Movimiento parabólico: demostraciones del tiempo de movimiento, del alcance y de la altura máxima.

[QED]

Hola a todos. Este es mi primer artículo, en el que demostraré las ecuaciones del tiempo de movimiento, del alcance y de la altura máxima en el movimiento parabólico (en dos dimensiones).
Para comprender mejor las demostraciones, recomiendo el siguiente artículo relacionado con el Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) y el Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA).

Hecha la introducción, empecemos:

El movimiento parabólico está compuesto por dos movimientos: Un MRU (Componente horizontal de velocidad $v_x$ constante) y un MRUA (Componente vertical de velocidad $v_y$ constante).

La velocidad inicial $\vec{v_0}$ se descompone en sus dos componentes horizontal $v_0_x$ y vertical $v_0_y$. Observando el dibujo y ayudándonos de la trigonometría, podemos establecer las siguientes relaciones:

$$\cos\alpha=\frac{v_0_x}{v_0}$$

y

$$\sin\alpha=\frac{v_0_y}{v_0}$$

Así, obtenemos que:

$$v_0_x=v_0\cos\alpha$$

$$v_0_y=v_0\sin\alpha$$

La componente horizontal de la velocidad es siempre constante y igual a la velocidad inicial:

$$v_x=v_0_x=\text{constante}$$

El vector posición $\vec{r}$ es la suma vectorial de los vectores posición de cada movimiento, de esta manera:

$$\vec{r}=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}$$

Como hemos dicho, el movimiento horizontal corresponde a un MRU, cuya ecuación es la siguiente:

$$x=x_0+v_0_x}t$$

El movimiento vertical corresponde a un MRUA de ecuación:

$$y=y_0+v_0_yt-\frac12gt^2$$

He cogido el valor de $g$ como negativo ya que es un vector que apunta al centro de la Tierra (y por tanto, hacia abajo). En adelante se mantendrá este criterio.

Teniendo en cuenta estas ecuaciones, ya podemos iniciar nuestras demostraciones. Consideraremos que el tiro parabólico se inicia desde el suelo, donde $x_0=0$, $y_0=0$ y $t_0=0$, ya que las siguientes ecuaciones solo sirven bajo estas condiciones.

Tiempo de movimiento

El tiempo de movimiento es el tiempo total que un móvil permanece en movimiento. Para calcularlo, debemos tener en cuenta la componente vertical del movimiento. También hemos de tener en cuenta que $y=0$. Por tanto:

$$0=v_0_yt-\frac12gt^2$$

Sacamos factor común de $t$:

$$t\left(v_0_y-\frac12gt\right)=0$$

Ahora tenemos una ecuación de segundo grado con dos soluciones. La primera es $t=0$, que corresponde al instante inicial. La que buscamos es la segunda solución:

$$v_0_y-\frac12gt=0$$

$$v_0_y=\frac12gt$$

Despejamos $t$:

$$\boxed{t=\frac{2v_0\sin\alpha }{g}}$$

Y esta es la ecuación del tiempo de movimiento.

Alcance

El alcance es la distancia horizontal que recorre un móvil (que representaremos así: $x_{\max}$).
Para demostrar el alcance, sustituimos el tiempo de movimiento (ecuación (13) en la ecuación (7)):

$$x_{\max}=v_0_x\frac{2v_0\sin\alpha }{g}$$

Como sabemos, $v_0_x=v_0\cos\alpha$:

$$x_{\max}=v_0\cos\alpha\frac{2v_0\sin\alpha }{g}$$

Simplificamos la ecuación:

$$x_{\max}=\frac{2v_0^2\sin\alpha\cos \alpha}{g}$$

Finalmente, usamos la relación trigonométrica $\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha$:

$$\boxed{x_{\max}=\frac{v_0^2\sin2\alpha}{g}}$$

Y esta es la ecuación del alcance.

Altura máxima

La altura máxima es la altura a la que llega el punto más alto del tiro parabólico. Es decir, cuando $v_y=0$. Lo representaremos así: $y_{\max}$.
Tomamos la ecuación de la velocidad del MRUA (puesto que debemos encontrar la altura máxima, hemos de trabajar con la componente vertical):

$$0=v_0_y-gt$$

Despejamos el tiempo:

$$t=\frac{v_0_y} g$$

Sabemos que $v_0_y=v_0\sin\alpha$, y por tanto:

$$t=\frac{v_0\sin \alpha} g$$

Ahora, tomamos la ecuación (8) y sustituimos en la ecuación el valor del tiempo de la ecuación (13) (recordemos que el tiro lo realizamos desde el suelo):

$$y_{\max}=v_0_yt-\frac 1 2 gt^2$$

Arreglamos un poco la ecuación:

$$y_{\max}=\frac{v_0^2\sin^2\alpha } g -\frac{v_0^2 \sin ^2\alpha }{2g}$$

Finalmente:

$$\boxed{y_{\max}=\frac{v_0^2\sin^2\alpha }{2g}}$$

Y esta es la expresión de la altura máxima.

Otra forma de obtener dicha ecuación es obtener la ecuación de la trayectoria y sustituir $x$ por $x_{\max}/2$, que es el valor de la coordenada $x$ para el cual $y$ es máximo.

Por supuesto, estoy abierto a todo tipo de críticas y sugerencias.

[Al2000]

Me permito sugerirte un par de cambios, para hacer tu artículo aun mejor de lo que ya es:

- Elabora un nuevo gráfico en el cual se respete la ecuación (5) y en cual la velocidad se muestre tangente a la trayectoria en todo punto. Lamentablemente los dos últimos vectores $\vec V$ no se ven muy tangentes a la trayectoria que digamos. También es cierto que no se respetó la variación de $V$ a lo largo de la trayectoria y se nota claramente en el último vector dibujado, el cual debería tener la misma longitud que el primero.

- Si defines $x_\text {max}$ como la máxima distancia recorrida, entonces la ecuación (14) es incorrecta. Yo sugeriría dar al alcance el mismo tratamiento que a la altura máxima. Tal cual está actualmente hay una transición errada de la ecuación (15) a la (16), donde $x_0$ desaparece sin razón aparente.

Saludos,

Al

[Weip]

Gracias por comentar, Al.

1-Tienes razón, en cuanto pueda edito el dibujo y lo vuelvo a colocar, esta vez con los vectores bien puestos.

2-$x_0$ desaparece porque es 0 (lo indico más arriba). De todas formas lo quito, ya que no influye matemáticamente en la demostración.

Edito: Ya he solucionado todo, ahora debería de estar bien.