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El inicio de la expansión acelerada del Universo: la aceleración del factor de escala

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En la última década del siglo pasado dos grupos de investigación se lanzaron al estudio de las Supernovas Tipo Ia situadas a distancias cosmológicas, con el objetivo de cuantificar con la máxima precisión que permitían los últimos medios observacionales el freno que la gravedad debía de estar imponiendo a la expansión del Universo. Los dos grupos eran Supernova Cosmology Project y The High-z SN Search

En esa década de los 1990, la hipótesis de que el Universo estaba en expansión era un hecho incontestable desde hacía 60 años, ya que era una de las soluciones naturales de las Ecuaciones de Campo de la Relatividad General (Friedmann 1922), y contaba con evidencia experimental desde las observaciones de Slipher y Hubble poco antes de 1930.

Se suponía que el Universo estaba en expansión y, como la única fuerza conocida que actuaba sobre él a gran escala era la gravedad, ésta debía estar frenando la expansión: el objetivo de ambos grupos de investigación era cuantificar en qué grado exacto la gravedad frenaba la expansión.

Pero el resultado de ambos estudios arrojó una sorpresa que no se veía en el mundo de la Física desde el experimento de Michelson-Morley, que pretendía medir la velocidad de la Tierra respecto del éter y resultó que esa velocidad era nula en cualquier dirección, lo que llevó a desterrar el éter de la Física.

El indicador de la expansión del Universo es el Factor de Escala “a” una cifra adimensional que indica la relación entre las distancias de dos puntos en un instante del universo respecto de otro instante tomado como referencia.

Habitualmente las distancias actuales son las que se toman como referencia, es decir se toma que actualmente a=1, y como el Universo se ha estado y está expandiendo, en el pasado a<1 y en el futuro (al menos el cercano), a>1

Si representamos el factor de escala en función del tiempo desde el big-bang, en los 1990 se esperaba observar:

(1). Una función creciente, es decir la expansión del Universo ha hecho que desde el inicio hasta ahora las distancias siempre se hayan estado incrementando. Eso matemáticamente significa que la pendiente de la función = la derivada temporal del factor de escala = la velocidad de expansión, ha sido siempre positiva hasta ahora.

(2). Una función convexa. Aunque el factor de escala siempre haya podido estar creciendo, si la única fuerza significativa que actúa es la gravedad que es atractiva, la velocidad ha debido ir disminuyendo = aceleración negativa del factor de escala = matemáticamente, que la derivada segunda del factor de escala debía negativa.

Ambos grupos de trabajo presentaron en 1998 las conclusiones de sus observaciones, que puestas en forma de gráfico de la evolución del factor de escala (ordenadas) en el tiempo (abcisas en millones de años), daba como resultado un gráfico como este:

Nombre:  Factor Escala - Tiempo.jpg
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Tremenda sorpresa: de los 13.787 millones de años de vida del Universo, las previsiones (1) y (2) se cumplen hasta hace algo más de 6 mil millones de años, el instante marcado con el punto negro en el gráfico. Desde el inicio hasta ese punto la función factor de escala es creciente y convexa, (aceleración negativa) Pero a partir de ese instante las observaciones constatan que sólo se cumple (1) y no (2), la función es creciente y cóncava, es decir la aceleración del factor de escala es positiva, “la expansión del Universo se está acelerando”

En principio el resultado pareció increíble, y solo cuando se van sumando nuevas observaciones por parte de otros grupos y con métodos diferentes se acaba aceptando la realidad: pero han de transcurrir 13 años hasta que al fin la evidencia sea tan fuerte que los líderes de “Supernova Cosmology Project” y “The High-z SN Search” reciban en 2011 el Premio Nobel de Física.

¿Cómo es posible que se esté acelerando la expansión del Universo? Hasta 1998 se pensaba que la composición energética del Universo estaba constituida exclusivamente por materia y radiación, dos tipos de energía que son “atractivas” y por lo tanto ambas frenan la expansión.

El resultado de las observaciones implicaba que en el Universo había un tercer componente, al que en un “alarde de imaginación” se le llamó Energía Oscura, que a diferencia de materia y radiación, tenía la propiedad de ejercer una presión negativa y que además resultaba que actualmente constituía casi el 70% de todo el contenido energético del Universo.

La caracterización cuantitativa más simple de la energía oscura es asociarla a la Constante Cosmológica, introducida por Einstein en 1917 en sus Ecuaciones de Campo cuando intentaba forzar un universo estático según los conocimientos de la época. Pero hacia 1931 Einstein se convenció de la expansión del Universo, tras las observaciones de Hubble y sobre todo tras la demostración de Eddington de que incluso con constante cosmológica el universo de la Relatividad General no podía ser estático puesto que sería inestable. Con ello la constante cosmológica, para Einstein “el mayor error de su vida”, desapareció de las Ecuaciones de Campo durante casi 70 años.

La recuperación de la Constante Cosmológica (\Lambda) y su reincorporación a las Ecuaciones de Fridman permite caracterizar cuantitativamente el actual modelo cosmológico de consenso, conocido como Modelo ΛCDM

El objetivo final del presente artículo es el cálculo del instante en el que la aceleración de la expansión del universo dejo de ser negativa y pasó a ser positiva. Y para ello pretendemos utilizar simples conocimientos básicos de bachillerato: aplicar que en el instante en el que la aceleración es nula, (la función pasa de convexa a cóncava = punto de inflexión), la derivada segunda ha de ser nula.

Si tuviésemos la expresión explícita del factor de escala “a” en función del tiempo “t”

a=a(t)

derivaríamos 2 veces, igualaríamos a cero y despejaríamos el valor del tiempo “t” en el que la aceleración fue cero. No existe función explícita a = a(t) en el caso general, pero hay un método alternativo para hallar la derivada segunda, es usando la Ley de Hubble generalizada, ley que se deduce de las Ecuaciones de Friedmann y que establece:

\dot a=H \ a

H es el Parámetro de Hubble y es función del tiempo. Usamos el convenio habitual de que un punto sobre una variable es su derivada temporal y dos puntos la derivada segunda respecto del tiempo. Derivamos ese producto:

\ddot a=\dot H \ a + H \ \dot a=\dot H \ a + H \ (H \ a)

\ddot a=(\dot H+H^2) \ a

Tampoco hay expression explícita del Parámetro de Hubble H en función del tiempo, pero sí en función del factor de escala:

H=H_0 \sqrt{\Omega_{R_0} a^{-4}+\Omega_{M_0} a^{-3}+\Omega_{K_0} a^{-2}+\Omega_{\Lambda_0}}

H_0 es la Constante de Hubble = Parámetro de Hubble en el momento actual y las Omegas son los ratios de densidad actuales de las energías que componen el Universo, respectivamente: Radiación, Materia (oscura + bariónica), Curvatura y Energía Oscura.

Derivando H respecto del tiempo aplicando la regla de la cadena, (derivada de una función de función) obtenemos:

\dot H=\dfrac{H_0^2 (-4\Omega_{R_0} a^{-5} \ \dot a-3\Omega_{M_0} a^{-4} \ \dot a-2\Omega_{K_0} a...

Sustituyendo \dot a según (1) y simplificando obtenemos la derivada del Parámetro de Hubble:

\dot H=H_0^2 \ \left (-2\Omega_{R_0} a^{-4}-\dfrac 3 2 \Omega_{M_0} a^{-3}-\Omega_{K_0} a^{-2}\ri...

Sustituyendo (4) en la expresión (2) y simplificando se obtiene que el valor de la aceleración del factor de escala es:

\boxed{\ddot a=H_0^2 \ \left (\Omega_{\Lambda_0} a-\dfrac 1 2 \Omega_{M_0} a^{-2}-\Omega_{R_0} a^...

Haciendo ahora \ddot a=0 obtendremos la ecuación que cumple el factor de escala del punto de inflexión:

\Omega_{\Lambda_0} \ a_{ia}^4 - \dfrac{\Omega_{M_0}} 2 \ a_{ia} - \Omega_{R_0} = 0

Los valores de los ratios de densidad según los mejores datos de los que se dispone actualmente, que han sido publicados por la Colaboración Planck en 2018 son:

\Omega_{\Lambda_0}=0.6889

\Omega_{M_0} = 0.3111

\Omega_{R_0} < 0.0001

Si consideramos despreciable esta última densidad, la ecuación de 4º grado se simplifica y se obtiene:

a_{ia} \approx \sqrt[3]{\dfrac{\Omega_{M_0}}{2 \ \Omega_{\Lambda_0}}}

a_{ia} \approx 0.609

A este factor de escala le corresponde un desplazamiento al rojo de:

z_{ia}=\dfrac 1{a_{ia}} - 1=0.642

Perfecto, ya sabemos en qué factor de escala tuvo lugar el punto de inflexión, ahora solo queda calcular en que instante de tiempo cósmico se dio ese factor de escala. Las ecuaciones de Friedmann establecen que se puede calcular como:

\dst t=\dfrac 1{H_0} \int_0^{a} \dfrac{dx}{\sqrt{\Omega_{\Lambda_0} x^2+\Omega_{K_0}+\Omega_{M_0}...

De nuevo despreciando la densidad de radiación y ahora además considerando que según las mejores observaciones de las que disponemos el Universo es euclídeo, \Big (\Omega_{K_0}=0 \Big ) se obtiene para la integral la siguiente aproximación:

t \approx \dfrac 2{3 H_0 \sqrt{\Omega_{\Lambda_0}}} \ \sinh^{-1} \sqrt{\dfrac{\Omega_{\Lambda_0}}...

t_{ia} \approx \dfrac 2{3 H_0 \sqrt{\Omega_{\Lambda_0}}} \ \sinh^{-1} \left ( \dfrac 1 {\sqrt 2}\...

Sustituyendo valores con H_0=67.66 (km/s)/Mpc según el Satélite Planck, se obtiene que el universo empezó su expansión acelerada con una edad de:

\bold{t_{ia} \approx 7642} millones de años

Como la edad actual del Universo es de 13787 millones de años, eso sucedió hace \bold{6145} millones de años.

Título en inglés: The beginning of the accelerated expansion of the Universe: the acceleration of the scale factor.

Otros artículos del mismo autor en La web de Física

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Actualizado Ayer a las 12:26:21 por Alriga (Actualización de datos según Planck 2018)

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Comentarios

  1. Avatar de Jaime Rudas
    ¡Magnífica entrada!

    Quizás mejoraría algo la redacción de los párrafos 2 y 3:

    «Para esa época, la hipótesis de que el Universo estaba en expansión era un hecho incontestable desde hacía 60 años, ya que era una de las soluciones naturales de las Ecuaciones de Campo de la Relatividad General (Fridman 1922) y contaba con evidencia experimental desde las observaciones de Slipher y Hubble poco antes de 1930.

    Se suponía que el Universo estaba en expansión y, como la única fuerza conocida que actuaba sobre él a gran escala era la gravedad, ésta debía estar frenando la expansión: el objetivo de ambos grupos de investigación era cuantificar en qué grado exacto la gravedad frenaba la expansión.»
  2. Avatar de Alriga
    Cita Escrito por Jaime Rudas
    ... Quizás mejoraría algo la redacción de los párrafos 2 y 3 ...
    Muchas gracias Jaime, hecho
    Saludos.
  3. Avatar de mexico68
    Teniendo en cuenta la velocidad de expansión del universo y que los primeros fotones de CMB están llegando ahora a la tierra, ¿sería posible y válido calcular con estos datos nuestra posición dentro del universo respecto al supuesto origen?

    Saludos.
  4. Avatar de Alriga
    Hola mexico68, gracias por comentar

    ... Teniendo en cuenta ... que los primeros fotones de CMB están llegando ahora a la Tierra ...
    No, eso no es así, observa que el CMB se generó en forma de fotones de cuerpo negro a 3000 K en la Recombinación en todo el Universo a la vez, cuando el Universo tenía solo 385.000 años y se estaba expandiendo con una rapidez tremenda. Todos los puntos del Universo generaron fotones, que empezaron a viajar en todas direcciones.

    Los fotones de la recombinación que recibimos justo ahora son los que se generaron en una superficie esférica centrada en nosotros que en el instante de la recombinación tenía 41.6 millones de años luz. Han tardado en llegar casi 13800 millones de años porque nos han estado persiguiendo sin podernos alcanzar hasta ahora debido a la rápida expansión del universo. Y la expansión ha provocado que su longitud de onda se alargue y hora los veamos como fotones de cuerpo negro de 2.73 K

    Los fotones que se generaron más cerca de 41.6 Mal, ya llegaron a la posición de la Tierra hace tiempo y pasaron de largo. Los que se generaron más lejos, llegarán en el futuro. Continuamente nos están llegando fotones generados en la recombinación, cada vez de más lejos.

    ... ¿sería posible y válido calcular con estos datos nuestra posición dentro del universo respecto al supuesto origen? ...
    El Universo no tiene "un punto origen" ni un "centro", todos los puntos del universo son idénticos. Repasa este hilo Dudas entre Universo Observable y Universo Global en donde encontrarás varios posts que te aconsejo leer.

    Si tienes más dudas sobre ese tema, (que no es el de este artículo "El inicio de la expansión acelerada del Universo"), es más aconsejable que las plantees en el hilo que te he enlazado, o que crees un nuevo hilo en el foro con tu pregunta.

    Gracias y saludos.
    Actualizado 17/05/2018 a las 12:01:52 por Alriga
  5. Avatar de mexico68
    Muchas gracias Alriga. Tienes razón en que mis dudas entran con calzador en este tema, aunque sospecho que si no fuera por la expansión acelerada con un punto de inflexión anterior, no sería posible recibir CMB u ondas gravitacionales primordiales. Atenderé a tus consejos.

    Saludos.
  6. Avatar de Alriga
    ... sospecho que si no fuera por la expansión acelerada con un punto de inflexión anterior, no sería posible recibir CMB ...
    Perdona, pero esa sospecha no tiene ningún fundamento. Observa que el CMB fue predicho sin saber nada de energía oscura ni expansión acelerada por G. Gamow en 1948, detectado por Penzias y Wilson en 1965, y estaba perfectamente explicado por la Relatividad General y la Mecánica Cuántica sin necesidad de energía oscura, hasta que ésta fue descubierta en 1998 y añadida al modelo.

    Saludos.
    Actualizado 17/05/2018 a las 12:01:36 por Alriga
  7. Avatar de mexico68
    Gracias Alriga por tu respuesta. En efecto la CMB fue predicha mucho antes que se descubriera la energía oscura y se constatara la expansión acelerada del universo.

    Sin embargo en el articulo que se publico junto al articulo de Pencias y Wilson:

    COSMIC BLACK-BODY RADIATION

    R. H. Dicke
    P. J. E. Peebles
    P. G. Roll
    D. T. Wilkinson


    May 7, 1965
    Palmer Physical Laboratory
    Princeton, New Jersey

    se dice:



    "Without some knowledge of the density of matter in the primordial fireball we cannotpredict the present radiation temperature. However, a rough upper limit is provided bythe observation that black-body radiation at a temperature of 40° K provides an energy density of 2 X 10“29 gm cm3, very roughly the maximum total energy density compatible with the observed Hubble constant and acceleration parameter. Evidently, it would be of considerable interest to attempt to detect this primeval thermal radiation directly."

    Traducción:
    Sin algún conocimiento de la densidad de la materia en la bola de fuego primordial no podemos predecir la temperatura de radiación actual. Sin embargo, la observación de que la radiación del cuerpo negro a una temperatura de 40 ° K indica una densidad de energía de 2 X 10 "29 gm cm3, aproximadamente la densidad de energía total máxima compatible con la constante de Hubble y parámetro de aceleración observados. Evidentemente, sería de gran interés tratar de detectar esta radiación térmica primaria directamente.

    ¿No es posible que se planteara ya la hipotesis de aceleración?

    Saludos.
  8. Avatar de Alriga
    ... ¿No es posible que se planteara ya la hipotesis de aceleración? ...
    Entiendo que no. Ese “acceleration parameter” que nombran, que permite cuantificar la aceleración del factor de escala, no era directamente el \ddot a que hemos utilizado en este artículo, sino que era

    q=-\dfrac {\ddot a \ a}{\dot a^2}

    Y se le llamaba indistintamente “acceleration paramenter” o “deceleration parameter” En 1965 los valores que se barajaban para “q” eran positivos, es decir cuando dice “… compatible with the observed Hubble constant and acceleration parameter…” está diciendo compatible con “q” positivo, (o sea \ddot a negativo = deceleración)

    De todos modos, esto es irrelevante para el tema de la detección / no-detección actual del CMB. El desacoplamiento de los fotones que generó el CMB se produjo cuando el Universo tenía 385 mil años y los parámetros de densidad de radiación, materia y energía oscura eran respectivamente:

    \Omega_R=0.211

    \Omega_M=0.789

    \Omega_{\Lambda} < \notcien{2}{-9}

    Por lo tanto, la energía oscura era insignificante y no tuvo ninguna relevancia ni en el fenómeno del desacoplamiento, ni en que 13787 millones de años después estemos detectando los fotones entonces generados.

    ... sospecho que si no fuera por la expansión acelerada con un punto de inflexión anterior, no sería posible recibir CMB ...
    En todo caso, si no hubiese energía oscura la expansión hubiese sido más lenta, y con ello la temperatura que observaríamos del CMB sería un poco diferente de los 2.73 K que observamos, pero la diferencia sería menor del 10%

    Saludos.
    Actualizado Hoy a las 10:25:32 por Alriga
  9. Avatar de mexico68
    Muchas gracias Alriga por tus respuestas. Siguiendo tu consejo, abro otro hilo para mis dudas sobre CMB y ondas gravitacionales primordiales.

    Saludos.

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