Teorema de la unicidad del límite de una sucesión.

[Castelao]

Dada la enorme relevancia del concepto de límite en todos los ámbitos de la Física y las Matemáticas, vamos a demostrar aquí que el límite de una sucesión ha de ser forzosamente único.

Formalmente:

Sea $\left\{{x}_{ n} \right\}$ una sucesión tal que $\left\{{x}_{ n} \right\} \subset \left(S, {d}_{s } \right)$ , donde $\left(S, {d}_{s } \right)$ es un espacio métrico (un conjunto con una función distancia, simplificando), entonces la sucesión sólo puede converger, a lo sumo, a un punto $p\in S$.

Supóngase en primer lugar que ${x}_{ n}\to p$ y ${x}_{n }\to q$. Se demostrará que necesariamente $p=q$.

Usando la desigualdad triangular se tiene que $0\leqslant d(p,q)\leqslant d(p,{x}_{n})+d({x}_{n},q)$ $\forall n$. Ya que tanto $d(p, {x}_{n})$ como $d({x}_{n},q)$ valen , entonces $d(p,q)=0$, y la demostración está terminada, pues de la definición de distancia se tiene que si $d(p,q)=0$, entonces $p=q$.


Esto se podría demostrar con más detalle, con más "formalidad" si se quiere, recurriendo a la definición de límite y a algún que otro teorema auxiliar sencillo.