Ecuaciones de Fridman

[Jaime Rudas]

El modelo cosmológico de consenso, más conocido como Teoría del Big Bang, está basado en el principio cosmológico (homogeneidad e isotropía) y en la en pocos meses centenaria Teoría General de la Relatividad. Partiendo de esto, Alexandr Fridman dedujo, en 1922, las hoy consideradas ecuaciones básicas de la expansión del universo, las ecuaciones de Fridman:

$\dst{3\frac{\ddot a}{a}=\Lambda-4 \pi G \left( \rho+\frac{3p}{c^2} \right)}$

$\dst{H^2= \left( \frac {\dot a}{a}\right)^2=\frac{8 \pi G\rho+\Lambda}3-K\frac{c^2}{a^2}}$

Se ven algo complicadas, sin embargo, algunos de sus elementos más importantes se pueden deducir utilizando exclusivamente los resultados del descubrimiento de Hubble y la mecánica newtoniana:

En 1929 Edwin Hubble descubrió que, con una buena aproximación, las galaxias se alejaban de nosotros a una velocidad proporcional a la distancia. Esto significa que, si la galaxia B se encuentra al doble de distancia de la galaxia A, entonces B se aleja de nosotros al doble de velocidad de la que se aleja A. O sea, la velocidad de recesión $V$ de una galaxia es igual a su distancia $D$ multiplicada por una constante $H$ llamada la constante de Hubble:

$\dst{V=H \times D}$

Esto significa que $H$ es igual a:

$\dst{H=\frac VD}$

Ahora bien, la velocidad de recesión es la derivada de la distancia con respecto al tiempo: $dD/dt$. A efectos de simplificar la notación, expresaremos las derivadas de una variable con respecto al tiempo poniendo un punto encima de ella, de tal forma que $dD/dt=\dot D$.

Entonces:

$\dst{H=\frac{\dot D}D}$

Por otra parte, dado que la distancia varía con el tiempo, convengamos llamar $R$ a la distancia actual. Así, la distancia $D$ en el momento $t$ (o sea $D(t)$) será igual a un determinado factor de escala $a(t)$ multiplicado por $R$:

$\dst{D(t)=a(t)R}$

De aquí resulta que:

$\dst{V=\dot D=\frac{dD(t)}{dt}=\frac{d[a(t)R]}{dt}=R \frac{da(t)}{dt}=\dot a R}$

Por lo tanto:

$\dst{H=\frac{\dot D}D=\frac{\dot a R}{aR}=\frac{\dot a}a}$

Tenemos, también, que la aceleración $A$ es la derivada de la velocidad:

$\dst{A=\dot V=\ddot a R}$

Y la fuerza $F$ resultante de esta aceleración es igual a la masa por la aceleración:

$\dst{F=mA=m \ddot a R}$

Ahora bien, supongamos una galaxia en los confines del universo observable. Esa galaxia se aleja de nosotros más rápido que las galaxias más cercanas. Eso significa que, con su aceleración, trata de escapar del campo gravitacional de la totalidad de las galaxias que observamos; campo gravitacional que, a su vez, trata de retenerla. El volumen del universo observable es:

$\dst{Vol=\frac 43\pi D^3=\frac 43 \pi (aR)^3=\frac 43 \pi a^3 R^3}$

La masa $M$ del universo observable sería igual a la densidad media $\rho$ por el volumen:

$\dst{M=\rho Vol=\frac 43 \rho \pi a^3 R^3}$

Y la fuerza de atracción que ejercería sobre la galaxia de masa $m$ sería:

$\dst{F=- \frac{GmM}{D^2}=- \frac{GmM}{(aR)^2}=- \frac{\frac 43 Gm \rho \pi (aR)^3}{(aR)^2}=-\frac 43 Gm \rho \pi aR}$

Por lo tanto:

$\dst{F=m \ddot a R=-\frac 43 Gm \rho \pi aR}$
$\dst{\frac{\ddot a}a=-\frac 43 \pi G \rho}$
$\dst{3\frac{\ddot a}a=-4 \pi G \rho}$

De esta ecuación observamos que la aceleración del factor de escala $\ddot a$ resulta negativa y no depende de la distancia $R$ a que se encuentre la galaxia, sino únicamente de la densidad $\rho$ del universo.

Si comparamos esta última ecuación con la primera de Fridman:

$\dst{3\frac{\ddot a}{a}=\Lambda-4 \pi G \left( \rho+\frac{3p}{c^2} \right) }$

encontramos que las únicas diferencias son la constante cosmológica $\Lambda$ que posibilita que la aceleración sea positiva (como efectivamente lo es, según se descubrió hace apenas 20 años) y el elemento $\frac{3p}{c^2}$ que incluye la velocidad de la luz $c$ y la presión $p$ que, de acuerdo con la relatividad general, también contribuye en la gravedad.

Ahora, recordemos que, para escapar de un campo gravitacional, se requiere que la energía cinética sea mayor (o igual) a la energía potencial. Al igualar las dos, nos resulta la velocidad de escape, de tal forma que, si las galaxias tienen una velocidad igual o mayor, el universo se expandirá por siempre; mientras que si tienen una velocidad menor, llegará un momento en que deje de expandirse y empiece a contraerse.

Consideremos el caso de la velocidad de escape, o sea, cuando la energía cinética es igual a la potencial:

$\dst{E_c=E_p}$

$\dst{\frac 12 mV^2 = \frac{mMG}D}$

$\dst{\frac 12 m(\dot a R)^2 = \frac{mMG}{aR}}$

$\dst{\frac 12 \dot a^2R^3 = \frac{MG}a}$

$\dst{\frac 12 \dot a^2R^3 = \frac{ \frac 43 \rho \pi a^3 R^3 G}a}$

$\dst{\frac 12 \dot a^2 = \frac 43 \rho \pi a^2 G}$

$\dst{ \left( \frac{\dot a}a \right)^2 = \frac 83 \rho \pi G}$

Si comparamos esta última ecuación con la segunda ecuación de Fridman:

$\dst{H^2= \left( \frac {\dot a}{a}\right)^2=\frac{8 \pi G\rho+\Lambda}3-K\frac{c^2}{a^2}}$

encontramos que solo se diferencian en la ya comentada constante cosmológica $\Lambda$ y en el factor $K\frac{c^2}{a^2}$, donde $K$ representa la curvatura del universo, que no es tenida en cuenta en la mecánica newtoniana, pero que, dado que efectivamente es prácticamente nula, no afecta el resultado final.

Así las cosas, partiendo exclusivamente de las observaciones de Hubble de 1929 y de las leyes formuladas por Newton en 1687, podemos llegar a deducir las leyes de la expansión del universo en forma muy aproximada a las deducidas por Fridman de la Relatividad General.

Nota: la presente entrada esta basada totalmente en la conferencia de Leonard Susskind en la Universidad de Stanford que se encuentra aquí. Los errores u omisiones son atribuibles a mí [JR].

[Alriga]

Quizás te resulte interesante este enlace. A mí me sirvió mucho.

Muchas gracias por el enlace Jaime, no lo conocía y es muy útil.
Permíteme que abuse de tu paciencia con otra pregunta. ¿Como se inicia un nuevo BLOG? Uno como éste de las Ecuaciones de Fridman que has iniciado tú.
Seguro que debe ser bastante obvio, pero soy un poco torpe y no encuentro el botón de "crear nuevo blog"
Solo he encontrado, (y con ayuda) dentro de un FORO el botón "+Crear un hilo" pero no encuentro el botón de crear un BLOG.
Muchas gracias y saludos cordiales.

Jaime, gracias pero creo que al final lo he encontrado por mi mismo:
-En Alriga
-Mi actividad
-Entrar en grupos
-Editores de blogs
-Unirte al grupo
Y ahora ya veo que yendo a la pestaña Blogs me sale a la derecha arriba el botón
“+ Escribir blog”
De todas maneras muchas gracias, saludos.

[Richard R Richard]

- Tampoco sé como conseguir que las fórmulas me salgan con letras más grandes.

El link que te paso Jaime es el que use para aprender , incluso hay una seccion del foro dedicado a la escritura en LATEX que te servira para preguntar lo quieras, tambien en este dedicado a los temas generales en el foro

para agrandar las fracciones usa \dfrac en vez de \frac , o \dst o \displaystyle que mejoran la vista.

En este post hice la misma pregunta por ese tema .

Aprovecho para agradecerles por todo lo que me han ayudado.

PD. Jaime disculpa mi indiscreción. Recuerdo que comenzaste publicando algunas anecdotas interesantes, historias de personajes de la fisica, luego lei que has traducido, " Expanding Confusion " , y por como he visto que redactas... me pregunto ... si eres autor y has publicado alguna obra de tu autoría, o trabajas en alguna editorial y estas relacionado con las publicaciones divulgativas...

Saludos Ricardo

[Jaime Rudas]

PD. Jaime disculpa mi indiscreción. Recuerdo que comenzaste publicando algunas anecdotas interesantes, historias de personajes de la fisica, luego lei que has traducido, " Expanding Confusion " , y por como he visto que redactas... me pregunto ... si eres autor y has publicado alguna obra de tu autoría, o trabajas en alguna editorial y estas relacionado con las publicaciones divulgativas...

Se te agradece el halago, pero no: ninguna de las anteriores. Solo soy alguien a quien le gusta la cosmología y se esfuerza por explicar lo poco que entiende en forma asequible.