La expansión de las aldeas III

[Jaime Rudas]

En la entrada La expansión de las aldeas I planteábamos una analogía según la cual, a causa de la erosión, el camino que había que recorrer para ir de una aldea a la siguiente se expandía a una tasa de 1 mm por año, lo que daba como resultado que, al igual que el universo, las aldeas se 'alejan' a una velocidad proporcional a la distancia a la que se encuentran.

En la entrada La expansión de las aldeas II mostramos cómo es posible alcanzar una aldea aun desplazándose a una velocidad inferior de lo que se aleja esa aldea del punto de partida. Esto, en cierta forma, explica por qué podemos observar galaxias que, por efecto de la expansión, se alejan a una velocidad mayor que la de la luz.

En esta tercera entrada veremos, en forma más detallada, cómo, según las condiciones dadas, es posible alcanzar, en un tiempo finito, cualquier aldea, sin importar cuán alejada se encuentre.

Así las cosas, llamemos:
$A_0$ - la aldea inicial
$A_n$ - la aldea enésima
$R_0$ - distancia entre aldeas consecutivas en el momento inicial (t=0)
$R$ - distancia entre aldeas consecutivas en el momento t
$V_r$ - velocidad a la que se expande la distancia entre aldeas consecutivas, o sea, velocidad de crecimiento de R o velocidad de recesión
$V_m$ -velocidad a la que se desplaza el musgo

De acuerdo con las condiciones de las entradas I y II, tenemos:

$R_0 = 1000 \: \mathrm{m}$

$V_r = 1$ mm/año $= 0,001$ mm/año

$V_m=1$ m/año

De esto se desprende que la distancia R entre aldeas consecutivas en el momento t es:

$R=R_o+V_r t$

Ahora bien, ¿cuántas aldeas avanza el musgo en un determinado lapso de tiempo, por ejemplo, en 400.000 años? En la entrada II hacíamos el siguiente razonamiento: si el camino no se expandiera, el número N de aldeas que alcanzaría a recorrer sería igual a la distancia recorrida por el musgo en T=400.000 años dividida por la distancia entre aldeas, o sea:

$N = \dfrac{V_m \cdot T}{R_0}$

$N = \dfrac{1 \times 400.000}{1000}=400$

Dado que, en realidad, la distancia entre aldeas aumenta, sabemos que el musgo recorre necesariamente menos de 400 aldeas en 400.000 años.

Por otra parte, en el momento t = 400.000 años, la distancia $R$ entre aldeas consecutivas es:

$R=R_o+V_r t$

$R=1000+0,001\times 400.000 = 1400$

Si durante los 400.000 años la distancia R entre aldeas no hubiera crecido paulatinamente, sino que, desde el principio, hubiera sido de 1400 m, entonces el número de aldeas recorridas sería de:

$N = \dfrac{V_m \cdot T}{R}$

$N = \dfrac{1 \times 400.000}{1400}=285$

Pero, como sabemos que durante los 400.000 años R era menor que 1400 m, el número de aldeas recorridas por el musgo es necesariamente mayor que 285.

Ahora bien, si dividimos el lapso de 400.000 años en 4 periodos de 100.000 años, encontraremos (siguiendo el mismo razonamiento) que en cada uno recorrerá, como mínimo, 90, 83, 76 y 71 aldeas respectivamente, y como máximo, 100, 90, 86 y 76 aldeas. Sumando los cuatro valores nos resulta que, en los 400.000 años, recorre mínimo 320 aldeas y máximo 349.

Como se observa, al dividir el lapso de tiempo en varios periodos y luego sumar los resultados nos permite afinar el estimativo de aldeas recorridas y, entre más dividamos, más se acercarán máximo y mínimo.

Generalizando la operación tenemos que:

Dividimos el lapso de tiempo $T$ en n periodos Δt de tal forma que el periodo $T_1$ inicia en t=0 y finaliza en t=Δt; el periodo $T_2$ inicia en t=Δt y finaliza en t=2Δt; el periodo $T_3$ inicia en t=2Δt y finaliza en t=3Δt; ...; el periodo $T_i$ inicia en t=(i-1)Δt y finaliza en t=iΔt; ...; el periodo $T_n$ inicia en t=(n-1)Δt y finaliza en t=nΔt=T.

Tenemos que durante cada periodo Δt el musgo avanza $V_m \cdot \Delta t$ y, dado que en el momento $T_i$ la distancia entre aldeas $R_i$ es $R_0+V_r \cdot T_i$, el número de aldeas $N_i$ que avanza el musgo en cada periodo $T_i$ es (mínimo):

$N_i= \dfrac{V_m \cdot \Delta t}{R_i}=\dfrac{V_m \cdot \Delta t}{R_0+V_r \cdot T_i}$

Y el numero total de aldeas N recorridas en el lapso de tiempo T es la suma de todos los $N_i$ desde i=1 hasta i=n es:

$N= \dst \sum_{i=1}^{n}\dfrac{V_m \cdot \Delta t}{R_0+V_r \cdot T_i}$

Ahora, entre más dividamos T, mayor aproximación tendremos en el resultado, de tal forma si hacemos que en numero de períodos n tienda a infinito, los Δt tenderán a 0 y nuestra suma se convertirá en:

$N= \dst \int_0^T\dfrac{V_m \dd t}{R_0+V_r t}$

$N=\dfrac{V_m}{V_r}\ln (R_0+V_rt) \vert_0^t$

$N=\dfrac{V_m}{V_r}[\ln (R_0+V_rt) -\ln R_0]=\dfrac{V_m}{V_r}\ln \left(\dfrac{R_0+V_rt}{R_0} \right)$

$N=\dfrac{V_m}{V_r} \ln \left( 1+\dfrac{V_r t}{R_0} \right)$

Para nuestro caso caso particular tenemos:

$N=\dfrac{1}{0,001} \ln \left( 1+\dfrac{0,001t}{1000} \right)$

$N=1000 \ln (1+10^{-6}t)$

Para el caso de nuestro ejemplo cuando t=400.000 tenemos:

$N=1000 \ln (1+10^{-6} \times 400.000)= 1000 \ln 1,4=336,5$

Lo que significa que en 400.000 años el musgo se encuentra a mitad de camino entre las aldeas 336 y 337.

Si queremos saber en cuanto tiempo llega el musgo a una determinada aldea, tenemos:

$N=1000 \ln (1+10^{-6}t)$

$N/1000 = \ln (1+10^{-6}t)$

$\ee^{N/1000}=1+10^{-6}t$

$t=10^6(\ee^{N/1000}-1)$

De esta forma, para la aldea $A_{1000}$, que se aleja de $A_0$ a la misma velocidad a la que avanza el musgo, tenemos que el musgo tarda en llegar un tiempo t igual a:

$t=10^6(\ee^{1000/1000}-1)=10^6( \ee - 1)=1.718.282$

O sea que el musgo alcanza la aldea $A_{1000}$ en 1.718.282 años.

Por otra parte, de la anterior formula se desprende que el musgo puede llegar a cualquier aldea, por lejana que sea, en un tiempo finito.

Sigue en La expansión de las aldeas IV