El origen geométrico de las leyes de fuerzas inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia

[Rodri]

Ya desde los cursos de Secundaria, cualquier estudiante se habrá encontrado con estas dos leyes fundamentales de la Física:

1) La Ley de Newton de la Gravitación Universal: $\vec{F}=-G\frac{Mm}{r^{2}}\vec{u_{r}}$

donde M y m son las dos masas puntuales que se atraen, estando M en el origen y m situada en la posición $\vec{r}$, siendo G la constante de gravitación universal. Esta ley fue enunciada por Newton a partir de observaciones astronómicas y de las leyes de Kepler para las órbitas de los astros.

2) La Ley de Coulomb para la fuerza electrostática: $\vec{F}=K\frac{Qq}{r^{2}}\vec{u_{r}}$

donde Q y q son las dos cargas puntuales que interaccionan, estando Q en el origen y q situada en la posición $\vec{r}$ y siendo K una constante. Esta ley fue descubierta por C.A. Coulomb a finales del siglo XVIII, medio siglo antes de que Faraday propusiera el concepto teórico de campo y casi un siglo antes de que Maxwell formalizara las ecuaciones que definen completamente la interacción electromagnética.


A nadie mínimamente observador le puede pasar desapercibido que ambas expresiones tienen exactamente la misma forma: son inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia, cambiando solo la constante de proporcionalidad y la propiedad relevante en la interacción en cada caso (masa o carga eléctrica, respectivamente).

¿Cómo es posible que dos fuerzas fundamentales de la Física, que según nos dicen los teóricos son totalmente independientes, y que son las interacciones dominantes en el universo a escala macroscópica, tengan una expresión absolutamente calcada la una de la otra? ¿Mera casualidad? Las casualidades son muy raras en Física. Cuando se da una coincidencia tan notable normalmente es porque detrás hay una buena razón. Veamos esa razón.

La dependencia con la inversa de r² es algo inherente a la combinación de tres factores muy generales que condicionan las leyes de la Física:

(1) La geometría tridimensional del espacio
(2) La isotropía de la interacción (es decir el hecho de que no haya ninguna dirección del espacio privilegiada respecto de los fenómenos físicos)
(3) La simetría esférica que posee una fuente puntual de campo de fuerzas

En medio de todo ello está el concepto teórico de campo. ¿Qué es el campo? Como sabemos el campo es una función vectorial que a cada punto del espacio asigna el valor de la fuerza que experimentaría una unidad de la "propiedad fuente" (masa o carga) situada en ese punto, que llamamos carga o masa "de prueba". Así pues el campo es una especie de "fuerza normalizada" definida para cada punto del espacio mediante la cual podemos conocer la fuerza neta que experimenta una partícula dotada de una cierta cantidad de la propiedad fuente, simplemente multiplicando dicha cantidad por el valor del campo en el punto en el que se localiza la partícula.

Vamos a llamar $\vec{C}(x,y,z)$ al campo en el punto del espacio (x,y,z), sin importarnos si se trata del campo eléctrico o el gravitatorio.

Es muy instructivo visualizar el campo creado por una masa o una carga eléctrica en reposo mediante la analogía de lo que en fluidos se denomina un "flujo estacionario". Imaginemos un arroyo de agua tranquila que siempre discurre de la misma forma, sin remolinos ni turbulencias. Si hacemos una foto del arroyo en dos instantes diferentes la imagen del arroyo aparece exactamente igual, como si el tiempo se hubiera detenido. Esto es porque si observamos un punto fijo del espacio en el seno de la corriente del arroyo, el vector velocidad del elemento de fluido que justo en ese instante pasa por ese punto es exactamente el mismo todo el tiempo.
En el fluido con flujo estacionario podemos identificar las "líneas de corriente" que son las líneas en el espacio para las que el vector velocidad en cada punto es tangente a ellas. Cada línea de corriente es la trayectoria que seguiría un granito de arena que fuese arrastrado por el fluido al depositarlo en un punto cualquiera a lo largo de dicha línea.

El flujo del fluido a través de una cierta superficie acotada S se calcula como $\oint_{S} \vec{v} \cdot d \vec{\sigma}$, con $\vec{v}$ el vector velocidad y $d \vec{\sigma}$ el vector normal a S en cada punto de S y de longitud igual al elemento de S.
Si S es una superficie cerrada, que no contenga ningún manantial o sumidero del fluido, el flujo a través de ella será cero, ya que toda línea de corriente que entra tiene que salir. Sin embargo si dentro de dicha superficie cerrada existen manantiales ("fuentes positivas") o sumideros ("fuentes negativas") entonces el flujo a través de ella será igual al caudal neto de las fuentes existentes en el interior de la superficie (es decir el caudal que mana de los manatiales menos el caudal que absorben los sumideros).

Estas ideas se pueden trasladar al concepto de campo que hemos introducido, estableciendo las siguientes equivalencias:

TEORÍA DE CAMPOS <-----> FLUIDOS CON FLUJO ESTACIONARIO

$\vec{C}$ <-----> $\vec{v}$

líneas de campo <-------> líneas de corriente

cantidad de propiedad fuente (masa o carga) <-----> caudal de manantiales(+) y sumideros(-)

Estableciendo esta equivalencia formal, podemos definir el concepto de flujo del campo a través de una superficie cerrada S, en analogía con el mismo concepto en los fluidos:

$\oint_{S} \vec{C} \cdot d \vec{\sigma}=\alpha P$ [1]

, siendo P la cantidad de la "propiedad fuente" contenida en el interior de S y $\alpha$ una constante de proporcionalidad, necesaria para ajustar dimensionalmente la ecuación (reducible a la unidad, $\alpha=1$, si usamos las unidades adecuadas para la propiedad fuente).

Esta ecuación expresa algo muy simple e intuitivo: que la cantidad de campo que "fluye" a través de una superficie cerrada es directamente proporcional a la cantidad de propiedad fuente que hay en el interior de dicha superficie, de la cual "emana" el campo. Este enunciado es conocido como Ley de Gauss.

Podemos expresar la misma idea de una manera más compacta teniendo en cuenta el concepto matemático de divergencia de un campo vectorial, y llamando $\rho$ a la densidad volumétrica de la propiedad fuente P:

$\nabla \cdot \vec{C} = \alpha \rho$ [2]

De hecho la palabra "divergencia" expresa precisamente el hecho de que el campo "diverge" del punto, en el sentido de que hay un flujo neto de campo que sale de él. Por tanto si la divergencia es positiva el punto en cuestión se comporta como manantial de campo. Si la divergencia es negativa (en ese caso el campo no "diverge" del punto sino que "converge" hacia él) el punto se comporta como un sumidero de campo.

Como sabemos, las expresiones [1] y [2] son equivalentes en virtud del teorema de Gauss-Ostrogradski, que dice que la integral de la divergencia del campo extendida a un volumen cualquiera es igual al flujo del campo a través de la superficie que encierra a dicho volumen.

Consideremos una partícula centrada en el origen de coordenadas, dotada de una cantidad P de la propiedad fuente. Nos preguntamos cuánto vale el campo $\vec{C}$ generado por esta partícula a una distancia r del origen. Para calcularlo podemos proceder del siguiente modo.

Primero calculamos el flujo del campo a través de una superficie esférica de radio r centrada en el origen. Para ello tenemos en cuenta que la situación tiene simetría esférica, lo que unido a la isotropía del espacio nos asegura que el campo $\vec{C}$ es un vector normal a la superficie esférica en todo punto de esta y además con el mismo módulo, ya que no hay ninguna dirección privilegiada respecto a las demás. La situación se muestra en la siguiente figura.

El módulo del campo, que llamamos C(r), dependerá solo del radio r de la esfera. Entonces usando la Ley de Gauss y teniendo en cuenta que la integral de superficie en [1] es simplemente el producto de C(r) por el área de la superficie esférica $4\pi r^{2}$ escribimos

$4\pi r^{2}C(r) = \alpha P$ [3]

Por último, de [3] despejamos el módulo del campo C(r):

$C(r)=\frac{\alpha P}{4\pi r^{2}}$

Por tanto, la fuerza sobre una cantidad "de prueba" p de la propiedad fuente colocada a una distancia r del origen tendrá dirección radial y estará dada por el producto $pC(r)$:

$F(r)=\frac{\alpha Pp}{4\pi r^{2}}$


y hemos obtenido la ley inversamente proporcional a r²

Newton y Coulomb no fueron coetáneos. Pero si hubieran tenido un encuentro hipotético, conociendo el carácter que dicen que tenía Newton, quizá se le pasase por la cabeza demandar por plagio a Coulomb ante el alto tribunal de la Historia de la Ciencia. Sin embargo dejando a un lado su agrio carácter, Newton era ante todo un formidable matemático y seguramente, tras reflexionar un poco, habría sido capaz de llegar a la conclusión de que la ley de la Coulomb y "su" ley de la Gravitación son en gran medida expresión de una misma cosa: la geometría del universo.

Pues hay otros argumentos que conducen a similares consecuencias. Por ejemplo, es lógico pensar que en un universo isótropo y homogéneo, la influencia de un evento cualquiera que ocurra en el origen de coordenadas de un sistema de referencia se transmita (si es que lo hace) a otros puntos de su entono de forma inversamente proporcional a su distancia (aquí podría añadirse además y dicha influencia se transmite a la velocidad de la luz aunque lógicamente ni a Newton ni a Coulomb se les ocurrió tal cosa, ellos solo pensaron en una influencia instantánea), de manera que al alejarnos del origen a una distancia doble la influencia debida se reduzca a la mitad. Esto define el potencial de los campos descritos antes, ya que si definimos la fuerza como el gradiente del potencial cambiado de signo, llegamos a las mismas conclusiones que antes:

$U=\displaystyle\frac{k}{r}\qquad\qquad \vec F=-GradU=\displaystyle\frac{k}{r^2}\vec u_r$

Lógicamente un sensor que detecte esa acción y que se vea influenciado por ella en esa forma tenderá a compensarla de la forma más eficaz posible, lo que define la fuerza central a partir de dicho potencial.

Salu2, Jabato.

[alshain]

Una cosa conviene aclarar: la dependencia 1/r² del campo de interacción, o equivalentemente 1/r del potencial no es la única acorde con la geometría tridimensional del espacio. Los potenciales asociados a interacciones cumplen en general la ecuación de Klein-Gordon (ya que las interacciones vienen transportadas por bosones que son partículas de espín entero). En una situación estática independiente del tiempo esta ecuación de Klein-Gordon se reduce a la ecuación de Poisson para el caso m=0. Sólo en ese caso existe una analogía con los fluidos con fuentes y sumideros, y se cumple la dependencia del potencial 1/r y del campo con 1/r². Si no, con bosones portadores masivos, se habla de potencial tipo "Yukawa", cuya dependencia es diferente (más bien una generalización del caso anterior).

Saludos.

[JARC]

Perfecto el razonamiento, pero veo un problema y este consiste en que la pregunta de porqué las fuerzas de gravedad y la eléctrica son inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia, se reduce a porqué "el módulo del campo dependerá solo del radio de la esfera". Para que eso suceda, tenemos que suponer que una masa M irradia o transmite algo y esa irradiación disminuye lógicamente con el cuadrado de la distancia dado que la esfera de influencia aumenta con el cuadrado de la misma. Pero: ¿Qué es lo que irradia una masa? ¿Cual es el concepto físico de ese flujo? Decimos que la masa crea un campo gravitatorio, pero ese campo únicamente existe cuando colocamos una segunda masa de prueba puntual. Si esa segunda masa no la colocamos no podemos asegurar que el campo exista previamente. Si no se coloca una segunda masa, no hay flujo. Podemos suponer que el campo existe, porque experimentalmente siempre aparece la fuerza de la gravedad, pero no sabemos en qué forma física se plasma su existencia. Si falta una de las masas, la fuerza de gravedad es cero. El campo es por tanto algo teórico o con una existencia (por así decirlo) matemática, pero no física. Sin embargo, si suponemos que el espacio es algo concreto (un cuerpo cierto aunque no conozcamos sus características), podemos aceptar que una masa deforma a su alrededor el espacio que la rodea, y esa deformación sí que tiene un sentido físico.