En primer lugar vamos a demostrar las conocidas expresiones de las derivadas del seno y del coseno. Para ello nos ayudaremos de la figura siguiente:
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Nombre:	Pitagoras.png
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Como vemos, los triángulos OCE y ACB son semejantes, con razón de semejanza que podemos encontrar con las hipotenusas
De la proporcionalidad entre los catetos opuestos al ángulo tenemos el diferencial del coseno
y con la de los catetos contiguos encontramos la diferencial del seno

Una vez que tenemos las derivadas de las funciones trigonométricas simplemente recurriremos a los desarrollos en serie de McLaurin (es decir, de Taylor en torno a ) de las funciones
Como
y
tenemos que todas las derivadas de son las opuestas de las de

Para llegar al final sólo nos basta con observar, por la propia definición de las funciones seno y coseno, que y .

Como el desarrollo en serie de McLaurin del cuadrado del seno es
y el del cuadrado del coseno es
resulta que

Multiplicando ambos lados por el cuadrado del radio de la figura anterior, y teniendo en cuenta que éste es la hipotenusa del triángulo OCE, (11) nos conduce finalmente al teorema de Pitágoras: