El 30 de septiembre de 1695 l'Hôpital le preguntó por carta a Leibniz cuánto vale la media derivada de . A simple vista la pregunta es un sinsentido puesto que uno puede derivar una vez, dos veces, tres veces... pero no 0,5 veces. Aunque nuestra intuicion nos dice que es imposible, la verdad es que se puede hacer. Para ello veamos qué pasa al derivar repetidas veces la función :







...

Se puede demostrar que en general:


Usando la siguiente propiedad de la función gamma podemos escribir:


Esta expresión nos da una generalización de la derivada usual para funciones de la forma . Si reemplezamos por podemos calcular la derivada por la que preguntaba l'Hôpital en su carta a Leibniz:



Como curiosidad, el primero en llegar hasta aquí fue Euler. Esta es una generalización que tiene las propiedades esperadas. Por ejemplo se puede comprobar que:



En general se define la derivada de Riemann-Liouville como:



Con y es el orden de la derivada de Riemann-Liouville de forma que . Si entonces tenemos la definición de la integral de Riemann-Liouville con . Como tenemos una derivada y una integral en una sola definición a veces al operador se le llama diferintegral de Riemann-Liouville.

Todo esto podría ser un truco matemático sin más importancia pero en realidad se puede aplicar a la física y es muy util. Un ejemplo clásico es el problema de Abel, una generalización del problema de la tautócrona. Consideremos un cuerpo de masa deslizándose por una superfície sin rozamiento por acción de la gravedad. Dada la función de tiempo que tarda el cuerpo en descender por la pendiente hay que encontrar la ecuación de la curva que sigue el cuerpo. Es decir, lo mismo que en el problema de la tautócrona con la diferencia de que el tiempo de descenso depende de la altura inicial. Lo primero de todo es poner el cero donde el cuerpo se para una vez recorrida toda la curva. Así pues el cuerpo desciende desde una altura inicial con una velocidad . Aplicando la conservación de la energía:









Integrando ambos miembros de la igualdad podemos obtener el tiempo de descenso:



Abel se dio cuenta de que la anterior ecuación se puede reescribir en términos de la derivada de Riemann-Liouville. Podemos aplicar la definición tomando , , , y como función :






Usamos la siguiente propiedad:


Teniendo en cuenta que :



Integrando en ambos miembros de la igualdad:



Y como :



Con esto queda concluído el problema. El tema de las derivadas e integrales fraccionales tiene muchas aplicaciones en física. Por ejemplo la mecánica de Newton se puede generalizar y describe los fenómenos clásicos (tiro parabólico, movimiento armónico simple...) a partir de casos particulares de ecuaciones con derivadas fraccionales.