Hola.
Vamos a resolver la ya conocida ecuación diferencial del péndulo, obteniendo, además, una forma compacta para expresar el periodo de los movimientos de gran amplitud. La dificultad de la ecuación diferencial del péndulo reside, principalmente, en su no linealidad. Un requisito para seguir de manera satisfactoria esta demostración es, haber tenido un primer contacto con la física del péndulo, una base en cálculo de una variable (muy poco de análisis), así como conocer qué es una ecuación diferencial.
El movimiento general de un péndulo está modelado por la EDO
donde y es el ángulo inicial con el que ha sido liberado el péndulo.
Vamos a enunciar un pequeño lema que nos ayudará a reescribir esta EDO de un modo más práctico.
Lema: Sea una solución de la EDO donde (esto es, que sólo depende de una variable, y) una función continua. Sea una primitiva de . Entonces la función cumple que , es decir, es constante.
La demostración es inmediata, basta con observar que .
Usemos este resultado con nuestra ecuación (1). Para ello, notemos que podemos reescribirla como luego y una primitiva de es y así y usando las condiciones iniciales encontramos que por lo que, finalmente, podemos escribir y usando la definición de diferencial encontramos que
.
Ahora, vamos a reducir la expresión (2) usando la identidad y a continuación, definiendo , haremos el cambio de variable . Primero observemos que luego
por tanto, usando la identidad citada y (3) tenemos que
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
(Si quisiéramos, podríamos integrar la ecuación anterior para intentar obtener la dependencia explícita con el tiempo. El procedimiento es similar al que vamos a seguir para hallar una expresión compacta para el periodo). Sea el periodo del péndulo. Integrando la ecuación anterior podemos obtener su expresión explícita:
La integral (5) es una integral elíptica completa de primera especie, que solucionaremos de forma peculiar. Primero, observemos que, por el teorema del binomio de Newton, podemos reescribir el integrando como
Luego (5) se reescribe como
Para hallar la anterior integral usamos la fórmula de recurrencia de Wallis que para nos da como resultado
donde la última igualdad ha sido fruto de multiplicar los términos pares que faltaban en el numerador para completar el factorial de , y sacar factor común al en el denominador en los términos pares añadidos. Llevando (7) a (6) obtenemos
Notemos que la convergencia de esta serie está asegurada debido a que .
Vamos a dejar esta expresión algo más compacta. Sea el polinomio de Legendre de grado . Estos polinomios cumplen la fórmula recurrente de Rodrigues . Para el polinomio tenemos que hallar , esto es, la derivada 2n-nésima de , que no es más que la derivada 2n-sima del termino de mayor grado, es decir, x^2n, ya que el resto de términos se anularán (este análisis se puede comprender mejor desarrollando con el teorema del binomio). Así, la derivada buscada es . Por tanto, podemos escribir, sin pérdida de generalidad, que . Llevando este último resultado a la ecuación (8) llegamos a la expresión final compacta del periodo de oscilación para cualquier amplitud del péndulo:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
A modo de nota final, nótese que si entonces [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] luego obtenemos la ecuación conocida del periodo para el péndulo que oscila a pequeña amplitud.
Saludos.
Vamos a resolver la ya conocida ecuación diferencial del péndulo, obteniendo, además, una forma compacta para expresar el periodo de los movimientos de gran amplitud. La dificultad de la ecuación diferencial del péndulo reside, principalmente, en su no linealidad. Un requisito para seguir de manera satisfactoria esta demostración es, haber tenido un primer contacto con la física del péndulo, una base en cálculo de una variable (muy poco de análisis), así como conocer qué es una ecuación diferencial.
El movimiento general de un péndulo está modelado por la EDO
Vamos a enunciar un pequeño lema que nos ayudará a reescribir esta EDO de un modo más práctico.
Lema: Sea una solución de la EDO donde (esto es, que sólo depende de una variable, y) una función continua. Sea una primitiva de . Entonces la función cumple que , es decir, es constante.
La demostración es inmediata, basta con observar que .
Usemos este resultado con nuestra ecuación (1). Para ello, notemos que podemos reescribirla como luego y una primitiva de es y así y usando las condiciones iniciales encontramos que por lo que, finalmente, podemos escribir y usando la definición de diferencial encontramos que
Ahora, vamos a reducir la expresión (2) usando la identidad y a continuación, definiendo , haremos el cambio de variable . Primero observemos que luego
por tanto, usando la identidad citada y (3) tenemos que
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
(Si quisiéramos, podríamos integrar la ecuación anterior para intentar obtener la dependencia explícita con el tiempo. El procedimiento es similar al que vamos a seguir para hallar una expresión compacta para el periodo). Sea el periodo del péndulo. Integrando la ecuación anterior podemos obtener su expresión explícita:
La integral (5) es una integral elíptica completa de primera especie, que solucionaremos de forma peculiar. Primero, observemos que, por el teorema del binomio de Newton, podemos reescribir el integrando como
Luego (5) se reescribe como
Para hallar la anterior integral usamos la fórmula de recurrencia de Wallis que para nos da como resultado
donde la última igualdad ha sido fruto de multiplicar los términos pares que faltaban en el numerador para completar el factorial de , y sacar factor común al en el denominador en los términos pares añadidos. Llevando (7) a (6) obtenemos
Notemos que la convergencia de esta serie está asegurada debido a que .
Vamos a dejar esta expresión algo más compacta. Sea el polinomio de Legendre de grado . Estos polinomios cumplen la fórmula recurrente de Rodrigues . Para el polinomio tenemos que hallar , esto es, la derivada 2n-nésima de , que no es más que la derivada 2n-sima del termino de mayor grado, es decir, x^2n, ya que el resto de términos se anularán (este análisis se puede comprender mejor desarrollando con el teorema del binomio). Así, la derivada buscada es . Por tanto, podemos escribir, sin pérdida de generalidad, que . Llevando este último resultado a la ecuación (8) llegamos a la expresión final compacta del periodo de oscilación para cualquier amplitud del péndulo:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
A modo de nota final, nótese que si entonces [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] luego obtenemos la ecuación conocida del periodo para el péndulo que oscila a pequeña amplitud.
Saludos.