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Pescando ideas

Como se usan las transformaciones de Lorentz

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A lo largo del tiempo en la participación en el foro de LWDF, varias veces he visto como algunos de los estudiantes que ingresan pidiendo ayuda sobre relatividad especial porque a la hora de resolver problemas aplicando las transformaciones de Lorentz, caen en errores de interpretación y no llegan a buen puerto ni con los resultados ni con el entendimiento de lo que las transformaciones implican.

Comencemos por lo básico , algunas definiciones escuetas

Sistemas de referencia

En relatividad especial se utilizan sistemas de referencia inerciales y debido al segundo postulado de la relatividad, ningún sistema de referencia es mejor que otro para realizar mediciones de espacio y de tiempo, de esto se concluye que todos los posibles sistema de referencia ausar se mueven unos con respecto a otro con velocidad relativa vconstante y siempre inferiores a la velocidad de la Luz c . Las transformaciones de Lorentz permiten calcular las mediciones que se harían en otro sistema de referencia basándose en las mediciones del propio sistema de referencia y viceversa.

Evento

Voy a llamar suceso o evento a toda acción o interacción factible de ser representada su posición espacial y temporal, ej.emisión de fotones, lanzamiento de una bola, parte un cohete, termina un viaje un gemelo ,etc.

Simultaneidad

Dos eventos son simultáneos cuando suceden al mismo tiempo en ese sistema dereferencia.

Aquí es donde vienen el 99% de los problemas delos estudiantes, y donde también tuve mi mayor dificultad en su momento.


Un problema tipo.

En general los problemas para transformar mediciones de un sistema de referencia a otro abordan la temática de medir y registrar la posición y tiempo de uno varios sucesos por parte de un observador que se mueve a velocidad relativista de otro, que aparenta estar en"reposo". Pero siempre surge la dificultad en visualizar cuáles son esas distancias y tiempos y cómo registrarlas

Planteemos la necesidad de calcular cuáles serán las distancias y tiempos de los eventos de emisión de un pulso de luz en C y en D para un observador A que a propósito no he situado en el origen de coordenadas del sistema de referencias S, en base a las mediciones hechas por un observador B que está en reposo con C , con D y con el origen de coordenadas de su sistema de referencia M que se mueve con respecto a S con velocidad relativa v. Como dato adicional vamos a suponer que los eventos C y D son simultáneos para el sistema de referencia móvil M.


Nombre:  LORENTZ.png
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Calculando Distancias y tiempos para B

El problema lo planteo en dos dimensiones solo para simplificar los gráficos y calculo, y es similar la resolución en tres dimensiones


El principal inconveniente que tienen los estudiantes es identificar cual es el suceso que hay que registrar para poder hacer las transformaciones de Lorentz... entendiendo del enunciado, que lo que pretende A es conocer cuando y donde han sucedido los eventos C y D , por ello lo primero que debemos hacer en base a los datos del problema que son las posiciones con respecto al observador B es determinar si esas medidas son las mismas para un observador en el origen del sistema de referencia M.

Posición: Tenemos como dato, la posición relativa del observador B con respecto a los eventos C y D

la distancia entre B y C y entre B y D


d_{BC}=||\vec X_{BC}||=||\vec X_{CM}-\vec X_{BM}||

d_{BD}=||\vec X_{BD}||=||\vec X_{DM}-\vec X_{BM}||

Aquí es donde siempre se equivocan esta no es la distancia al origen del sistema de referencia, solo es la distancia a un observador fuera el origen.

La distancia será entonces una suma vectorial de la posición relativa del observador y la posición del evento con respecto al observador


d_{CM}=||\vec X_{BM}+\vec X_{BC}||=||\vec X_{CM}||

d_{DM}=||\vec X_{BM}+\vec X_{BD}||=||\vec X_{DM}||

Parece de perogrullo pero no siempre es dato la posición con respecto al sistema de referencia.

Tiempo

Aquí también sucede que el tiempo a registrar en el sistema de referencia no es exactamente el que toma B , si bien al estar en reposo con M sus relojes marchan sincronizados, en la mayoría de los problemas que abarcan grandes distancias, este tiempo es grande ya que las señales viajan mucho tiempo a grandes velocidades, estos efectos en la vida cotidiana los despreciamos ya que la velocidad de la luz es muy grande , con respectos a las velocidades de la mayoría de los transportes humanos.

En definitiva lo que se debe hacer es suprimir del cálculo el tiempo entre la emisión y la recepción de las imágenes de los eventos y registrar el tiempo en que ocurrió. Esos tiempos son por lo general los cocientes de las distancias y la velocidad de la Luz. Pero como vimos la posición de B es arbitraria y suministra datos parciales.


t_{CM}=\dfrac{d_{CM}}{c}=\dfrac{||\vec X_{CM}||}{c}

También hay que observar que en muy pocos caso es posible hacer una suma de tiempo directa ya que se cumple la desigualdad triangular

||\vec X_{CM}||=||\vec X_{BM}+\vec X_{CB}||\leqslant||\vec X_{BM}||+||\vec X_{CB}||

que obliga a

t_{CM}\leqslant t_{BM}+t_{CB}


t_{DM}\leqslant t_{BM}+t_{DB}

dado a que dijimos los eventos son simultáneos , sabemos que si salieran rayos de luz cuando los eventos se producen un observador simétricamente colocado los recibiría al mismo tiempo, bueno, pero por lo general el origen de coordenadas no está simétricamente centrado, y recibirá esos rayos de luz en diferentes momentos, pero aun así los eventos son simultáneos, porque suceden en el mismo instante en el sistema de referencia, y por lo general se tiene la tendencia de pensar que un observador en el origen, deberá recibir los rayos al mismo instante para que sean simultáneos los eventos, lo cual es falso, no interesa la recepción sino la emisión es decir cuando sucedió el evento y no cuando lo ve algún observador en una u otra posición.


Así dado su tiempo de emisión t_o los tiempos de recepción en M serán

t_{CM}=t_o+\dfrac{||\vec X_{BM}+\vec X_{CB}||}{c}


t_{DM}=t_o+\dfrac{||\vec X_{BM}+\vec X_{DB}||}{c}

Ahora bien, a la inversa, estos dos valores pueden ser también brindados como dato para determinar si son simultáneos obteniendo como valor de tiempo de emisión t_o tanto para C como para D.

Las transformaciones de un sistema la otro.

Las transformaciones de Lorentz basan su cálculo en la relación entre coordenadas de dos sistemas de referencias que fueron sincronizados en espacio y tiempo en un único punto

\vec X_{0S}=\vec X_{0M}=\vec {0} \Leftrightarrow t_{0S}=t_{0M}=0

Que datos usaremos, sabemos que el evento D sucedió en la posición \vec X_{CM} a tiempo t_o y que D sucedió en \vec X_{DM} también a tiempo t_o

Así escribimos las ecuaciones que relacionan los sistemas de referencia de M con el S , hay que recordar que la transformación aplica solo en la dirección de la velocidad, v, como aquí le hemos dado a la velocidad componente en la dirección x solo la transformación se da en esa dirección y no en y.

para C


x_{CS}=\gamma\left ( x_{CM}-vt_o\right )

y_{CS}=y_{CM}

t_{CS}=\gamma\left ( t_o-\dfrac{v\cdot x_{CM}}{c^2}\right )

y para D


x_{DS}=\gamma\left ( x_{DM}-vt_o\right )

y_{DS}=y_{DM}

t_{DS}=\gamma\left ( t_o-\dfrac{v\cdot x_{DM}}{c^2}\right )

Luego armamos el vector posición nuevamente


\vec X_{CS}=(x_{CS},y_{CS})

\vec X_{DS}=(x_{DS},y_{DS})

Como vimos antes los tiempos del observador A no tienen por qué ser los mismos que el sistema de referencia S.

Calculando distancias y tiempos para A

El observador en A sabe ahora la posición y el tiempo en que C y D emitieron en su sistema de referencia, muy sencillo es conocer en qué momento en su posición observa las señales

Posición


\vec X_{CA}=\vec X_{CS}-\vec X_{AS}

\vec X_{DA}=\vec X_{DS}-\vec X_{AS}

Tiempo


t_{CA}=\dfrac{||\vec X_{CS}-\vec X_{AS}||}{c}

t_{DA}=\dfrac{||\vec X_{DS}-\vec X_{AS}||}{c}

Con esto puede verse que t_{CS}\neq t_{DS} por lo que los eventos no son simultáneos, pero que dependiendo de la posición de A se puede lograr t_{CA}= t_{DA} y aun así los eventos no son simultáneos.

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Actualizado 15/04/2018 a las 02:13:27 por Richard R Richard

Categorías
La web de Física , Física , Relatividad especial

Comentarios

  1. Avatar de Alriga
    Me ha encantado leerlo, gracias por compartirlo \mathbb{R}^3
    Saludos.
  2. Avatar de Fortuna
    Magnífico.

    Sólo indicar que cuando dices

    "Como dato adicional vamos a suponer que los eventos C y D son simultáneos."
    No entiendo para qué observador ocurre eso.

    Ahh, vale luego lo dices
    "Que datos usaremos?, sabemos que el evento D sucedió en la posición a tiempo y que D sucedio en también a tiempo "
    Será "el evento C sucedió en la posición

    Por lo demás, magnífico. Y lo que dices de pensar en que un evento es simultáneo para un observador cuando recibes su información a la vez es muy natural. Sólo me di cuenta de ese fallo cuando observamos el universo a grandes escalas. Evidentemente, que yo vea una luz de una estrella cercana a la vez que veo una galaxia a millones de años de luz no significa que ocurrieron a la vez. Ahí me dí cuenta del error.

    Saludos.
    Actualizado 10/04/2018 a las 13:16:42 por Fortuna (Mejorar la exposición)
  3. Avatar de Richard R Richard
    No entiendo para qué observador ocurre eso.

    Hola ,gracias Fortuna, quedó muy ambiguo el texto , lo voy a aclarar , es para el sistema de referencia móvil o M.

    , en la mayoría de los problemas que se suben a LWDF , se habla de simultaneidad sin tener muy claro cómo se define, para la mayoría del público general, la diferencia de tiempo entre dos objetos colocados en posición no simétrica que emitan al mismo tiempo una señal, a simple ojo no podremos notar una diferencia en los tiempos de recepción, seguiremos opinando que los eventos son simultáneos , porque los "veo ocurrir en el mismo momento".
    La definición de simultaneidad aplica al evento en el momento en que se produce, no al instante en que se lo puede registrar en con algún instrumento, para algunos experimentos esa discrepancia es insignificante, pero cuando se habla de grandes distancias, hay una diferencia de tiempos importante entre el momento que se emite una señal y el momento en que se la recibe.
    Y si empezamos a hilar fino, la falta de simetría, ayudará a que sea fácilmente discernible la no simultaneidad en la recepción aunque los eventos han ocurrido en el mismo instante t de tiempo de un sistema de referencia cualquiera en particular en reposo , es más difícil de verlo. Si sincronizamos relojes y prendemos una lámpara aquí en la tierra y otra en la Luna, la luz de la lámpara tardará 1 segundo aproximadamente en llegar, opinaremos que como no llegó a nuestros ojos al mismo momento, los eventos no son simultáneos, si nos paramos a mitad de camino entre la tierra y la Luna diremos que si son simultáneos, y si nos paramos en la Luna diremos nuevamente que no son simultáneos, como puede ser que tres observadores en reposo describan el mismo fenómenos de tres maneras distintas, quién tiene razón?, pues el segundo, tendrá una respuesta más acertada debido a la simetría, pero la realidad es que desde cualquier sistema de referencia se puede eliminar el tiempo que viaja la señal luminosa y determinar que la emisión es simultánea, para un sistema de referencia en reposo con las lámparas.


    Será "el evento C sucedió en la posición
    gracias por hacerme ver los gazapos ortográficos, hoy ya quitado varios, que no detecta el corrector ortográfico.


    Y lo que dices de pensar en que un evento es simultáneo para un observador cuando recibes su información a la vez es muy natural.
    en la vida cotidiana no nos pasa y tenemos asociada la simultaneidad como la recepción de información en nuestros ojos, es un tema clave para resolver muchos problemas, de la RE y en donde muchos se equivocan.


    Pd. Disculpen la demora en aparecer vuestros comentarios. En algún lado puse que tengo que moderar los comentarios y no sé cómo sacarlo, ya veré cómo lo descubro
    Actualizado 15/04/2018 a las 02:08:01 por Richard R Richard

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