Demostración de la Ley de Wien

[QED]

A continuación demostraré la ley de Wien:

$$\lambda_{max}T = \dfrac{hc}{5k}$$

Es una expresión que nos da la longitud de onda en la cual el espectro de emisión tiene su valor máximo e irradia más flujo específico ( $F_{\lambda}$ flujo específico: energia medida por unidad de área, unidad de tiempo y unidad de longitud ).

Para demostrar ésta ley partiremos de la ley de Planck, que nos expresa el flujo específico en función de la longitud de onda y la temperatura:

$$F_{\lambda} = \dfrac{2\pi h c^2 }{\lambda^5}\dfrac{1}{\mathrm {e}^{\frac{hc}{kT\lambda}}-1}$$

Donde $h$ es la constante de Planck, $c$ es la velocidad de la luz en el vacío, $\lambda$ la longitud de onda, $T$ la temperatura y $k$ la constante de Boltzmann.

La siguiente imagen (obtenida de wikipedia ) muestra la distribución del espectro de radiación de un cuerpo negro a diferentes temperaturas:



El máximo de la función lo obtendremos derivando el flujo específico respecto a la longitud de onda e igualándolo a cero:

$$\dfrac{\mathrm {d}F_{\lambda}}{\mathrm {d}\lambda} = 0$$

$$\dfrac{\mathrm {d}F_{\lambda}}{\mathrm {d}\lambda} = \dfrac{-10\pi h c^2}{\lambda^6(\mathrm {e}^\frac{hc}{kT\lambda}-1)} + \dfrac{2\pi hc^2}{\lambda^5}\left (\dfrac{\dfrac{hc}{kT\lambda^2}\mathrm{e}^\frac{hc}{kT\lambda}}{ \left (\mathrm{e}^\frac{hc}{kT\lambda} - 1 \right )^2} \right )$$

$$\dfrac{\pi h c^2}{\lambda^6(\ee^{\frac{hc}{kT\lambda} } - 1)}\left [ \dfrac{2hc\ee^{\frac{hc}{kT\lambda}}}{kT\lambda(\ee^{\dfrac{hc}{kT\lambda}} - 1)} - 10 \right ] = 0$$

$$\dfrac{2hc\ee^{\frac{hc}{kT\lambda} }}{kT\lambda(\ee^{\frac{hc}{kT\lambda} } - 1)} = 10$$

$$\lambda_{max} T = \dfrac{hc\ee^{\frac{hc}{kT\lambda} }}{5k(\ee^{\frac{hc}{kT\lambda} } - 1)}$$

En el segundo miembro de la ecuación (5) despreciamos el uno enfrente a la exponencial, ésto es cierto en el rango de longitudes en el cual se encuentra el máximo, por tanto:

$$\lambda_{max}T = \dfrac{hc}{5k}$$

(c.q.d.)


Saludos.

[juantv]

solo es expresar la ley de planck en funcion de la longitud de onda , teniendo en cuenta que $\dst d\nu = -\frac{c}{\lambda ^2} d\lambda$ ... .