Ver canal RSS

Alriga

Imposibilidad de la creación de pares electrón – positrón en el vacío

Calificación: 8 votos, 5,00 de media.
Si un fotón gamma posee una energía superior a 1022 keV puede desintegrarse creando un par electrón – positrón, puesto que la masa mínima necesaria para crear a cada uno de ellos es de 511 keV. La carga eléctrica se conserva puesto que electrón y positrón tienen exactamente la misma, siendo la del electrón negativa y la del positrón positiva.

 \gamma \ \rightarrow \ e^{-} \ + \ e^{+}

Este mecanismo de producción de pares, que es la vía dominante de interacción de los fotones individuales de muy alta energía con la materia no puede darse en ausencia de ésta, pues como se va a demostrar a continuación, es imposible que en el vacío en una transformación como la descrita se conserven simultáneamente la energía y el momento lineal. (Tanto para la energía como para la cantidad de movimiento se van a utilizar las expresiones generales que proporciona la Relatividad Especial)

Para la demostración se va a usar el método del contrarrecíproco es decir, se va a demostrar que si se aceptan como premisas iniciales que la reacción tiene lugar en el vacío, conservándose energía y cantidad de movimiento, el desarrollo conduce a una contradicción.

Nombre:  Dibujo Pares.jpg
Vistas: 1765
Tamaño: 16,3 KB

ESTADO INICIAL

Fotón en el vacío que vamos a suponer que se desplaza en el eje x hacia la derecha

-Momento lineal inicial

Fotón: \vec p_f=\dfrac{h \ \nu}{c} \ \vec i

-Energía inicial

Fotón: E_f= h \ \nu


ESTADO FINAL.

El fotón ha desaparecido completamente creando:

-un electrón (1), que se desplaza en una dirección que forma un ángulo 0 \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2} hacia arriba con respecto del eje x.
-y un positrón (2), que se desplaza en una dirección que forma un ángulo 0 \leq \phi \leq \dfrac{\pi}{2} hacia abajo con respecto del eje x

-Momento lineal final

Electrón: \vec p_1=p_1 \cos \theta \ \vec  i + p_1 \sin \theta \ \vec  j

Positrón: \vec p_2=p_2 \cos \phi \ \vec  i - p_2 \sin \phi \ \vec  j

p_1 \ y \ p_2 son respectivamente los módulos de los momentos lineales del electrón y del positrón.

-Energía final

Electrón: E_1=\sqrt{m^2 c^4 + p_1^2 c^2}

Positrón: E_2=\sqrt{m^2 c^4 + p_2^2 c^2}


CONSERVACION DEL MOMENTO LINEAL

\vec p_f = \vec p_1 + \vec p_2

\dfrac{h \ \nu}{c} = p_1 \cos \theta + p_2 \cos \phi

0 = p_1 \sin \theta - p_2 \sin \phi

Tal como se han definido, los ángulos \theta y \phi están entre 0 y 90º y por lo tanto sus cosenos serán positivos y estarán comprendidos entre 0 y 1. Ello permite deducir a partir de la ecuación (2) la siguiente desigualdad:

\boxed{\dfrac{h \ \nu}{c} \ \leq \ p_1 + p_2}

(Obsérvese que  p_1 \cos \theta +  p_2 \cos \phi \ \leq \ p_1 + p_2 es sólo la expresión de algo tan conocido como la desigualdad triangular, que afirma que la suma de módulos es mayor o igual que el módulo de la suma)

CONSERVACION DE LA ENERGIA

h \ \nu = E_1 + E_2

(h \ \nu)^2 = (E_1 + E_2)^2 = E_1^2 + E_2^2 + 2 E_1 E_2 = 2m^2c^4+p_1^2c^2+p_2^2c^2+2E_1E_2

\left (\dfrac{h \ \nu}{c}\right )^2 = p_1^2 + p_2^2 + 2 m^2c^2 + \dfrac{2E_1 E_2}{c^2}

\left (\dfrac{h \ \nu}{c}\right )^2 = p_1^2 + p_2^2 + 2 m^2c^2 + \dfrac{2}{c^2}\sqrt{(m^2c^4+p_1^...

\left (\dfrac{h \ \nu}{c}\right )^2 = p_1^2 + p_2^2 + 2 m^2c^2 + 2\sqrt{p_1^2 p_2^2+p_1^2 m^2 c^2...

En esta igualdad todos los sumandos del interior del radicando son no negativos con m^4c^4 mayor que cero, como también lo es 2 m^2 c^2 lo que nos permite deducir rigurosamente la siguiente desigualdad estricta:

\left (\dfrac{h \ \nu}{c}\right )^2 > p_1^2 + p_2^2 + 2 m^2c^2 + 2\sqrt{p_1^2 p_2^2}

\left (\dfrac{h \ \nu}{c}\right )^2 > p_1^2 + p_2^2 + 2 \ p_1 \ p_2 = (p_1 + p_2)^2

Y finalmente, como todos los términos son positivos:

\boxed{\dfrac{h \ \nu}{c} > p_1 + p_2}

Las expresiones (4) y (5) expresan una contradicción matemática, lo que permite afirmar que es imposible que un fotón gamma, (aunque posea la suficiente energía), pueda crear en el vacío un par electrón – positrón respetando todas la leyes de conservación que se le aplican.

Evidentemente la misma demostración es aplicable para cualquier otro par partícula-antipartícula, por ejemplo pares protón-antiprotón. Solo hay que adjudicar a la masa "m" el valor correspondiente: 511 keV para electrones, 938 MeV para protones,...

Como resumen: La creación de pares reales partícula - antipartícula a partir de un fotón en el vacío es un acontecimiento que no sucede en la Naturaleza. La formación de pares a partir de fotones individuales solo puede acontecer en presencia de materia, cuya intervención es imprescindible para permitir la conservación simultánea de la Energía y de la Cantidad de Movimiento.

Título en inglés: Proof that pair production is not possible in vacuum. (Proof that pair production is not possible in empty space)

En el ámbito del estudio de las interacciones de la radiación con la materia, una vía argumental muy similar a ésta se utilizó aquí ( Interacción fotón – electrón ) para demostrar que los electrones libres no pueden absorber fotones.

Enviar "Imposibilidad de la creación de pares electrón – positrón en el vacío" a del.icio.us Enviar "Imposibilidad de la creación de pares electrón – positrón en el vacío" a Google Enviar "Imposibilidad de la creación de pares electrón – positrón en el vacío" a Yahoo! Enviar "Imposibilidad de la creación de pares electrón – positrón en el vacío" a Digg Enviar "Imposibilidad de la creación de pares electrón – positrón en el vacío" a Diigo Enviar "Imposibilidad de la creación de pares electrón – positrón en el vacío" a StumbleUpon Enviar "Imposibilidad de la creación de pares electrón – positrón en el vacío" a Gennio Enviar "Imposibilidad de la creación de pares electrón – positrón en el vacío" a Menéame

Comentarios

  1. Avatar de justinux
    Hola Alriga,
    Muy interesante… si no me equivoco has demostrado que, cinemáticamente, es imposible crear un par electrón-positrón a partir de un fotón, cierto? la demostración es rigurosa. Pero mi pregunta es la siguiente. Por qué afirmas que eso implica que no es posible la creación de pares en ausencia de materia? Estoy pensando en la posibilidad de crear pares a partir de 2 fotones, por ejemplo. Al considerar dispersión de dos fotones aumenta el número de grados de libertad y en principio podría ocurrir (cinemáticamente hablando) la creación de pares. Si eso es así, se habrían creado pares a partir de solo radiación. Entiendo que para afirmar lo contrario se tendría que probar que cinematicamente no es posible crear pares a partir de un número arbitrario de fotones.
    Saludos
  2. Avatar de pod
    Justinux, Alriga está diciendo lo mismo que tú. Dice: "solo puede acontecer en presencia de materia". Ese sólo debe interpretarse como "únicamente en presencia de materia", no como que en presencia de materia no sea posible.
  3. Avatar de Alriga
    justinux, pod, muchas gracias por vuestro interés. En efecto la frase que dice pod entiendo que es correcta, porque se sobreentiende que acabo de decir "a partir de un único fotón"

    Pero creo que justinux se refiere a la última frase en la que digo "en el vacío la única vía posible de interacción de la radiación con la materia es el Efecto Compton"
    Al decir radiación estoy admitiendo que pueda haber varios fotones que pueden interaccionar entre si, y yo he realizado la demostración para un único fotón.
    Entonces entiendo que justinux tiene razón, y que esa última frase sobraría, pues no he demostrado que 2 o más fotones no puedan interaccionar entre ellos en el vacío creando pares. Y además la interacción fotón-fotón en el vacío para crear un par sucede realmente, por lo que he editado el post para mejorar la redacción de ese punto.

    Gracias de nuevo y saludos
    Actualizado 02/05/2016 a las 16:17:24 por Alriga
  4. Avatar de Julián
    Entonces entiendo que justinux tiene razón, y que esa última frase sobraría, pues no he demostrado que 2 o más fotones no puedan interaccionar entre ellos en el vacío creando pares. Y además la interacción fotón-fotón en el vacío para crear un par sucede realmente, por lo que editaré el post para mejorar la redacción de ese punto.
    Me interesaría el desarrollo de la interacción fotón-fotón y la creación de pares electrón-positrón. Ateniendo si es posible la función de distribución de ocurrencia de dicho fenómeno (interacción fotón-fotón).
    Y sería mucho más provecho la interacción fotón-fotón en cristales de cuarzo
  5. Avatar de Richard R Richard
    Excelente articulo Alriga, Felicitaciones!!!

    quisiera comprender si el proceso inverso es posible es decir , si confino un único electrón y lo pongo en presencia de un único positrón en el vacío voy a obtener como resultado de la interacción, un único fotón de 1022 keV, o si serán dos de 511 keV o n de \frac{1022 }{n} keV.

    Es decir esta imposibilitada la creación y así como también la aniquilación de pares en el vacío?
  6. Avatar de Alriga
    Cita Escrito por Richard R Richard
    ... quisiera comprender si el proceso inverso es posible es decir , si confino un único electrón y lo pongo en presencia de un único positrón en el vacío voy a obtener como resultado de la interacción, un único fotón de 1022 keV, o si serán dos de 511 keV o n de \frac{1022 }{n} keV.
    Es decir esta imposibilitada la creación y así como también la aniquilación de pares en el vacío?
    Sí, la aniquilación de un par electrón-positrón en un único fotón también está prohibida.
    Antes de la aniquilación, el momento del par electrón-positrón respecto del centro de masas es nulo. Pero después de la aniquilación el momento de un fotón no puede ser nulo respecto de ningún punto, luego se ve claramente que es imposible. Como mínimo la aniquilación debe producir 2 fotones tales que el momento lineal de uno de ellos compense el del otro. Saludos.
    Actualizado 04/04/2016 a las 10:30:44 por Alriga (Añadir "lineal")
  7. Avatar de Alriga
    Cita Escrito por Julián
    Me interesaría el desarrollo de la interacción fotón-fotón y la creación de pares electrón-positrón. Ateniendo si es posible la función de distribución de ocurrencia de dicho fenómeno (interacción fotón-fotón).
    Y sería mucho más provecho la interacción fotón-fotón en cristales de cuarzo
    Pues lo siento mucho Julián, pero no puedo ayudarte, porque de ese tema no tengo ni idea. Eso según he visto, constituye toda una rama de la Física que se llama gamma - gamma physics, pero solo sé lo que he leído en la Wikipedia Two-photon physics

    Saludos.
  8. Avatar de Fortuna
    Cita Escrito por Alriga
    Sí, la aniquilación de un par electrón-positrón en un único fotón también está prohibida.
    Antes de la aniquilación, el momento del par electrón-positrón respecto del centro de masas es nulo. Pero después de la aniquilación el momento de un fotón no puede ser nulo respecto de ningún punto, luego se ve claramente que es imposible. Como mínimo la aniquilación debe producir 2 fotones tales que el momento lineal de uno de ellos compense el del otro. Saludos.
    Hola Alriga. También se me ha ocurrido ese argumento. Pero me surge una duda. Las direcciones de esos dos fotones están en una línea recta pero con sentidos opuestos, pero hay una indeterminación de la dirección de la recta. ¿Puede ser cualquiera?.

    PD. Veo en la Wikipedia que a bajas energías, el par electrón-positrón genera primero un sistema ligado inestable llamando positronio, que emite un neutrino lo que permite que el par de fotones tenga una ligera desviación sobre los 180º. Pero claro, ahora no me fío mucho porque el esquema ya no es e^+ + e^- \to \gamma + \gamma sino e^+ + e^- \to \gamma + \gamma + \nu

    Saludos.
  9. Avatar de Alriga
    Cita Escrito por Fortuna
    ... me surge una duda. Las direcciones de esos dos fotones están en una línea recta pero con sentidos opuestos, pero hay una indeterminación de la dirección de la recta. ¿Puede ser cualquiera? ...
    Solo habría indeterminación si en el sistema del laboratorio consiguiésemos preparar las trayectorias de ambas partículas, (electrón y positrón), de tal manera que antes de la colisión estuviesen EXACTAMENTE en la misma recta, lo que es físicamente imposible de conseguir.

    En general, la trayectoria del electrón será una línea recta en el espacio y la del positrón otra recta diferente que coincidirán en el punto de colisión con un cierto ángulo. Dos rectas no idénticas con un punto común determinan un único plano en el espacio, luego los dos fotones fruto de la colisión estarán también en ese plano.

    Al estudiar la colisión en el sistema del centro de masa, lo primero que hacemos es situarnos en el plano definido por las trayectorias de las dos partículas incidentes que se observa en el sistema del laboratorio. Ya situados en ese plano, el centro de masa sí ve acercarse a ambas partículas en exactamente la misma recta, pero ya no hay indeterminación, los fotones se generarán en ese mismo plano y saldrán en direcciones perpendiculares a la recta de colisión observada en el sistema de centro de masa.

    Saludos.
    Actualizado 22/04/2017 a las 10:43:31 por Alriga
  10. Avatar de Fortuna
    Gracias, Alriga. Un par de dudas más.

    Cita Escrito por Alriga
    ... luego los dos fotones fruto de la colisión estarán también en ese plano.
    Si no estoy equivocado es debido a la conservación del momento angular, ¿no?.

    Al estudiar la colisión en el sistema del centro de masa, ... los fotones se generarán en ese mismo plano y saldrán en direcciones perpendiculares a la recta de colisión observada en el sistema de centro de masa.
    Saludos.
    Aquí, supongo, la causa debe ser el electromagnetismo, ¿no?. Si fueran bolas de billar rebotarían.

    Gracias por tu tiempo.

    Saludos.
  11. Avatar de Alriga
    Cita Escrito por Fortuna
    ... Si no estoy equivocado es debido a la conservación del momento angular, ¿no? ...
    Sí, así es. Perdona, no había leído bien lo que decías: debido a la conservación del momento LINEAL, (cantidad de movimiento), no momento angular

    Cita Escrito por Fortuna
    ... la causa debe ser el electromagnetismo, ¿no?. Si fueran bolas de billar rebotarían ...
    Sí. La Electrodinámica Cuántica (QED) es la que explica que un electrón y un positrón interaccionan desapareciendo ambos, y dando lugar a una pareja de fotones.

    Saludos.
    Actualizado 24/04/2017 a las 09:53:09 por Alriga (Corregir despiste)

Trackbacks

Trackbacks totales 0
URL de trackback: