Hoy seguiré con el tema del anterior blog. En geometría proyectiva existe un poderoso principio que nos facilita la vida en ciertas ocasiones. Se conoce como el Principio de Dualidad. Tal como indica el nombre, se basa en establecer una relación entre un enunciado en un espacio proyectivo con otro enunciado del espacio proyectivo dual. La utilidad es la siguiente: si tenemos una afirmación en muy difícil de demostrar entonces podemos encontrar un enunciado equivalente en que puede ser más fácil de demostrar.

Ya están apareciendo algunas palabrejas así que empecemos con la definición básica.

Definición: Sea un espacio proyectivo con espacio vectorial asociado . Llamaremos espacio proyectivo dual de al espacio proyectivo con espacio vectorial asociado . Lo denotaremos por .

Una consecuencia interesante de introducir el espacio dual es que los hiperplanos de son puntos en , cosa que nos facilita el trabajo . También pasa al revés: Los puntos de se convierten en hiperplanos en . Así pues el Principio de Dualidad hay que saberlo utilizar en el momento adecuado para no complicarnos la vida.
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Ahora ya podemos enunciar el principio del que hemos estado hablando.

Principio de Dualidad: Sea un enunciado de que involucra variedades lineales con las relaciones , , , , , , , , , . Si identificamos:








Variedad Lineal de dimensión Variedad Lineal de dimensión

Obtenemos un enunciado equivalente a .

Observación: El Principio de Dualidad no dice nada acerca de la veracidad de o de , tan sólo dice que es verdadero (resp. falso) si y sólo si es verdadero (resp. falso).

Ejemplo:

: "Tres planos distintos de se cortan en un punto".
: "Tres puntos distintos de generan un plano".

Finalmente quisiera exponer un famoso teorema en el que se puede utilizar el Principio de Dualidad en la demostración. Hablo del Teorema de Desargues. Este teorema dice que si tenemos dos triangulos y en el plano proyectivo sin vértices ni lados comunes entonces son equivalentes:
1) Las rectas , y son concurrentes.
2) Los puntos , y están alineados.

La gracia está en que la implicación es el enunciado dual de . Así pues, demostrando sólo una de las dos implicaciones ya tenemos todo el teorema demostrado. Es justo aquí dónde reside la potencia del Principio de Dualidad.
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En esta imagen, dos rectas concurrentes en el plano proyectivo pasan a ser puntos alineados en el espacio proyectivo dual. Es justamente lo que aplicamos al dualizar una de las implicaciones del teorema de Desargues.

¡Hasta pronto!