancia del observador, la segunda se emitirá más cerca de éste, y la primera emitida ya estará en otra posición distinta en el momento en que se emite la segunda y así ocurriría con las demás. Es un poco complejo de imaginar, pero tratemos de visualizarlo.

Si nuestro observador mide la frecuencia que recibe, no tendrá en cuenta la diferencia de tiempo de tránsito de las crestas sucesivas. Por tanto, ¿valdrá la expresión $\nu=\dst\frac{1}{T}$? Para nada, $\boxed{\nu\neq \dst\frac{1}{T}}$. Entonces,¡ ¿cuál es la frecuencia $\nu$?!

Fijémonos que durante el intervalo de tiempo $T$ las crestas que van por delante de la fuente emisora recorren una distancia igual a $s=cT$, mientras que la fuente se desplaza también una distancia más corta, que sería $s'=vT$, en la misma dirección claro está. Por lo tanto, la distancia entre las crestas sucesivas, o la longitud de onda ($\lambda$), medida desde el marco del observador, sería

$$\lambda=(c-v)T$$

Por tanto, la frecuencia que éste mediría no sería más que:

$$c=\nu\lambda\Rightarrow \boxed{\nu=\dst\frac{c}{\lambda}=\dst\frac{c}{(c-v)T}}$$

Si nos fijamos, hemos seguido un esquema parecido al del efecto Doppler para las ondas sonoras. Pero, amigos, estamos en relatividad especial, por tanto...¡hay dilatación del tiempo! Y si hay dilatación del tiempo, pues ¡no podemos equiparar el tiempo $T$ al tiempo $T_0$ de emisión de ondas sucesivas por la fuente!. Por tanto, recordando cuál era la relación entre los tiempos $T_0$ (medido en el marco en reposo de la fuente) y $T$, echando mano del factor de Lorentz, tenemos que:

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De igual modo, podemos expresarlo de la siguiente forma teniendo en cuenta que: $T_0=\dst\frac{1}{\nu_0}$

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Pero, ¡alto ahí! Recordemos que $\nu\neq \dst\frac{1}{T}$, por lo que tenemos que trabajar con esta expresión para determinar la frecuencia medida por el observador que habíamos medio indicado en (10). Tenemos por tanto:

$$\nu=\dst\frac{c}{(c-v)T}=\dst\frac{1}{T}\dst\frac{c}{(c-v)}=\dst\frac{\sqrt{c^2-v^2}}{\not{c}}\cdot\dst\frac{\not{c}}{(c-v)}\nu_0=\nu_0\dst\frac{\sqrt{c^2-v^2}}{(c-v)}$$

Ahora, y ya sólo para dejarlo más ''bonito'', dado que: $c^2-v^2=(c+v)(c-v)$, podemos dejar una expresión bastante sencilla:

$$\nu=\nu_0\dst\frac{\sqrt{(c+v)(c-v)}}{(c-v)}=\nu_0\sqrt{\dst\frac{(c-v)(c+v)}{(c-v)^2}}$$

Y así llegamos a la expresión del efecto Doppler para ondas electromagnéticas (cuando la fuente se está aproximando al observador, claro).

$$\bold{\boxed{\boxed{\nu=\nu_0\sqrt{\dst\frac{c+v}{c-v}}}}}$$

Y esto, ¿qué significa? Pues que si la fuente se mueve hacia el observador, la frecuencia percibida por el observador es mayor que la emitida por la fuente. Cabe citar que se suele denominar a la diferencia $\Delta \nu=\nu-\nu_0$ desplazamiento de frecuencia de Doppler. Y bueno para acabar, ¿cuál sería la expresión si la fuente se alejara del observador?

$$\bold{\boxed{\boxed{\nu=\nu_0\sqrt{\dst\frac{c-v}{c+v}}}}}$$

Fácil, ¿verdad? Ya no analizamos más casos porque ,a diferencia del sonido, en el caso de la luz sólo importa la velocidad relativa de la fuente y del observador y no hay diferencia entre el movimiento de uno y el de otro.

Bueno, creo que ha sido un artículo bastante largo y da qué pensar... ahora ya sí que se podría decir que hemos terminado lo básico de relatividad especial. Aunque queda...pero bueno, tempo hay para aprender. Espero que os haya gustado, acepto cualquier sugerencia Ya que aún me queda un período de vacaciones bastante largo procuraré escribir con más frecuencia, por lo que buscaré más temas interesantes de los que tratar.

Saludos!