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Momentos de inercia

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Momento de Inercia
Cuando nos disponemos a resolver un problema de dinámica o cinemática rotacional, todo parece sencillo hasta que queremos saber cual es el momento de inercia de la figurita del problema con respecto al eje mas complicado que podía pedir el enunciado...

Harto de buscar por internet , me propuse a modo de ayuda memoria, chuleta o apunte, una tabla donde encontrarlos, sin salir de LWDF. Espero les sirva tanto como a mi.

Momento de inercia


El momento de inercia es una magnitud escalar permite medir cuanto se resiste un cuerpo ante un intento de giro, sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro. Permite conocer como actuará de la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas que va ser puesto en rotación, respecto a un eje de giro.

I=\dst\int_Mr^2\dd m

Si la densidad es constante en todo el sólido rígido \rho=\dfrac{M}{V}=\dfrac{\dd M}{\dd V}

entonces podemos escribir

I=\rho\dst\int_Vr^2\dd V

para una definición complementaria pueden consultar http://forum.lawebdefisica.com/blog_callback.php?b=508

Los momentos de inercia de inercia de distribuciones de masa en forma geométrica más utilizados son


Figura Centro de masa
/Extremo
Eje 1 =X Eje 2= Y Eje 3=Z
Masa puntual EXT I=\dfrac{m r_x^2}{12} I=\dfrac{m r_y^2}{12} I=\dfrac{m r_z^2}{12}
Varilla
Nombre:  varilla.png
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CM I=\dfrac{m  L^2}{12} I=\dfrac{m  L^2}{12} 0
Varilla
Nombre:  varilla2.png
Vistas: 173
Tamaño: 2,9 KB
EXT I=\dfrac{m  L^2}{3} I=\dfrac{m  L^2}{3} 0
Disco
Nombre:  circulo.png
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CM I=\dfrac{m  R^2}{4} I=\dfrac{m  R^2}{4} I=\dfrac{m  R^2}{2}
Disco hueco
Nombre:  circulo hueco.png
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Tamaño: 21,3 KB
CM I=\dfrac{m  (R_i^2+R_e^2)}{4} I=\dfrac{m  (R_i^2+R_e^2)}{4} I=\dfrac{m  (R_i^2+R_e^2)}{2}
Anillo delgado
Nombre:  anillo.png
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CM I=\dfrac{m  R^2}{2} I=\dfrac{m  R^2}{2} I=m  R^2
Cilindro macizo

Nombre:  cilCM.png
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CM I=\dfrac{m  R^2}{4}+\dfrac{m  L^2}{12} I=\dfrac{m  R^2}{4}+\dfrac{m  L^2}{12} I=\dfrac{m  R^2}{2}
Cilindro macizo

Nombre:  cil.png
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EXT I=\dfrac{m  R^2}{4}+\dfrac{m  L^2}{3} I=\dfrac{m  R^2}{4}+\dfrac{m  L^2}{3} I=\dfrac{m  R^2}{2}
Cilindro hueco

Nombre:  cilHuCM.png
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CM I=\dfrac{m  (R_i^2+R_e^2)}{4}+\dfrac{m  L^2}{12} I=\dfrac{m  (R_i^2+R_e^2)}{4}+\dfrac{m  L^2}{12} I=\dfrac{m  (R_i^2+R_e^2)}{2}
Cilindro hueco

Nombre:  cil hueco.png
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EXT I=\dfrac{m  (R_i^2+R_e^2)}{4}+\dfrac{m  L^2}{3} I=\dfrac{m  (R_i^2+R_e^2)}{4}+\dfrac{m  L^2}{3} I=\dfrac{m  (R_i^2+R_e^2)}{2}
Cilindro delgado
Nombre:  cildCM.png
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CM I=\dfrac{m  R^2}{2}+\dfrac{m  L^2}{12} I=\dfrac{m  R^2}{2}+\dfrac{m  L^2}{12} I=m  R^2
Cilindro delgado
Nombre:  cildExt.png
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EXT I=\dfrac{m  R^2}{2}+\dfrac{m  L^2}{3} I=\dfrac{m  R^2}{2}+\dfrac{m  L^2}{3} I=m  R^2
Cuadrado
Nombre:  cuadrado.png
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CM I=\dfrac{m  a^2}{12} I=\dfrac{m  a^2}{12} I=\dfrac{m  a^2}{6}
Rectangulo
Lx=a;Ly=b
Nombre:  rectangulo.png
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CM I=\dfrac{m  b^2}{12} I=\dfrac{m  a^2}{12} I=\dfrac{m  (a^2+b^2)}{12}
Varilla cuadrada
Nombre:  varcuCM.png
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CM I=\dfrac{m  a^2}{12}+\dfrac{m  L^2}{12} I=\dfrac{m  a^2}{12}+\dfrac{m  L^2}{12} I=\dfrac{m  a^2}{6}
Varilla cuadrada
Nombre:  varcuEXT.png
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EXT I=\dfrac{m  a^2}{12}+\dfrac{m  L^2}{3} I=\dfrac{m  a^2}{12}+\dfrac{m  L^2}{3} I=\dfrac{m  a^2}{6}
Varilla Cuadrada hueca
Nombre:  vhCM.png
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CM I=\dfrac{m  (a_e^2+L_i^2)}{12}+\dfrac{m  L^2}{12} I=\dfrac{m  (a_e^2+L_i^2)}{12}+\dfrac{m  L^2}{12} I=\dfrac{m  (a_e^2+a_i^2)}{12}
Varilla cuadrada hueca
Nombre:  vhEXT.png
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Tamaño: 12,5 KB
EXT I=\dfrac{m  (a_e^2+a_i^2)}{12}+\dfrac{m  L^2}{3} I=\dfrac{m  (a_e^2+a_i^2)}{12}+\dfrac{m  L^2}{3} I=\dfrac{m  (a_e^2+a_i^2)}{12}
Varilla cuadrada delgada
Nombre:  vdCM.png
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CM I=\dfrac{m  a^2}{6}+\dfrac{m  L^2}{12} I=\dfrac{m  a^2}{6}+\dfrac{m  L^2}{12} I=\dfrac{m  a^2}{6}+\dfrac{m  L^2}{12}
Varilla cuadrada delgada
Nombre:  vdEXT.png
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EXT I=\dfrac{m a^2}{6}+\dfrac{m L^2}{3} I=\dfrac{m a^2}{6}+\dfrac{m L^2}{3} I=\dfrac{m a^2}{6}+\dfrac{m L^2}{12}
Triangulo \perp h
Nombre:  triaCM.png
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CM I=\dfrac{m  h^2}{18}
Triangulo \perp h
Nombre:  triaEXT.png
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EXT I=\dfrac{m  h^2}{6}
Esfera
Nombre:  esfera.png
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CM I=\dfrac{2m  R^2}{5} I=\dfrac{2m  R^2}{5} I=\dfrac{2m  R^2}{5}
Esfera hueca
Nombre:  esfera hue.png
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CM I=\dfrac{2m  R^2}{3} I=\dfrac{2m    R^2}{3} I=\dfrac{2m  R^2}{3}
Cono
Nombre:  cono 2.png
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CM I=\dfrac{3m H^2}{80}+\dfrac{3m R^2}{10} I=\dfrac{3m H^2}{80}+\dfrac{3m R^2}{10} I=\dfrac{3m R^2}{10}
Cono
Nombre:  cono.png
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EXT I=\dfrac{3m H^2}{80} I=\dfrac{3m H^2}{80} I=\dfrac{3m R^2}{10}

Recordando el teorema de Steiner

Si se desea hallar el momento de inercia de una distribución por un eje paralelo que no pasa ni por el centro de masa ni por un de los extremos, se puede recurrir al teorema de Steiner , que nos dará el momento de inercia por la adición de un termino adicional proporcional a la masa del objeto y a la distancia entre ejes de rotación al cuadrado


 I_{eje}=I_{CM}+mR^2

Producto de inercia

El tensor de inercia de un cuerpo rígido, es un tensor simétrico de \mathbb{R}^{3x3} con 6 componentes independientes, los elementos de la diagonal son los momentos de inercia polares con respecto a cada eje coordenado ,para un sistema de referencia cartesiano (x,y,z)




I_{xx}=\dst\iiint_V\rho_{(x,y,z)} (y^2 +z^2)\:\dd x \:\dd y \:\dd z


I_{yy}=\dst\iiint_V\rho_{(x,y,z)}(x^2 +z^2)\dd x\: \dd y \:\dd z


I_{zz}=\dst\iiint_V\rho_{(x,y,z)}(x^2 +y^2)\dd x \:\dd y \:\dd z


y los 3 restantes son los productos de inercia cuya definición analítica es

I_{xy}=I_{yx}=-\dst\iiint_V\rho_{(x,y,z)}\: x \:y \:\dd x \:\dd y \:\dd z


I_{yz}=I_{zy}=-\dst\iiint_V\rho_{(x,y,z)}\: y \: z \:\dd x\: \dd y \:\dd z


I_{zx}=I_{xz}=-\dst\iiint_V\rho_{(x,y,z)}\: z \: x \:\dd x \:\dd y \:\dd z

Por lo que el tensor de inercia queda formado de la siguiente manera

\hat I=\begin{pmatrix} I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end {pmat...

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