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  • Demostración ecuación de Lagrange a partir de la ecuación de Newton y ejemplos

    En este hilo trataremos de hallar la ecuación de Lagrange partiendo de la ecuación de Newton, analizando además algunas ventajas e inconvenientes de esta nueva formulación. Los requisitos básicos son conocer el cálculo multivariable.
    La ecuación de Newton del movimiento es:
    Con
    Pero, sabemos, que esta ecuación presenta ciertos inconvenientes, uno de ellos es que se trabaja con un sistema de coordenadas cartesianas, si se quiere trabajar en cilíndricas o esféricas, hay que derivar "manualmente" para llegar a la expresión. Otro, derivado de éste, es que si tenemos un sistema de n partículas, necesitaríamos 3n coordenadas cartesianas, cuando, por las reestricciones del sistema, es probable que muchas coordenadas queden redundantes. En cuanto a las fuerzas que actúan sobre el sistema, puede haber fuerzas que aparezcan por el hecho de ciertas reestricciones de coordenadas, a las que llamaremos de ligadura (y designaremos por ), un ejemplo claro puede ser el plano inclinado, por el hecho de tener que moverse por él, hay una fuerza normal al plano.
    Para solucionar estos problemas, vamos previamente a definir lo que son las coordenadas generalizadas y el desplazamiento virtual:
    Imaginemos que tenemos una partícula en un sistema reestringido, por ejemplo un péndulo, como ya dijimos puede y en este caso es algo absurdo trabajar con las coordenadas cartesianas, cuando sólo necesitamos un ángulo para poder definir el sistema. Esta sería la coordenada generalizada que estaríamos buscando para este caso. Podemos definir las coordenadas generalizadas, como las coordenadas que definen el sistema de partículas que estamos analizando, que además si se quiere, al ser completamente arbitrarias, pueden elegirse independientes las unas de las otras. Es decir,
    Ahora vayamos con el desplazamiento virtual, éste se define como un desplazamiento infinitesimal, modificándose infinitesimalmente la configuración del sistema, y no en el tiempo.
    La velocidad de una partícula, expresada según sus coordenadas generalizadas es:
    Donde, para simplificar, . Ahora podemos hallar el diferencial fácilmente, y definiendo que el desplazamiento virtual no es en el tiempo, podemos definirlo cómo:
    Sólo nos falta decir, que siempre se puede encontrar un sistema de coordenadas en el que el trabajo virtual de las fuerzas de rozamiento sea nula, en un plano inclinado por ejemplo, se ve fácilmente que la normal es perpendicular al desplazamiento virtual. Por lo que:

    Una vez definidos los conceptos previos, podemos pasar pues a la demostración.
    Calculamos los trabajos virtuales de todas las i-ésimas partículas.
    El primer miembro:
    Dónde llamamos fuerza generalizada:
    Ahora el segundo miembro:
    Pero vemos por la expresión que:
    Y además cómo sigue siendo función de las coordenadas generalizadas y el tiempo, análogo al caso anterior.
    Sustituyendo ésto en la ecuación anterior:
    Nos damos cuenta de que podemos juntar los términos, suponiendo que la masa es constante, e identificando la energía cinética :
    Con lo que finalmente la ecuación de Newton se escribirá:
    Si nuestras coordenadas generalizadas son independientes, esta ecuación se cumplirá, sólo si:
    Nuestro siguiente paso, es descomponer Q_j, en fuerzas generalizadas que vengan de un potencial y las disipativas. Para las fuerzas que provengan de un potencial
    Designando con cada coordenada de cada partícula.
    Hemos incluido, V en el primer término, ya que V no depende de la velocidad por definición, y hemos llamado a las fuerzas no provenientes de un potencial. Ahora podemos definir la función de Lagrange, o lagrangiana:
    Y obtenemos las ecuaciones Euler-Lagrange:
    Que en el caso particular de que todas las fuerzas puedan venir dadas como potenciales:

    Vamos a resolver algunos ejemplos:
    Partícula bajo la gravedad terraplanar. En este caso, nos conviene usar las coordenadas cartesianas, estás nos generan ecuaciones, para los ejes x y z.
    Tal y cómo hemos obtenido las ecuaciones, podemos llamar por similitud al momento generalizado , que aunque en el caso cartesiano, vemos que es igual, pero no tiene por qué (ni tener las mismas unidades que el momento). Mediante esta definición, es facil ver que el teorema de conservación del momento generalizado, se reduce a observar si el lagrangiano contiene la coordenada generalizada, en nuestro ejemplo, x e y no aparecían pero z sí.

    Partícula en coordenadas polares 2D, considerando que actúan fuerzas tangenciales y centrales ( y , ).
    [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
    Dónde y .

    Y para terminar un comentario sobre el potencial. El potencial lo definíamos por la expresión, , pero por las ecuaciones Euler-Lagrange, vemos que el potencial podría ser toda función tal que:
    Por ejemplo uno de ellos que aparece así es el potencial asociado a la fuerza electromagnética, que como curiosidad es:

    Un saludo
    [TEX=null] \vdash_T G \leftrightarrow Consis \; \ulcorner T \urcorner [/TEX]
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Acerca este grupo

La idea es que sea un lugar en donde aquellos que consideramos casi una necesidad el poder fundamentar de forma teórica las predicciones físicas basándose lo menos posible en la confianza hacia otras personas, podamos ir exponiendo las demostraciones que conocemos -o mejor aun, que podemos deducir- de las formulas que se implementan, y de esa forma poder ir aprendiendo unos de los otros.
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