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Pescando ideas

Ecuación de estado en la Metrica FLRW con velocidad de la luz variable.

Puntúa este artículo
La idea de hacer esta entrada en el blog me surgió hace un tiempo y mas allá de que pueda ser considerada como contenido seudocientífico (y lo eliminare si es así), en realidad es básicamente la pregunta es si es matemáticamente correcto y consistente , y a la vez físicamente posible que la expansión del universo y la velocidad de la luz fueran variables con el tiempo pero la misma en todo el espacio, de acuerdo a lo hablado en estos hilos

http://forum.lawebdefisica.com/threa...inflaci%C3%B3n

teniendo en cuenta material de referencia de

https://en.wikipedia.org/wiki/Variable_speed_of_light

se me ha ocurrido ver que sucede con las ecuaciones que desarrollo Friedmann en base a la Metrica FLRW

Lo que haré es modificar los supuestos de constancia de la velocidad de la luz en el tiempo, pero siempre conservando la idea de que es constante para todo el universo a la vez y para todo observador en el mismo instante , similar tratamiento ha recibido el parámetro de expansión, y pretendo ver que diferencia hay al aplicar simultáneamente la dependencia de ambos con el tiempo.

He buscado información sobre quien ya haya resuelto el problema, quizá ya hace 100 años pero no encontré nada parecido, puede ser por que partí de conceptos erróneos o por que el planteo lleva a conclusiones que se riñen con la experiencia,. lo cierto que no es nada facil hacerlo desde 0 y he tomado como base lo hecho en mi blog.

http://forum.lawebdefisica.com/entri...s-de-Friedmann

Teniendo en cuenta el Principio Cosmológico y el Postulado de Weyl se puede establecer un ansatz simétrico para la métrica del espacio-tiempo .

\dd s^2= \dd t^2 - S(t)^2g_{ij}\dd x^i \dd x^j

donde g_{ij} es la métrica de  \mathbb{R}^3

de esta manera el tensor de Riemann de esta métrica cumple que

R_{ijkl}=k(g_{il}g_{jk}-g_{ik}g_{jl})

y que el tensor de Ricci sera

R_{ij}=-2kg_{ij}

esto verifica que se cumple la condición de ser un espacio con cantidad máxima de simetrías y con curvatura constante.

Además la isotropía del espacio tiene implicancia en que el ansatz debe contar con simetría esférica.

asi se propone en  \mathbb{R}^3

\dd s^2= e^{2B(r)}\dd r^2+ r^2(\dd \theta^2 + sin^2 \theta \dd\phi^2)

Los símbolos de Christoffel no nulos para este ansatz son



\Gamma^r_{rr}=B' \Gamma^{\theta}_{r\theta}=\Gamma^{\phi}_{r\phi}=\dfrac 1r
\Gamma^{r}_{\theta\theta}=-r e^{-2B} \Gamma^{\theta}_{\phi\phi}=-\sin \theta \cos \theta
\Gamma^{r}_{\phi\phi}=-r sin^2\theta e^{-2B} \Gamma^{\phi}_{\theta\phi}=\cot \theta



con ellos hallamos las componentes no triviales del tensor de Ricci

\left\{\begin{aligned}R_{rr}&=-\dfrac{2B'}{r}\\R_{\theta\theta}&=-1 + e^{-2B} - rB'e^{-2B}\\R_{\p...

De estas ecuaciones se desprende que

\dfrac {B'}{r}= ke^{2B}

y

-e^{-2B}(1-rB')+1=2kr^2

de estas dos se obtiene que

 e^{2B}=\dfrac1{1-kr^2}

reemplazando en el ansatz tenemos que

\dd s^2= \dfrac1{1-kr^2}\dd r^2+ r^2(\dd \theta^2 + sin^2 \theta \dd\phi^2)

que nos da la parte espacial de la métrica FLRW


Obtención de las ecuaciones similares a las de Friedmann a partir de la modificación métrica FLRW


La métrica FLRW se compone en \mathbb{R}^3_1 de una componente temporal y de una espacial proveniente deducción anterior , pero multiplicada por un factor de escala exclusivamente dependiente del tiempo .

\dst{ [g_{uv}]=\begin{bmatrix} -c^2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{a^2}{(1- k r^2)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a...

Y su inversa es

\dst{ [g^{uv}]=\begin{bmatrix}\frac 1{-c^2} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac {(1- k r^2)} {a^2} & 0 & 0 \\...


La primer diferencia a marcar con la métrica FLRW es que ahora a=a(t) y c=c(t)


El primer paso para obtener las ecuaciones consiste en hallar los componentes de la conexión de Levi Civita, osea los símbolos de Christoffel.

Como dato necesitamos calcular las derivadas de las componentes de la métrica con respecto a las coordenadas del sistema de referencia.

Nombramos {0,1,2,3} a la serie de componentes {t,r,\theta,\phi}, las derivadas expresadas en forma matricial son


\dst {\dfrac {\partial_[g_{uv}]}{\partial_t}=\begin{bmatrix} 2c\dot c & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{2a\...

\dst {\dfrac {\partial_[g_{uv}]}{\partial_r}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{ a^2k2r}{(...

\dst {\dfrac {\partial_[g_{uv}]}{\partial_\theta}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \...

\dst {\dfrac {\partial_[g_{uv}]}{\partial_\phi}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ ...

El cálculo de los símbolos de Christoffel se hace mediante la fórmula

\Gamma_{ij}^m=\dfrac12 g^{km}\left (\partial_i g_{jk}+\partial_j g_{ik}-\partial_k g_{ij} \right )

Ej

\Gamma_{12}^0=\dfrac12 g^{k0}\left (\partial_2 g_{2k}+\partial_2 g_{1k}-\partial_k g_{12} \right )=

\Gamma_{12}^0=\dfrac12 g^{00}\left (\partial_2 g_{20}+(\partial_2 g_{10}-(\partial_0 g_{12} \righ...
\dfrac12 g^{10}\left (\partial_2 g_{21}+(\partial_2 g_{11}-(\partial_1 g_{12} \right )+\dfrac12 g^{20}\left (\partial_2 g_{22}+(\partial_2 g_{12}-(\partial_2 g_{12} \right )+\dfrac12 g^{30}\left (\partial_2 g_{23}+(\partial_2 g_{13}-(\partial_3 g_{12} \right )

de donde

\Gamma_{12}^0=0

Los resultados no triviales del total de los 64 símbolos de Christoffel son....


\dst\Gamma^0_{00}={\dot cc \over  {c^2}} \dst\Gamma^1_{10}={\dot a\over {a} \dst\Gamma^2_{12}={1\over {r} \dst\Gamma^3_{13}={1\over {r}
\dst\Gamma^0_{11}={a\dot  a\over {{{c^2{1-kr^2}}} \dst\Gamma^1_{11}={kr\over  {{1-kr^2}} \dst\Gamma^2_{20}={\dot a\over  {a} \dst\Gamma^3_{23}={\cos\theta \over  {\sin\theta }
\dst\Gamma^0_{22}={a\dot  ar^2\over {{c^2}} \dst\Gamma^1_{22}={-r(1-kr^2)} \dst\Gamma^2_{21}={1\over {r} \dst\Gamma^3_{30}={\dot a\over  {a}
\dst\Gamma^0_{33}={a\dot  ar^2\sin^2\theta \over {{c^2}} \dst\Gamma^1_{33}={-(1-kr^2)r\sin^2\theta  } \dst\Gamma^2_{33}={-\sin\theta  \cos\theta } \dst\Gamma^3_{31}={1\over {r}
\dst\Gamma^1_{01}={\dot  a\over {a} \dst\Gamma^2_{02}={\dot a\over  {a} \dst\Gamma^3_{03}={\dot a\over  {a} \dst\Gamma^3_{32}={\cos\theta \over  {\sin\theta }




Luego tenemos que obtener la derivada parcial de cada uno de los símbolos de Christoffel con respecto a cada componente del sistema de referencia, las no triviales son

\partial 0 \partial 1 \partial 2 \partial 3
\Gamma^0_{00}=\dfrac{c'c}{c^2} c"c+c'^2
\Gamma^0_{11}=\dfrac{aa'}{((c^2(1-kr^2))} \dfrac{(a'^2+a"a)c^2-2a'ac'c}{c^4(1-kr^2)} \dfrac{aa'2kr}{c^2(1-kr^2)^2}
\Gamma^0_{22}=\dfrac{aa'r^2}{c^2} \dfrac{(a'^2+a"a)c^2-2a'ac'c)r^2}{c^4} \dfrac{aa'2r}{c^2}
\Gamma^0_{33}=\dfrac{aa'r^2\sin^2\theta }{c^2} \dfrac{((a'^2+a"a)c^2-2a'ac'c)r^2\sin^2\theta }{c^2} \dfrac{aa'2r\sin^2\theta }{c^2} \dfrac{aa'r^2\sin\theta \cos\theta }{c^2}
\Gamma^1_{01}=\dfrac {a'}{a} \dfrac{a"}{a}-\dfrac{a'^2}{a^2}
\Gamma^1_{10}=\dfrac {a'}{a} \dfrac{a"}{a}-\dfrac{a'^2}{a^2}
\Gamma^1_{11}=\dfrac{kr}{1-kr^2} \dfrac{2k^2r^2}{(1-k r^2)^2}+\dfrac{k}{1-kr^2}
\Gamma^1_{22}=-r(1-kr^2) 3kr^2-1
\Gamma^1_{33}= '-(1-kr^2)r\sin^2\theta  (3kr^2-1)\sin^2\theta -(1-kr^2)2r\sin\theta \cos\theta
\Gamma^2_{02}=\dfrac {a'}{a} \dfrac{a"}{a}-\dfrac{a'^2}{a^2}
\Gamma^2_{12}=\dfrac {1}{r} \dfrac{-1}{r^2}
\Gamma^2_{20}=\dfrac {a'}{a} \dfrac{a"}{a}-\dfrac{a'^2}{a^2}
\Gamma^2_{21}=\dfrac {1}{r} \dfrac{-1}{r^2}
\Gamma^2_{33}=-\sin\theta \cos\theta {\sin^2\theta -\cos^2\theta }
\Gamma^3_{03}=\dfrac {a'}{a} \dfrac{a"}{a}-\dfrac{a'^2}{a^2}
\Gamma^3_{13}=\dfrac {1}{r} \dfrac{-1}{r^2}
\Gamma^3_{23}=\dfrac{\cos\theta }{\sin\theta } \dfrac{-1}{\sin^2\theta }
\Gamma^3_{30}=\dfrac {a'}{a} \dfrac{a"}{a}-\dfrac{a'^2}{a^2}
\Gamma^3_{31}=\dfrac {1}{r} \dfrac{-1}{r^2}
\Gamma^3_{32}=\dfrac{\cos\theta }{\sin\theta } \dfrac{-1}{\sin^2\theta }





Así con la siguiente fórmula calculamos cada de las 256 componentes del tensor de Riemann

 R_{ijl}^{k}=\partial_i \Gamma^k_{jl}-\partial_j\Gamma^k_{il}+\Gamma^k_{im} \Gamma^m_{jl}- \Gamma...

Los resultados no triviales son:


\dst R_{110}^0=-\dfrac{ \ddot a}{ a }+\dfrac{ \dot a\dot cc}{ ac^2} \dst R_{003}^3=\dfrac{(\ddot aac^2-\dot aa\dot cc)r^2\sin^2\theta } { c^4} \dst R_{313}^1=\dfrac{ -(\dot a^2+kc^2)r^2\sin^2\theta }{ c^2} \dst R_{223}^3=\dfrac{ (\dot a^2+kc^2)r^2\sin^2\theta }{ c^2}
\dst R_{220}^0=-\dfrac{ \ddot a}{ a }+\dfrac{ \dot a\dot cc}{ ac^2} \dst R_{303}^0=-\dfrac{(\ddot aac^2-\dot aa\dot cc)r^2\sin^2\theta } { c^4} \dst R_{323}^2=\dfrac{ -(\dot a^2+kc^2)r^2\sin^2\theta }{ c^2} \dst R_{303}^1=\dfrac{ a\dot ar^2\sin\theta \cos\theta }{ c^2}
\dst R_{330}^0=-\dfrac{ \ddot a}{ a }+\dfrac{ \dot a\dot cc}{ ac^2} \dst R_{121}^2=\dfrac{-(\dot a^2+kc^2)} {c^2(1-kr^2)} \dst R_{010}^1=\dfrac{\ddot a} { a }-\dfrac{\dot a\dot cc} { ac^2} \dst R_{303}^2=\dfrac{ a\dot ar^2\sin\theta \cos\theta }{ c^2}
\dst R_{101}^0=\dfrac{ -\ddot aac^2+\dot aa\dot cc}{ (1-kr^2)c^4} \dst R_{131}^3=\dfrac{-(\dot a^2+kc^2)} { c^2(1-kr^2)} \dst R_{020}^2=\dfrac{\ddot a} { a }-\dfrac{\dot a\dot cc} { ac^2} \dst R_{203}^3=\dfrac{- a\dot ar^2\sin\theta \cos\theta }{ c^2}
\dst R_{001}^1=\dfrac{ \ddot aac^2-\dot aa\dot cc} {(1-kr^2) c^4} \dst R_{332}^2=\dfrac{(\dot a^2+kc^2)r^2} { c^2} \dst R_{030}^3=\dfrac{\ddot a} { a }-\dfrac{\dot a\dot cc} { ac^2} \dst R_{113}^3=(kr^2\sin^2\theta ) -\dfrac{ \dot a^2r^2\sin^2\theta }{ c^2}
\dst R_{002}^2=\dfrac{(\ddot aac^2-\dot aa\dot cc)r^2}{ c^4} \dst R_{212}^1=\dfrac{-(\dot a^2+kc^2)r^2} { c^2} \dst R_{221}^1=\dfrac{(\dot a^2+kc^2)} { c^2(1-kr^2)} \dst R_{112}^2=kr^2-\dfrac{ \dot a^2r^2}{ c^2}
\dst R_{202}^0=-\dfrac{(\ddot aac^2-\dot aa\dot cc)r^2}{ c^4} \dst R_{232}^3=\dfrac{-(\dot a^2+kc^2)r^2} { c^2} \dst R_{331}^1=\dfrac{(\dot a^2+kc^2)} { c^2(1-kr^2)}






Para aplicar las ecuaciones de Einstein y obtener las ecuaciones de Friedmann debe calcularse el Tensor de Ricci y el Escalar de Ricci

El tensor de Ricci surge de la contracción del tensor de Riemann, en su índice superior y el segundo inferior


 R_{ij}=R^m_{imj}= R^0_{i0j}+ R^1_{i1j}+ R^2_{i2j}+ R^3_{i3j}


Así sus componentes quedan


R_{00}=\dfrac{3\ddot a}{a}-\dfrac{3a'c'c}{ac^2} R_{10}=0 R_{20}=0 R_{30}=0
R_{01}=0 R_{11}=-\dfrac{a"ac^2-a'ac'c + 2a'^2c^2+2kc^4}{c^4(1-kr^2)} R_{21}=0 R_{31}=0
R_{02}=0 R_{12}=0 R_{22}=-\dfrac{(a"ac^2-a'ac'c + 2a'^2c^2+2kc^4)r^2}{c^4} R_{32}=0
R_{03}=0 R_{13}=0 R_{23}=0 R_{33}=-\dfrac{(a"ac^2-a'ac'c + 2a'^2c^2+2kc^4)r^2\sin^2\theta}{c^4}



Luego el escalar surge de contraer los dos indices restantes pero como son ambos inferior no se puede hacer sumación directa , se lo debe multiplicar por la matriz inversa de la métrica para obtener la contracción.

de aquí simplificando se obtiene

R=-\dfrac 6{a^2c^2}( \ddot aa-\:a\dfrac{\dot{a}\dot{c}}{c}+ \:\dot{a}^2 +\: kc^2)





El tensor de energía momento


 \dst{[T]=\begin{bmatrix} -\delta c^2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & p & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p & 0 \\ 0 & 0 & 0 &...


Así escrito esta en función del las coordenadas (t,x,y,z) para llevarlo a las coordenadas polares debemos multiplicar este tensor por su matriz de transformación [M^{-1}]^2=[g^{uv}]

Entonces el tensor en coordenadas polares queda

 \dst{[{T}']=\begin{bmatrix} + \delta c^4 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac {pa^2}{1-kr^2} & 0 & 0 \\ 0 & 0...





Utilizando la ecuación de Einstein

 R_{ij} - \dfrac 12 g_{ij} R+ \Lambda g_{ij} = \dfrac {8\pi G}{c^4} {T}'_{ij}

Obtenemos 16 ecuaciones de las cuales 12 son triviales, del las 4 restantes tres son similares osea a base de simplificaciones de una se obtienen exactamente las otras y otra diferente.

Asi las no triviales son

 R_{00} - \dfrac 12 g_{00} R+ \Lambda g_{00} = \dfrac {8\pi G}{c^4} {T}'_{00}

 R_{11} - \dfrac 12 g_{11} R+ \Lambda g_{11} =\dfrac {8\pi G}{c^4} {T}'_{11}

 R_{22} - \dfrac 12 g_{22} R+ \Lambda g_{22} = \dfrac {8\pi G}{c^4} {T}'_{22}

 R_{33} - \dfrac 12 g_{33} R+ \Lambda g_{33} = \dfrac {8\pi G}{c^4} {T}'_{33}

reemplazando

 \dfrac{3\ddot a}{a}-3\dfrac{\dot a\dot c c}{ac^2}-\dfrac 12 (-\dfrac 6{a^2c^2}( \ddot aa-\:a\dfr...

 -\dfrac{\ddot a ac^2-\dot a\dot c c + 2\dot a^2c^2+2kc^4}{c^4(1-kr^2)}- \dfrac 12 \frac{a^2}{1- ...+\Lambda \dfrac{a^2}{1- k r^2}= \dfrac {8\pi Ga^2p}{c^4(1- k r^2)}}

 -\dfrac{\ddot a ac^2-\dot a a\dot c c + 2\dot a^2c^2+2kc^4)r^2}{c^4}- \dfrac 12 a^2r^2 \cdot (-\...\dfrac {8\pi Ga^2p}{c^4}r^2}

 -\dfrac{\ddot a ac^2-\dot a a \dot c c + 2\dot a^2c^2+2kc^4}{c^4}r^2\ sin^2 \theta- \dfrac 12 & ...\Lambda & a^2 \right) r^2 \sin^2 \theta = \dfrac {8\pi Ga^2p}{c^4}r^2\ sin^2 \theta}



tal como sucede con las ecuaciones de Friedman se puede observar que las ecuaciones 2a, 2b y 2c determinan la misma relación de variables y debido a ello son solo dos las ecuaciones independientes se desprenden de este trabajo mediante la simplificación de las ecuaciones 1 y cualesquiera de las 2a , 2b, y 2c

\dfrac{3\ddot a}{a}-3\dfrac{\dot a\dot c c}{ac^2}- (\dfrac 3{a^2}( \ddot aa-\:a\dfrac{\dot{a}\dot...

\cancel{\dfrac{3\ddot a}{a}}-\cancel{\dfrac{\dot a\dot c  c}{ac^{ 2}}}-\cancel{\dfrac {3 \ddot a}...

-8\:\pi\:G\:\delta = 3 \dfrac{\dot{a}^2}{a^2} + 3 \dfrac {k\:c^2}{a^2} \cancel{\mathbf{+4 \dfrac{...

\boxed{-8\:\pi\:G\:\delta = 3 \dfrac{\dot{a}^2}{a^2} + 3 \dfrac {k\:c^2}{a^2} + \Lambda c^2}

 -\dfrac{\ddot a ac^2-\dot a a\dot c c + 2\dot a^2c^2+2kc^4}{c^4}- \dfrac 12 a^2 \cdot (-\dfrac 6...


 \ddot a ac^2-\dot a a\dot c c + 2\dot a^2c^2+2kc^4- 3 c^2( \ddot aa-\:a\dfrac{\dot{a}\dot{c}}{c}...

 \ddot a ac^2-\dot a a\dot c c + 2\dot a^2c^2+2kc^4- 3 \ddot aac^2- 3 \dot a a\dot c c - 3 c^2\do...

\boxed{\dfrac{8\:\pi\:G\:p}{c^2} = 2 \dfrac{\ddot{a}}{a}\mathbf{- 2 \dfrac{\dot a \dot c}{ac}}+\d...



solo los términos marcados en negrita son los adicionales a las ecuaciones de Friedmann.

El tema pasa ahora por darle una interpretación física a \dfrac{\dot a \dot c}{ac}

Si lo consideran seudocientífico pues no esta probado, lo entiendo aunque es solo un planteo matemático, y eliminare la publicación, reitero solo quiero ver las consecuencias y cuanto se complican las ecuaciones de Friedmann al no tener la velocidad de la luz como constante en el tiempo , pero si idéntica para todo el espacio en un mismo tiempo.

La simpleza me hace reflexionar sobre si me equivoco en el concepto, pues si

a=f(t) y c=g(t) \exists H \setminus a=H(c) entonces \dfrac{\dot a \dot c}{ac} puede escribirse en función de c solamente....


Si han llegado ha leer hasta aquí ya estoy eternamente agradecido, y espero que les resulte interesante tanto como a mí . Gracias anticipadas por sus sugerencias, comentarios y opiniones.

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Comentarios

  1. Avatar de Alriga
    Hola Richard, acabo de ver que hay un gazapo disléxico en el título, y otras 3 veces más en el texto: dice "FRLW" cuando la métrica es formalmente conocida como "FLRW" Fridman-Lemaitre-Robertson-Walker

    Saludos.
  2. Avatar de Richard R Richard
    Muchas Garcias copie y pegue, copie y pegue....
  3. Avatar de Richard R Richard
    Gracias por vuestras colaboraciones en el hilo http://forum.lawebdefisica.com/threa...ensor-de-Ricci

    de alli pude ver

    -la omision de un numero 3 en la presentacion de la formula del tensor de Ricci
    -un signo errado en el calculo del escalar de Ricci
    - luego las derivaciones de estos errores, hicieron que la primer ecuación de friedman, sea independiente de la variacion de la velocidad de la luz con el tiempo, como apunto FVPI
    -la segunda formula se ve alterada en un cambio de signos sobre el factor\dfrac{2\dot a \dot c}{ac}

    Lo que me deja tranquilo, mas allá de los errores calculo, es que la idea sobrevive, es posible acomodar este modelo cosmologico, a las nuevas teorías, o mas bien dicho esas teorías no contradicen a la TRG.

    Saludos

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