Energía de un sistema de partículas

[alexpglez]

Vamos a demostrar aquí cómo se obtiene la expresión de la energía mecánica de un sistema de partículas, y cómo en caso de que todas las fuerzas externas, se conserva.
Las siglas que utilizaré para las energías son $W$ trabajo,$V$ energía potencial, $T$ energía cinética, $E=T+V$ energía mecánica.
Primero de todo un breve repaso matemático al cálculo vectorial que necesitaremos para la demostración.

0.1- Gradiente y diferencial:
Mide la variación respecto a cada coordenada y devuelve el resultado en un vector. En cartesianas:

$$\vec \nabla f=\frac{\partial f}{\partial x} \vec \imath +\frac{\partial f}{\partial y} \vec \jmath +\frac{\partial f}{\partial z} \vec k$$

Para relacionarlo con el diferencial:

$$df(x,y,z) =\frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy + \frac{\partial f}{\partial z}dz =\vec \nabla f \cdot d \vec r$$

Vamos a usar más adelante dos propiedades del gradiente, supongamos que queremos ver como varía ante traslaciones e inversiones de las coordenadas. Para eso analicemos las derivadas parciales.

$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial (x-x')}\frac{\partial (x - x')}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial (y-y')}\frac{\partial (y - y')}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial (z-z')}\frac{\partial (z - z')}{\partial x}$$

Donde se anulan los términos segundo y tercero: $\frac{\partial (y-y')}{\partial x} =0$. Y la primera derivada parcial da 1.

$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial (x-x')}$$

Por lo tanto, si un gradiente $\vec \nabla f$ deriva con respecto a las coordenadas $(x,y,z)$, y otro gradiente $\vec \nabla ' f$ deriva con respecto a $(x-x',y-y',z-z')$. Entonces: $\vec \nabla f=\vec \nabla' f$.

Haciendo lo mismo para una inversión:

$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial (-x)}\frac{\partial (-x)}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial (-y)}\frac{\partial (-y)}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial (-z)}\frac{\partial (-z)}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial (-x)}$$

Por lo que: $\vec \nabla f =-\vec \nabla' f$, el operador primado derivando con respecto a las coordenadas invertidas.


0.2- Integral curvilínea:

$$\int_l \vec F \cdot d \vec r$$

Es una integral de un campo vectorial ($\vec F$) a lo largo de una trayectoria ($l$).
Para darle un significado físico, podemos imaginarnos el ejemplo de trabajo. El trabajo de una fuerza constante lo podemos calcular como $W=\vec F \cdot \Delta \vec r$, ahora bien, para una fuerza general, podemos ir sumando trozos de una cierta trayectoria que van a tender a 0 su longitud y a infinito el número de ellos:

$$W=\lim _ {\Delta_i \vec r \to 0} \sum_n \vec F \cdot \Delta_i \vec r=\int_l \vec F \cdot d \vec r$$

El cálculo de la integral de línea se consigue parametrizando la trayectoria $l$, obteniendo así $\vec r(t)$ y derivando para tomar como variable el parámetro puesto que $d \vec r=\frac{d \vec r}{dt}dt$:

$$\int_l \vec F \cdot d \vec r=\int_{t1}^{t2} \vec F \cdot \vec r' dt$$

Así se reduce el problema a una integral ordinaria. Un significado físico de cálculo es, si el parámetro es el tiempo, la derivada es la velocidad $\vec r'=\vec v$, el producto la potencia $P=\vec F \cdot \vec v$ y la integral anterior: $W=\int_{t1}^{t2} P dt$.

Ahora vamos a distinguir entre integrales que dependen de la trayectoria de integración (cuyo significado físico es que el campo integrado no es conservativo), o que no dependen (conservativo). Integremos definidamente el diferencial de una función por cierta trayectoria cuyos puntos iniciales y finales son $\vec r_1$ y $\vec r_2$.

$$\Delta f =\int_{f(\vec r_1)}^{f(\vec r_2)}df=\int_l \vec \nabla f \cdot d \vec r$$

Observando esto, se observa que la integral no depende de la trayectoria de integración, y por tanto también se puede escribir utilizando los límites de integración.
Resumiendo, si $\vec \nabla f=\vec F$, la integral sólo depende de los puntos inicial y final:

$$\int_l \vec F \cdot d \vec r=\int_{\vec r1}^{\vec r2}\vec F \cdot d \vec r$$

En todos los demás casos en los que el campo no venga de un gradiente, el campo no es conservativo, esto se puede demostrar por el teoerema de Stokes, pero se sale de los motivos de este hilo.




1.1 Conservación de la Energía mecánica (caso de una partícula).
En este enlace obtenemos una relación que relaciona variación de energía cinética y trabajo. http://forum.lawebdefisica.com/group...197&do=discuss
Si la integral no dependiese de la trayectoria de integración $-W_{i \to f}=-\int_l \vec F \cdot d \vec r=V_f-V_i=- \Delta V$, el teorema de las fuerzas vivas $\Delta T=W_{i \to f}=-\Delta V$ que implica $\Delta T +\Delta V=\Delta E=0$: la conservación de la energía.
En este caso notemos que: $\vec F=-\vec \nabla V$



1.2 Caso multipartícula
Tenemos un sistema de fuerzas:

$$m_i\frac{d \vec v_i}{dt}=\sum_{j,j\neq i} \vec F_{ji} + \vec F^{ext}_i$$

En donde $\vec F_{ji}$ es la fuerza que realiza j sobre la partícula i, y $\vec F^{ext}_i$ son fuerzas externas sobre la partícula i. Las primeras fuerzas las supondremos conservativas (como son en la mayoría de los casos), y las segundas conservativas o no, les asociemos el trabajo externo $W^{ext}$. Integremos y sumemos a ambos lados con respecto a los vectores de posición correspondientes por cierta trayectoria l de puntos finales e iniciales 1 y 2.

$$\sum_i \int_l m_i\frac{d \vec v_i}{dt} \cdot d \vec r_i=\sum_{i,j,j\neq i} \int_l \vec F_{ji}\cdot d \vec r_i + \sum_i \int_l \vec F^{ext}_i\cdot d \vec r_i$$

Aanalicemos el primer miembro de 2.

$$\sum_i \int_l m_i\frac{d \vec v_i}{dt}\cdot d \vec r_i=\sum_i \int_l m_i\frac{d \vec v_i}{dt}\cdot \vec v_i dt=\sum_i \int_l m_i \vec v_i\cdot d \vec v_i=\sum_i \int_l \frac{1}{2}m_i d (\vec v_i^2)$$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Siendo $T_i=\frac{1}{2}m_iv_i^2$.
El segundo sumando del segundo miembro de 2, lo podemos llamar:

$$\sum_i \int_l \vec F^{ext}_i\cdot d \vec r_i=W^{ext}$$

Para analizar el primer sumando, consideremos antes la función energía potencial, utilizando las propiedades de traslación vistas anteriormente y la ley acción-reacción :

$$\vec F_{ji}=-\vec \nabla_j V_{ij}(\vert \vec r_i - \vec r_j \vert)=-\vec \nabla_{ji} V_{ij}=\vec \nabla_{ij} V_{ij}=\vec \nabla_i V_{ij}=- \vec F_{ij}$$

También, dado que V depende del módulo de la resta, es simétrico $V_{ij}=V_{ji}$.

$$\sum_{i,j,j\neq i} \int_l \vec F_{ji}\cdot d \vec r_i=\frac{1}{2}(\sum_{i,j,j\neq i} \int_l \vec F_{ji}\cdot d \vec r_i+\sum_{i,j,j\neq i} \int_l \vec F_{ij}\cdot d \vec r_j)=$$

$$\frac{1}{2}\sum_{i,j,j\neq i} (\int_l \vec F_{ji}\cdot d \vec r_i-\int_l \vec F_{ji}\cdot d \vec r_j) =\frac{1}{2}\sum_{i,j,j\neq i} \int_l \vec F_{ji}\cdot d (\vec r_i- \vec r_j)=$$

$$-\frac{1}{2}\sum_{i,j,j\neq i} \int_1^2 \vec \nabla_{ji} V_{ij}\cdot d \vec r_{ji}=-\frac{1}{2}\sum_{i,j,j\neq i}\Delta V_{ij}$$

Metiendo todo esto en 2, podemos reescribir la ecuación:

$$\Delta(\sum_i \Delta T_i+ \frac{1}{2}\sum_{i,j,j\neq i} V_{ij})=\Delta E=W^{ext}$$

Si además pudiésemos poner todas las fuerzas externas como potenciales:

$$W^{ext}=\sum_i \int_l \vec F^{ext}_i\cdot d \vec r_i=-\sum_i \Delta V^{ext}_i$$

Obtendríamos que la ley de conservación de la energía mecánica:

$$\Delta (\sum_i T_i+ \frac{1}{2}\sum_{i,j,j\neq i} V_{ij}+\sum_i V^{ext}_i)=\Delta E=0$$

Que es lo que finalmente buscábamos demostrar.

PD: en algunos textos viene que la energía potencial del sistema se calcula sumando sin repetir índices, esto es ya que $V$ es simétrica. $\frac{1}{2}\sum_{i,j,j\neq i} V_{ij}=\sum_{i,j,j< i} V_{ij}$

Cualquier duda o sugerencia, preguntad!!