¿Es E=mc^2?

[Arri]

Sí. Bueno, no. A ver, más o menos. Depende de cómo lo mires. Esta famosa ecuación ha salido en todas partes y ha hecho mundialmente famoso a Albert Einstein (aunque la comunidad científica lo premiara por otros méritos). La ecuación en cuestión viene a decir que un cuerpo de masa m tiene una energía E tal que:

$$E=mc^2$$

Ahora bien, son muchos los que defienden que esta ecuación es incompleta, que a esa ecuación le faltan términos y que, en realidad, la equivalencia que se cumple es esta:

$$E^2=(mc^2)^2 + (pc)^2$$

Con p (masa por velocidad) el momento lineal del cuerpo. De manera que el caso "famoso" sólo se da si el cuerpo no se mueve, si está en reposo, si p=0.

¿Quién tiene razón? ¿Es $E=mc^2$ realmente incompleta? Como he dicho al principio, depende. Depende de qué entendamos por masa.

Hay bastante discusión con el concepto de masa en Relatividad. Una forma de verlo es que existe una masa en reposo $m_0$ (que es la que tiene el cuerpo cuando su velocidad es nula) y una masa relativista (la que el cuerpo tiene cuando va a una cierta velocidad). Esta masa relativista depende tanto de la velocidad como de la masa en reposo y obedece la relación:

$$m(v) = \frac{m_0}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}$$

De forma que, la masa que aparece en $E=mc^2$ es, en realidad, la masa relativista. Ahora ¿qué masa es la que sale en la otra ecuación? Tratemos de comprobarlo:

Partiendo de $E=mc^2$ y usando la definición de masa relativista:

$$E=mc^2 \Rightarrow E^2 \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)= (m_0 c^2)^2$$

Donde simplemente hemos pasado la raíz del denominador a la izquierda y hemos elevado al cuadrado.

Ahora vamos a intentar meter el momento lineal en la ecuación. Sabemos que $p = m v$ (en módulo). Con este concepto de masa relativista, tenemos que:

$$p = \frac{m_0 v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \Rightarrow p^2 \left( 1 -\frac{v^2}{c^2}\right) = m_0^2v^2$$

Vamos a intentar despejar $\frac{v^2}{c^2}$:

$$p^2 - \frac{p^2 v^2}{c^2} = m_0^2 v^2$$

$$p^2 = \left( m_0^2 + \frac{p^2}{c^2}\right)v^2$$

$$\frac{p^2}{c^2}=\left(m_0^2 + \frac{p^2}{c^2}\right)\frac{v^2}{c^2}$$

$$\frac{v^2}{c^2}= \frac{p^2/c^2}{m_0^2 + p^2/c^2}$$

Si lo llevamos a la ecuación anterior:

$$E^2 \left(1- \frac{p^2/c^2}{m_0^2 + p^2/c^2}\right)= (m_0c^2)^2$$

$$E^2 \left(\frac{m_0^2}{m_0^2 + p^2/c^2}\right)= (m_0c^2)^2$$

$$E^2 = \frac{(m_0c^2)^2}{m_0^2}\left(m_0^2 + \frac{p^2}{c^2}\right)$$

$$E^2= (m_0c^2)^2 + (pc)^2$$

Luego es la masa en reposo la que aparece en esta ecuación "completa".

¿Es entonces incompleta la ecuación $E=mc^2$? Depende de cómo se mire y del concepto de masa que usemos. Lo que está claro es que en la última ecuación que hemos visto tenemos que estar hablando de masa en reposo y que $E=mc^2$ es totalmente cierto sólo si usamos el concepto de masa relativista. Si sólo hablamos de masa en reposo, esa ecuación es cierta para cuerpos que no se mueven.

NOTA PERSONAL: según mi opinión, es más claro considerar sólo el concepto de masa en reposo e incluir los factores $\frac{1}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}$ afectando a velocidades y posiciones, tal como establecen las transformaciones de Lorentz.

[Arri]

Eso debería estar entre comillas "dimensionalmente correctas"


¿Por qué?


Porque en el 4-espacio, (t,x,y,z) tienen el "mismo peso" no hay por ejemplo, en la coordenada temporal algo que la haga tratar diferente a cualquier otra coordenada. En dicho sistema por ejemplo, el tiempo tiene unidades de longitud, es decir está en metros.

No estoy yo muy seguro de eso que dices... Los cuadrivectores que se definen en relatividad especial son, que yo sepa, algo como $(ct,x,y,z)$: el producto $ct$ es una longitud. De hecho, la norma de un vector en el espacio de Minkowsky es:

$$\vec{r} = (ct, x, y, z) \Rightarrow |\vec{r}|^2 = -(ct)^2 + x^2 + y^2 + z^2$$

(Igual me he dejado o me sobra algún cuadrado o algo, lo tengo un poco olvidado U). Pero vamos, en los cuadrivectores la componente tiempo no es simplemente $t$, sino $ct$. Para definir una métrica correcta las componentes de los vectores tienen que tener las mismas dimensiones, creo que Ángel tiene razón.

[pod]

Matemáticamente, no es imprescindible que las coordenadas de un tensor (los vectores son tensores de orden 1) tengan las mismas unidades. Por ejemplo, en coordenadas esféricas una coordenada tiene dimensiones de longitud y las otras son adimensionales (ángulos).

No obstante, físicamente sí que nos gusta que las coordenadas tengan la misma dimensionalidad, por lo menos en la base cartesiana. Eso se puede hacer de dos formas: primero, tomando la coordenada temporal como ct en vez de sólo t, como acertadamente decía Arri.

La segunda es tomar un sistema de unidades diferente (nadie dice que nos tengamos que casar con el Sistema Internacional) donde distancia y tiempo se midan en la misma unidad. No es tan raro, muchas veces decimos "año luz" para medir una distancia mediante una unidad temporal (el año). Esto se puede hacer porque hay una constante universal que traduce de tiempos a distancias y viceversa: la velocidad de la luz. Fijaos que en un sistema de unidades donde tiempo y distancia se midan en la misma unidad, las velocidades serán adimensionales. De hecho, la velocidad de la luz será 1.

Este tipo de unidades suelen llamarse "unidades naturales", y aunque pueda sonar un poco raro, son las que más se utilizan en Física.

[Javiershadow1]

La masa de la ecuación de Einstein es la relativista. Pero no hay que considerar como la masa de un cuerpo a la de reposo porque ésta no se conserva, como se ha visto en experimentos nucleares. Por ejemplo el fotón no tiene masa en reposo pero sí momento, ya que puede transmir energía. Podrías pensar que solo existe en estado de movimiento y otorgarle una "masa" asociada a su movimiento.