Hola muy buenas, en este artículo voy a demostrar el momento angular, que denotaremos con , y el momento de inercia, al cual lo nombraremos con . Aprovecho para decir que soy alumno de 1º del grado en física, así que probablemente algún error haya. Empecemos:



Consideremos un sólido (el de la imagen) que gira alrededor del eje , con una determinada velocidad angular . Tal como se ha dicho, cada partícula describirá una circunferencia en un plano perpendicular al eje. Así, por ejemplo, la partícula describe una circunferencia de radio , lo que hace que posea una velocidad lineal dada por:


o bien:


siendo el vector de posición de la partícula y el vector de posición del centro de la circunferencia descrita, y que se encuentra sobre el eje . De esta manera el momento angular correspondiente a la partícula será:


siendo perpendicular al plano formado por los vectores y , con lo que formará un ángulo de con el eje .
Calcularemos ahora los distintos elementos, empezando por el vector velocidad lineal asociado a la velocidad angular , es decir:


y así, el momento angular nos vendrá dado por:


ahora bien, sabemos que:


Y con ello, podremos escribir:


donde


recibe el nombre de momento de inercia de la partícula de masa situada a una distancia del eje de rotación.
Si estos razonamientos los aplicamos a todas las partículas que componen el sólido, el momento angular del mismo vendrá dado por:


En esta última expresión se ha hecho que:


representando el momento de inercia del sólido, en su totalidad, respecto al eje de rotación.
Esta última expresión presenta un aspecto más simple en el caso en que el eje de rotación, en nuestro caso el eje OZ, sea además un eje de simetría. En estas circunstancias los términos y son nulos, puesto que cualquier punto de coordenadas tiene su simétrico de coordenadas , con lo que los sumatorios anteriores se anularán.

De esta manera, un cuerpo que gira respecto de un eje de simetría tiene un momento angular dado por:


El eje de rotación que además es un eje de simetría, recibe el nombre de eje principal, y los correspondientes momentos de inercia, se denominan momentos principales de inercia. Notemos que en estas circunstancias el momento angular es paralelo al eje de rotación.
Dada la comodidad que para el cálculo representa el paralelismo entre el momento angular y el eje de rotación, cabría preguntarse si para cada cuerpo hay algún eje de rotación para el que se dé este hecho. La respuesta es afirmativa. Se puede demostrar que para cada cuerpo, sin importar su forma, existen, por lo menos, tres direcciones mutuamente perpendiculares para las cuales el momento angular es paralelo al eje de giro. Es decir, que hay tres ejes principales y tres momentos principales de inercia, que se designan por y . Estos tres ejes forman un sistema de referencia fijo en el cuerpo que, en general, rota con el cuerpo.
Por último conviene recalcar que la expresión
únicamente es válida para la rotación alrededor de un eje principal de inercia.
En líneas generales el momento angular respecto de un eje de rotación arbitrario, y que nosotros hemos elegido coincidente con el eje , viene dado por:


Los factores "" y "" son los productos de inercia respecto a los planos e

En fin, espero que os haya gustado. No dudéis en corregirme o decirme si debo cambiar algo. Un saludo!