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Pescando ideas

Suma de series infinitas

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Hola a todos, no he encontrado nada que se le parezca en el foro, el desarrollo de las sumatorias de series infinitas es extenso, con varias formulas útiles, así que decidí hacerlo en el formato de blog. Buscando formulas en las que el resultado de la sumatoria de los infinitos términos de una serie de números enteros o no, positivos o no, sea un número negativo. Ej

x>0 \ldots\Rightarrow \displaystyle \sum_{n = 1}^\infty x < 0

Hallé varias y me propuse como desafío llegar por mis propios medios y métodos al resultado publicados en bibliografía y videos de internet, cosa que he logrado en varios casos.
En algunas halle la solución correcta, aunque el método usado es de dudosa procedencia, o el resultado no es el que aparece en Internet, ni el que daría la función zeta de Riemann, ni el que aparece en la teoría de cuerdas, y gracias a los comentarios y aportes de quienes tienen mejores conceptos en matemática que yo he mejorado la edición del blog eliminando aquello en donde estoy equivocado.
Desde ya muchas gracias, a quienes aporten mejoras .

He asignado un el valor de cada suma a una letra o variable, para utilizarla luego para deducir otras sumatorias, aunque también es debatible si el resultado de una serie es aplicable a otras, si el método de resolución no es el mismo.

1) Empiezo por una serie divergente, llamada serie de Grandi

\displaystyle s=\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}  \left\{\begin{aligned}s  & = 1 \text{ Cuando } n ...

que oscila entre dos valores posibles 1 y 0 cuando la serie es finita, la documentación que recopile indica que
cuando n\to\infty  s =\dfrac 12 este es el resultado de aplicar la sumación de Cesàro:

representando los primeros sumandos de la sumatoria tenemos s=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-...

llamo

\displaystyle z=\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}  \left\{\begin{aligned}z  & = 0 \text{ Cuando } n \e...

Representando los primeros sumandos de la sumatoria tenemos z=-1+1-1+1-1+1-1+1+1-1+1+1-...

Si a la sumatoria de la serie z se le adiciona 1 y se coloca este 1 como primer sumando , observamos que se obtiene una serie idéntica a la serie s , de aquí

1+z =s

Sabiendo que para n>1 \in N
(-1)^{n-1}=\dfrac{(-1)^n}{(-1)}=-(-1)^{n}

Si se adiciona la serie s con la z de manera que , siempre se sume el sumando n de la serie s con el sumando n de la serie z

s+z=(1+(-1))+(-1+1)+(1+(-1))+(-1+1)+(1+(-1))+(-1+1)+\cdot \cdot \cdot
s+z=0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+\cdot \cdot \cdot donde s+z=0

Como bien me indicaron esta serie asi representada tambien diverge dependiendo del como se agrupen los sumandos de la serie y en cual numero n es hago la evalucion, puedo hallar resultados diferentes -1,0,1 incluso es factible demostrar que puede arreglarse para obtener cualquier n\in N

En cambio , presentada de la siguiente manera tenemos que :

z+s =\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} +\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}= \d...

 \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}[(-1)+1]^n=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 0^n=0

Entonces nos queda un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

\left.\begin{aligned}-s+z & = -1 \\s+z & = 0\end{aligned}\right\} \quads x=\dfrac 12; z=-\dfrac 12

Que es el resultado similar al obtenido por la sumación de Cesàro con S_k= \displaystyle \sum_{k = 1}^k (-1)^{k-1}
x=-\dfrac 12 =\lim_{n \to \infty}\dfrac{(S_1+...+S_n)}{n}
__________________________________________________________________________________

2)Luego para la siguiente serie divergente

\displaystyle x=\sum_{n=1}^{\infty} n(-1)^{n-1}

Que oscila entre todos los enteros positivos y negativos,se le asigna el resultado x=\dfrac 14 resultado al cual arribo Euler llamandolo paradojico... Cesàro con su metodo no puede arribar al mismo resultado, y requiere otro metodo de resolución regular, lineal, estable, y consistente con el anterior que es el metodo de Abel.

\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} A_nz^{n}

donde z=e^{-x}

Los primeros números de la sumatoria de la serie son  x =1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+...

para calcular este resultado reccurro a restarle a la sumatoria de la serie x, la de la serie s, mas estrictamente como me recomendaron

x-s=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n(-1)^{n-1} - \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}

=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}[n(-1)^{n-1} - (-1)^{n-1}]=\sum_{n=1}^{\infty}(n-1)(-1)^{n-1}

si cambio de variable i=n-1 entonces

x-s=\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty} i(-1)^{i}=0+\sum_{i=1}^{\infty}(-1)^{i}=z=-s

o sea  x-s=-x \Rightarrow 2x=s \Rightarrow x=\dfrac 14

\displaystyle x=\sum_{n=1}^{\infty} n(-1)^{n-1}=\dfrac 14
__________________________________________________________________________________

3)La serie divergente sin límite de incremento unitario

w=\displaystyle \sum_{n =1}^\infty 1= \displaystyle \sum_{n =1}^\infty 1^n= \displaystyle \sum_{n...

Cuyo resultado bibliografico es  w=-\dfrac 12 con sus primeros sumandos w=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+...

la resuelvo sumando de a uno los sumando n de x y w

w+x=\displaystyle \sum_{n =1}^\infty 1+\sum_{n=1}^{\infty} n(-1)^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty}[1+ n(-...

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}[(-1)^{n-1}\cdot (-1)^{n-1} + n (-1)^{n-1}]=\sum_{n=1}^{\infty}[...

Pero si observamos que los terminos de la serie (-1)^{i-1}+i son los mismos que la de la serie n pero con el orden de los sumandos alterados , ademas se puede ver que dicho termino n aparecera antes o despues que en su posicion original, por lo que estara con el signo cambiado


i = n-2 n-1 n n+1 n+2
(-1)^{i-1}+i cuando i es par n n-1 n+2 n+1
(-1)^{i-1}+i con i impar n-1 n-2 n+1 n


por lo que podemos escribir

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}[(-1)^{n-1}((-1)^{n-1}+n)]= \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}(-n))=-...

\Rightarrow w=-2x \Rightarrow w=-2\dfrac14 =-\dfrac12

de aquí
 w=\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty 1 =-\dfrac1{2}

Pero en realidad la función utilizada en este desarrollo es

 \zeta (s)=\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty \dfrac{1}{n^s}=\dst \dfrac 1{1-2^{1-s}}\displaystyle...


con n=1 y s=0 no es valida en s=0 ,por lo que se usa la continuación analítica de su función zeta

\zeta(s)=2^s\pi^{s-1} \sin(\dfrac{\pi s }{2}) \Gamma(1-s) \zeta(1-s)

Que por desarrollo de los primeros términos en s=0

\zeta (0)=\dfrac 1{\pi}\lim_{s \to 0}(\dfrac{\pi s}{2})(\zeta(1-s)=\dfrac 1{\pi}\lim_{s \to 0}(\d...

__________________________________________________________________________________

4) La sumatoria de todos los números naturales es divergente también sin límite.

 v=\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty n

la blibliografia le asigna el resultado de  -\dfrac1{12}

resultado obtenido también por Srinivasa Ramanujan y encontrado en uno de sus cuadernos

c=1+2+3+4+5+6+....
4c= 4 + 8 + 12+....
-3c=1 -2+3 -4+5 -6+......

y de aqui utiliza -3c=x=\dfrac14

obteniendo c=v=-\dfrac 1{12}

mi forma de encontrar el resultado es sumarle a la serie v la serie recien obtenida x

v-x=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n - \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty} n(1-(...

analizando
(1-(-1)^{n-1}) es  \left\{\begin{aligned}2 & \text{ Cuando } n \equiv par \\0 & \text{ Cuando } n \equiv impar\end{...

de aqui haciendo cambio de variable i = 2n para obtener solo los n pares

v-x = \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} i (2) = \sum_{i=1}^{\infty} 2n2 = 4 \sum_{i=1}^{\infty} n...

v-x=4v

\Rightarrow -x=4v-v=3v \Rightarrow v=-\dfrac x3=-\dfrac{\frac14}{3}=-\dfrac1{12}

de aquí

 v=\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty n =-\dfrac1{12}

Este resultado se puede probar usando la función zeta de regularización haciendo

\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty n=\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty n^{-s}

convirtiendola en una serie de Dirichlet en caso particular en que s=-1
Cuando la parte real de s es mayor que 1, la serie de Dirichlet converge y su suma es la función zeta de Riemann Pero la serie de Dirichlet diverge cuando la parte real de s es menor que o igual a 1, por lo que, en particular, la serie 1 + 2 + 3 + 4 + · · · no converge. Pero el beneficio de la introducción de la función zeta de Riemann es que puede ser definida para otros valores de s por prolongación analítica en \zeta (-1).
Euler uso la relación entre la función zeta de Riemann y la eta de Dirichlet cuyo resultado esta demostrado


\zeta(s)(1-2^{1-s})=\eta(s)=\dfrac14

\zeta(-1)(1-2^{1-(-1)})=-3\zeta{-1}=\eta(-1)=\dfrac14

\zeta(-1)=v=-\dfrac{\frac14}{3}=-\dfrac 1{12}


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Actualizado 23/07/2015 a las 22:54:21 por Richard R Richard

Categorías
Matemáticas

Comentarios

  1. Avatar de Weip
    Hola, vengo a comentar algunas cosillas, no todas, sobre lo que has dicho.

    Lo primero es que has de especificar qué suma usas. Porque la mayoría no son sumas en el sentido usual.

    Encontre varias y me propuse como desafio demostrarlas
    Sería bueno que te acostumbrases a ver si las series convergen o no, si son absolutamente convergentes... Te lo digo porque muchos de los pasos que haces dependen de ciertas condiciones que no compruebas. Si lo dejas así como así tus demostraciones están mal.

    y sumando el primer 1 de s con el primer -1 de z y siguiendo
    ¿Y porqué en ese orden concreto? No das detalles y este paso es crucial en tu demostración. El motivo es que no puedes apelar al orden de sumación para ver lo que vale una serie porque si no puedes encontrarte con resultados distintos dependiendo del orden que sumes. Tu eliges un orden en concreto sin justificarlo. Un consejo que te doy es que uses lo que sabes de análisis en vez de sumar a pelo. Sino estás viviendo peligrosamente.

    Te animo a que replantees algunas demostraciones. Que lleven a resultados correctos no quiere decir que estén bien. No las he leído todas ni he leído todas las dudas, así que en otro momento vuelvo.
    Actualizado 11/06/2015 a las 16:27:31 por Weip
  2. Avatar de Richard R Richard
    Quiza la palabra demostrarlas este mal empleada, por ello aclare que era solo intentar obetener el resultado por mis propios medios usando un metodo que pueda usar en calculos mas complicados luego, en realidad lo que me hace falta es estar seguro en el metodo de calculo, ya ves voy a tientas, algunas me salen y otras no tanto.

    Voy a corregirme, para ver si cuando vuelves, lo puedo presentar de manera mas clara, para que me puedas ayudar con menos esfuerzo

    Gracias
  3. Avatar de Weip
    Hola, ya me lo he leído todo.
    Quiza la palabra demostrarlas este mal empleada, por ello aclare que era solo intentar obetener el resultado por mis propios medios usando un metodo que pueda usar en calculos mas complicados luego, en realidad lo que me hace falta es estar seguro en el metodo de calculo, ya ves voy a tientas, algunas me salen y otras no tanto.
    No me queda muy claro que quieres hacer. Yo entiendo que quieres ver que las propiedades que has encontrado son ciertas. Lo puedes hacer con poco rigor si eso es lo que quieres, pero es que estás cruzando la línea entre lo que está bien y lo que está mal.

    Si se adiciona la serie s con la z de manera que , siempre se sume el sumando n de la serie s con el sumando n de la serie z
    Tenemos que
    s+z=(1+(-1))+(-1+1)+(1+(-1))+(-1+1)+(1+(-1))+(-1+1)+…
    Insisto: la propiedad asociativa no es cierta para series en general. Está mal. Con tu mismo argumento puedo agrupar los términos de forma que esa suma me de uno.

    Que oscila entre todos los enteros positivos y negativos, se ele asigna por bibliografía el resultado x=\dst\frac{1}{4}
    Vuelvo a insistir: ¿Qué criterio de sumación estás empleando? Cuando hablas de series sin más tal como estás haciendo, esa serie no converge y ya está. Pero les estás asignado valores. Y hay varias formas de hacerlo.


    que no es el resultado que se espera , entonces donde me equivoco?
    Sumas a pelo sin las debidas precauciones. Si quieres puedes seguir agrupando términos de forma que te de el resultado. Pero de todas formas estará mal.

    Por otra parte si analizo series finitas
    Las series siempre son infinitas. Sería "suma", que es lo que dices en las siguientes frases.

    y tambien en la suma de pares mas impares no se cumple que
    -\dfrac16 + (-\dfrac 23)\neq -\dfrac 1{12}
    Aquí tendría que saber qué criterio usas para regularizar, supongo que es el de Dirichlet. Pero bueno, de todas formas piensa que no estás haciendo simples sumas, estás haciendo límites. La suma de los pares y la de los impares no tiene porqué darte la suma que quieres.
    Actualizado 12/06/2015 a las 12:01:01 por Weip
  4. Avatar de Richard R Richard
    Gracias de antemano.


    Cita Escrito por Weip
    No me queda muy claro que quieres hacer. Yo entiendo que quieres ver que las propiedades que has encontrado son ciertas. Lo puedes hacer con poco rigor si eso es lo que quieres, pero es que estás cruzando la línea entre lo que está bien y lo que está mal.
    Lo que quiero es aprender una mecanica de resolucion y no cometer el sieguiente error quebien me marcaste

    Cita Escrito por Weip
    Insisto: la propiedad asociativa no es cierta para series en general. Está mal. Con tu mismo argumento puedo agrupar los términos de forma que esa suma me de uno.
    No me percate de que se trataba de la misma serie y por logica tiene que oscilar entre 0 y 1 segun el n en que pares de sumar.

    Cita Escrito por Weip
    Vuelvo a insistir: ¿Qué criterio de sumación estás empleando? Cuando hablas de series sin más tal como estás haciendo, esa serie no converge y ya está. Pero les estás asignado valores. Y hay varias formas de hacerlo..
    Cual seria la forma correcta, "el metodo", no te extiendas explicandomelo, solo dime si sabes de donde puedo aprender. El valor que le asigno, no es arbitrario, lo he buscado y es el que ponen en internet, Wikipedia precisamente, y otros dedicados a la matematica, videos etc. y como es muy curioso que se llegue a un resultado " aparentemente" absurdo, me interesa saber como probar que es matematicamente cierto ese resultado.

    Cita Escrito por Weip
    La suma de los pares y la de los impares no tiene porqué darte la suma que quieres.
    Creo que la diferencia se debe a que las sumatorias contienen distinto numero de "sumandos" si bien todos son "infinitos", no son la misma cantidad en cada uno de los terminos de la ecuacion por ello no doy con la igualdad,
    aunque si puedo cuando n esta acotado y guarda la relacion que la cantidad de numeros pares o impares es la mitad de del total de los naturales hasta n, pero cuando  n\to\infty no podria sumar hasta  \frac{\infty}{2}
  5. Avatar de Weip
    Hola de nuevo.
    Cual seria la forma correcta, "el metodo", no te extiendas explicandomelo, solo dime si sabes de donde puedo aprender. El valor que le asigno, no es arbitrario, lo he buscado y es el que ponen en internet, Wikipedia precisamente, y otros dedicados a la matematica, videos etc. y como es muy curioso que se llegue a un resultado " aparentemente" absurdo, me interesa saber como probar que es matematicamente cierto ese resultado.
    Mejor te pongo un ejemplo. Si usas la regularización de Dirichlet:

    \dst\sum_{n = 1}^\infty n =- \dst\frac{1}{12}

    Pero si usas la de Abel pues no existe. Y con la sumación habitual la serie diverge y punto final. Por eso te pregunto qué criterio usas. En tus fuentes lo tendría que poner. Si no sólo te puedo corregir presuponiendo un criterio en base a los valores que te da. Es decir, voy a tientas. Además si no te has fijado en este detalle es probable que en tu mensaje hayan distintas regularizaciones mezcladas.

    Creo que la diferencia se debe a que las sumatorias contienen distinto numero de "sumandos" si bien todos son "infinitos", no son la misma cantidad en cada uno de los terminos de la ecuacion por ello no doy con la igualdad,
    Las dos series tienen la misma cantidad de sumandos. El motivo es que el conjunto de números pares y el conjunto de números impares son numerables de forma que tienen el mismo número de elementos que \mathbb{N}. Los detalles los puedes encontrar fácilmente por internet.

    Actualizado 13/06/2015 a las 11:39:28 por Weip
  6. Avatar de Richard R Richard
    gracias por tu aporte
    Cita Escrito por Weip
    Mejor te pongo un ejemplo. Si usas la regularización de Dirichlet:



    Pero si usas la de Abel pues no existe. Y con la sumación habitual la serie diverge y punto final.
    Si tienes razon que es una mezcla de la sumación de Cesàro para la serie divergente de Grandi, mas tarde uso la de Abel,( lo hice sin conocer nada del tema, fue pura intuicion para llegar al resultado) es mas tuve que buscar a que te referias en internet ya que mi matematica es limitada a lo que recuerdo de hace 25 años, también hago referencia a las de Dirichlet en el caso especial de la zeta de Riemann, pero no tengo claro por que el uso de una invalida el uso de la otra, ni porque en matematicas segun el metodo puedo llegar a dos resultados diferentes, o si lo que acabo de decir no tiene logica alguna.

    Ahora si me dado cuenta que en definitiva lo que quiero hacer es probar que dado un metodo de calculo para una serie con determinadas caracteristicas, que son los que me sugieres, mas los que aprendere pues he visto que hay más, puedo darle un valor a la sumatoria de la serie. El tema pasa por saber si luego puedo usar el valor obtenido para resolver otra serie con otro metodo.

    gracias, voy a ir mejorando en la edición del Blog para que quede util a alguien mas, saludos.
  7. Avatar de Richard R Richard
    Hola para los que interese el tema he encontrado un video , que aclara mucho mis dudas, y los porque que se suscitan en este tema del blog

    Es una lastima que este en ingles y que la traducción automática sea pésima, pero entrenando un poco el oído se capta bien la idea.



    Así me quedo con "never,never,replace the standar sumation" en ese contexto es que las sumas de series infinitas divergentes resueltas por los métodos de sumación de Ramanujan o Cesaro , solo sirven en determinados contextos y "nunca, nunca reemplazan el método estándar de suma"
  8. Avatar de Richard R Richard
    Bueno finalmente la respuesta, la imposición de resultados a series divergentes, lleva a la confusión
  9. Avatar de Weip
    Buenas Richard. En el vídeo que has puesto se explica el principio de continuación analítica aplicada a la función Zeta de Riemann y me he acordado de este otro vídeo que lo explica muy visualmente:



    Lo pongo porque puede resultar útil para futuros visitantes del artículo y porque personalmente me encanta: al final el principio de continuación analítica parece una especide de "requerimiento de simetría" para la función Zeta de Riemann. Tenía pensado algún día hacer un artículo de blog sobre esto pero no sé cuándo.
    Actualizado 15/01/2018 a las 13:17:49 por Weip

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