Cinemática. Fórmulas del MRU, MCU, MRUA y MCUA

[Pepealej]

En este hilo/entrada demostraremos las fórmulas del movimiento de un cuerpo, tanto si te trata de un movimiento uniforme o uniformemente acelerado. Algunas demostraciones en cinemática suelen ser algo complicadas, pero yo intentaré demostrarlas de la forma más sencilla posible.

Los apartados están organizados por títulos. Si quereis ir directamente a ellos utilizar el buscador del navegador que utiliceis para buscar cualquiera de los apartados siguientes:

MRU . - . MRUA . - . MCU y MCUA

Antes de nada, para demostrar las fórmulas de cinemática, hay que tener presente las expresiones más básicas de todas. Estas son: (Siendo $s$ espacio, $t$ tiempo, $v$ velocidad y $a$ aceleración)

$v=\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}$ . . . . . . . . . $a=\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}$

MRU

El MRU se compone de una sola fórmula significativa muy fácil de demostrar (dado que su velocidad es constante y su aceleración nula). Esta es:

$s=s_0+v\Delta t$

Para demostrarla utilizaremos la expresión de la velocidad:

$v=\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}=\displaystyle\frac{s-s_0}{\Delta t}$

Si multiplicamos ambos miembros por el incremento del tiempo ($\Delta t$) tenemos que:

$v\Delta t=s-s_0$

$\boxed{s=s_0+v\Delta t}$

MRUA

El MRUA se compone de dos fórmulas significativas ya que ahora la velocidad del cuerpo no es constante. Estas dos fórmulas son:

(1) $v=v_0+a\Delta t$

(2) $x=x_0+v_0 \Delta t + \frac{1}{2}a \Delta t^2$

Para demostrar (1) utilizaremos la expresión de la aceleración mencionada el principio. Así tenemos:

$a=\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}=\displaystyle\frac{v-v_0}{\Delta t}$

Si multiplicamos ambos miembros por el incremento de tiempo ($\Delta t$) tenememos:

$a\Delta t=v-v_0$

$\boxed{v=v_0+a\Delta t}$

Para demostrar (2) utilizaremos una combinación de una de las fórmulas ya demostradas y otra que se presenta a continuación. En muchas ocasiones esta fórmula se demustra con integrales y esa es propiamente la demostración completa y formal, pero me parece que para deducirla más fácilmente podemos hacerlo también así:

Sabemos que en un MRUA el espacio se puede definir así:

$\Delta s=\left(\displaystyle\frac{v+v_0}{2}\right)\Delta t$

Esta expresión no es más que la velocidad media durante un periodo de tiempo multiplicada por ese periodo de tiempo. Si te fijas el área bajo la curva sigue siendo la misma y, por tanto, el espacio que se recorre también es el mismo. Si aun no lo entiendes lo puedes ver en las figuras siguientes:

A partir de aquí ya podemos continuar.

Entonces, teniendo en cuenta la fórmula anterior, también sabemos que:

$v=v_0+a\Delta t$

Y si introducimos esta expresión tenemos que:

$\Delta s=\left(\displaystyle\frac{v_0+a\Delta t+v_0}{2}\right)\Delta t$

$s-s_0=\left(\displaystyle\frac{2v_0+a\Delta t}{2}\right)\Delta t$

$s-s_0=(v_0+\frac{1}{2}a\Delta t)\Delta t$

$s-s_0=v_0 \Delta t + \frac{1}{2}a\Delta t^2$

$\boxed{s=s_0+v_0 \Delta t + \frac{1}{2}a\Delta t^2}$

MCU y MCUA

Las fórmulas del MCU y MCUA tienen dos maneras de expresarse. La primera es la más sencilla y, creo yo, la más utilizada. Estas fórmulas son: (Siendo $\varphi$ espacio angular, $t$ tiempo, $\omega$ velocidad angular y $\alpha$ aceleración angular) (Con las fórmulas de MCU y MCU siempre se trabaja en radianes)

MCU:

$\boxed{\varphi=\varphi_0+\omega\Delta t}$

MCUA:

$\boxed{\varphi=\varphi_0+\omega_0\Delta t+\frac{1}{2}\alpha \Delta t^2}$

$\boxed{\omega=\omega_0+\alpha\Delta t}$

Si te fijas, las fórmulas son idénticas a las del MRU y MRUA. Lo único que cambian son las formas de expresar el espacio, la velocidad y la aceleración. Antes eran magnitudes lineales, ahora son magnitudes angulares pero esto no cambia nada, pues la forma de demostrarlas es exáctamente igual que en el MRU y MRUA.

La segunda forma de expresar el MCU y el MCUA es mediante vectores. Dado que un círculo es un sistema bidimensional, un cuerpo recorriendo una trayectoria circular se mueve en 2 dimensiones y su trayectoria se puede analizar mediante vectores.

Antes de comenzar la demostración echa un ojo a la siguiente figura. En ella se muestra la posición de un cuerpo en MRU/MRUA con respecto al ángulo con la horizontal. Nos ayudará en la demostración:

Como puedes ver, la posición ($\vec{r}$) de un cuerpo A viene determinada por:

$\vec{r}=R\cdot cos(\varphi) \hat{\imath}+ R\cdot sin (\varphi)\hat{\jmath}$

Ahora, como el MCU/MCUA es idéntico al MRU/MRUA sólo que con dimensiones angulares, podemos decir también que:

$\omega=\displaystyle\frac{\Delta \varphi }{\Delta t}$

$\Delta \varphi=\omega\Delta t$

$\Delta \varphi$ no tiene sentido si queremos determinar la posición mediante magnitudes vectoriales, y tampoco lo tiene $\Delta t$. Esto es porque si mantuviésemos estos incrementos nos encontraríamos con la suma del espacio inicial al espacio final en la ecuación del espacio angular final y esto no puede ser ya que las funciones seno y coseno tienen un rango limitado. Así que reescribirmos la ecuación y tenemos:

$\varphi=\omega\ t$

Si ahora sustituimos el ángulo en la ecuación de posición tenemos la ecuación de la posición para el MCU:

$\boxed{\vec{r}=R\cdot cos(\omega\ t) \hat{\imath}+ R\cdot sin (\omega\ t)\hat{\jmath}}$

Y si queremos adaptar esta expresión para que nos muestre la posición de un cuerpo en MCUA sólo tenemos que considerar la velocidad angular como una magnitud variable. Así decimos que:

$\omega=\omega_0+\alpha\Delta t$

Y, sustutiyendo:

$\vec{r}=R\cdot cos((\omega_0+\alpha t) t) \hat{\imath}+ R\cdot sin ((\omega_0+\alpha t )t)\hat{\jmath}$

$\boxed{\vec{r}=R\cdot cos(\omega_0 t+\alpha t^2) \hat{\imath}+ R\cdot sin (\omega_0 t+\alpha t^2)\hat{\jmath}}$

A partir de aquí seguir demostrando las ecuaciones del MCU/MCUA con magnitudes vectoriales tiene poca utilidad. Pero, de todas formas hallarlas es muy sencillo. Lo primero que se tiene que hallar es el módulo y para ello ya tenemos las ecuaciones de MCU/MCUA que mencioné las primeras. A partir de aquí sólo nos queda saber la dirección del vector, y para ello tenemos que hallar el ángulo que forma con la horizontal. Fíjate en la siguiente figura:

Utilizando el teorema de la doble perpendicular vemos como trasladamos el ángulo $\varphi$ y vemos como queda $90-\varphi =\frac{\pi}{2}-\varphi$ como el ángulo que forma la recta tangente, sobre la que se posicionan los vectores velocidad y aceleración, con la horizontal. (Realmente no hacía falta hacer el teorema de la doble perpendicular, pues ya se tiene un triángulo rectángulo)

Ahora, tendiendo en cuenta que:

$v=R\cdot \omega$ . . . . . . . . .$a=R \cdot$ $\alpha$

Podemos decir que dichos vectores pueden expresarse como:

MCU:

$\vec{v }=v\cdot cos(\frac{\pi}{2}-\varphi)\hat{\imath}+v \cdot sin(\frac{\pi}{2}-\varphi)\hat{\jmath}$

$\boxed{\vec{v }=R\cdot \omega\cdot sin(\omega\ t)\hat{\imath}+R\cdot \omega \cdot cos(\omega\ t)\hat{\jmath}}$

MCUA:

$\vec{v }=v\cdot cos(\frac{\pi}{2}-\varphi)\hat{\imath}+v \cdot sin(\frac{\pi}{2}-\varphi)\hat{\jmath}$

$\boxed{\vec{v }=R\cdot (\omega_0+\alpha t)sin(\varphi)\hat{\imath}+R\cdot (\omega_0+\alpha t)cos(\varphi)\hat{\jmath}}$

$\vec{a}=a\cdot cos(\frac{\pi}{2}-\varphi)\hat{\imath}+a\cdot sin(\frac{\pi}{2}-\varphi)\hat{\jmath}$

$\boxed{\vec{a}=R\cdot \alpha \cdot sin(\varphi)\hat{\imath}+R\cdot \alpha \cdot cos(\varphi)\hat{\jmath}}$

Y estas son las ecuaciones de movimiento de cinemática fundamentales. Muchas de ellas las he deducido sin comprobarlas con ninguna otra fuente, dado que no he encontrado nada. Si alguien encuentra algún fallo que me lo comunique