Frentes de ondas-4

[arivasm]

Vamos a dar respuesta al problema de la amplitud de la onda que resulta al atravesar una rendija en una situación semejante a la siguiente:

Antes de nada hay que destacar un hecho que no podemos pasar por alto: la imagen no representa todas las situaciones posibles, en el sentido de que jugará un papel crucial la relación existente entre la anchura de la rendija y la longitud de onda.

Así, si dicha relación es tal que la longitud de onda es comparativamente menor que la anchura de la rendija el comportamiento que se aprecia es éste:

Como vemos, sigue siendo compatible con el principio de Huygens en lo relativo a las formas de los frentes de onda, pero en lo que se refiere a la amplitud podemos apreciar un "efecto de sombra", en el sentido de que la parte intensa del frente propagado conserva aproximadamente la forma de la rendija, cosa que no sucedía en la primera imagen.

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En 1816 Augustin-Jean Fresnel logró explicar los patrones de intensidad de algunos fenómenos de difracción de la luz introduciendo nuevas hipótesis al principio de Huygens, relativas a las fases y amplitudes de las ondas secundarias. Además, incorporó la idea de que existiría un "factor de oblicuidad", necesario, entre otras razones, para eliminar la posibilidad de que la aplicación del principio conduzca a dos frentes de onda: uno que avanza y otro que debería retroceder hacia la fuente.

El principio de Huygens-Fresnel establece que las porciones infinitesimales del frente de onda actúan como fuente de ondas secundarias que se deben superponer, teniendo en cuenta sus fases y amplitudes.

Obsérvese que la principal novedad está en que se reemplaza una simple construcción, basada en trazar una línea envolvente, por un procedimiento de cálculo, que implicará la existencia de una auténtica interferencia entre el sinnúmero de ondas que procedan de las porciones del frente.

Del sencillo, pero limitado, formalismo del principio de Huygens pasamos a tener que realizar una operación notoriamente más compleja: descomponer el frente en infinitos fragmentos infinitesimales, para a continuación integrar y así obtener la superposición de las ondas secundarias emitidos desde ellos.

Afortunadamente, son bastantes los sistemas de interés (especialmente en situaciones de aprendizaje) que se pueden estudiar con aproximaciones más toscas, pero suficientemente predictivas. Así, por ejemplo, es habitual tratar la experiencia de Young como si cada rendija pudiese ser representada con una única fuente, o manejar la difracción por una rendija como si el frente de onda contenido por la misma pudiese representarse tan solo con dos fuentes situadas en los extremos de la rendija.

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Precisamente, a modo de ejemplo, tratemos de dar respuesta, de manera cualitativa, a los fenómenos recogidos en las imágenes anteriores, de difracción por una rendija.

Consideremos un punto P situado en el espacio tras la rendija AB

Está claro que la máxima diferencia de caminos, que será lo mismo que decir la máxima diferencia de fase, corresponderá a los dos señalados, AP y BP. Además, observemos que dicha diferencia será, a su vez, inferior al tamaño de la rendija AB.

Si ahora tenemos en cuenta que para que dos ondas secundarias interfieran destructivamente la diferencia de caminos tendrá que ser $\lambda/2$ (en general un número semientero de longitudes de onda), encontramos que si se cumple que $\lambda\gg AB \geq |BP-BA|$, la interferencia será prácticamente constructiva para todas las ondas secundarias emitidas desde AB. La consecuencia es que entonces los frentes de ondas no deberán presentar zonas de baja amplitud.

Sin embargo, si la longitud de onda se va haciendo menor (o bien aumenta la anchura de la rendija), paulatinamente iremos encontrando, comenzando por puntos P para los que AP y BP estén suficientemente ladeados, lugares en los que las ondas interferirán destructivamente*, lo que explica la primera imagen de esta entrada.

A medida que la longitud de onda se hace menor y menor esas zonas se van situando cada vez más hacia delante de la rendija**, hasta llegar a que la interferencia sólo es esencialmente constructiva en una zona situada en frente de la rendija, como sucede en la segunda de las imágenes anteriores.

(*)Por supuesto, el primer caso en que habrá dos ondas secundarias interfiriendo destructivamente será aquél en el que $AB=\lambda/2$ y dicha interferencia corresponderá a tomar el punto P a 90º respecto del eje de la rendija. Esto significa que las primeras líneas nodales, a medida que reducimos la longitud de onda, aparecerán pegadas al obstáculo.
(**)Es decir, las líneas nodales irán separándose del obstáculo, al tiempo que aparecerán otras nuevas.

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Terminaré esta serie de entradas hablando algo de la amplitud de las ondas secundarias. Fresnel intuyó que de algún modo no debería ser uniforme, sino máxima en la dirección de propagación del frente de ondas al que pertenece la fuente secundaria que la genera, para disminuir a medida que se consideren direcciones que formen un ángulo $\chi$ con aquélla, hasta hacerse 0 en el sentido contrario al de propagación, es decir, para [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

Es decir, si tenemos un frente como el de la figura siguiente:

donde Q es una fuente secundaria, la amplitud de la onda que se emite desde Q y que alcanza a otro punto, P, no sólo dependerá de la distancia $s$ (en una situación 3D la amplitud será inversamente proporcional a $s$) sino que también dependerá del ángulo $\chi$, a través de cierto factor de oblicuidad $K(\chi)$.

Fresnel obtuvo valores aproximados para dicho factor mediante una ingeniosa técnica de construcción de zonas. Posteriormente Gustav Kirchhoff demostraría que el principio de Huygens-Fresnel es una consecuencia de la ecuación de onda, así como que el factor de oblicuidad es $K(\chi)=\frac{1}{2}(1+\cos\chi)$

Por supuesto, y para fortuna de muchos estudiantes de Óptica y Física ondulatoria en general, si el punto P de la figura anterior está suficientemente alejado no será necesario introducir en el análisis del problema el factor de oblicuidad, algo que siempre es de agradecer (al igual que sucede con cualquier simplificación)...

Nota: quien esté interesado en leer de verdad sobre el principio de Huygens-Fresnel, con un formalismo cuantitativo, en vez del cualitativo que he expuesto, he aquí una magnífica entrada en el blog de demostraciones: http://forum.lawebdefisica.com/entri...uygens-Fresnel

[sater]

genial otra vez Arivasm, a ver si subieras algo más al blog!